关键知识点非退化或非奇异矩阵

1、第四章 矩阵关键知识点:非退化或非奇异矩阵,矩阵的逆,伴随矩阵,分块矩阵,初等矩阵,矩阵的等价;矩阵乘积的秩定理(定理2,P174),矩阵可逆的充要条件定理(定理3,P177),矩阵的等价标准形定理(定理5,P188), 可逆矩阵能表成初等矩阵的乘积定理(定理6,P190). 本章的三大问题:矩阵的求逆,矩阵的分块,矩阵的初等变换与初等矩阵. 4.1 计算:1) ; 2) ; 3) . 详解 1)由于,且与可交换,则 .2)先不完全归纳,然后进行归纳证明.或者,假设第次的旋转坐标变换为 ,则它们的合成变换为,但这次的旋转变换的合成变换恰好相当于1次的旋转角的旋转变换,那么也有,所以有.3)记,

2、则,那么(与可交换). 4.2 设,是一个矩阵,定义.若,试求. 略解 根据题目中的定义,则有.4.3 证明:任一矩阵都可表成一对称矩阵与一反对称矩阵之和.提示 ,前者对称,后者反对称.4.4 设,其中.证明:与可交换的矩阵只能是对角矩阵. 略证 设与可交换,则,那么,则当时,从而也为对角矩阵. 4.5 设,为级单位阵,.证明:与可交换的矩阵只能是准对角阵,其中为级矩阵. 提示 设与可交换,其中为阵,则,那么当时,则只能为准对角矩阵. 4.6 用表示行列的元素为1,而其余的元素全为0的矩阵,证明:1)若,则当时,当时;2)若,则(),(),且;3)若与所有的级矩阵可交换,则必为数量矩阵,即.

3、略证 1)由,则,比较即可.2)同样.3)与所有的级矩阵可交换,则与可交换, 由2)即知成立.4.7 证明:若是实对称矩阵,且,则.略证 记,则,且,那么,则,则,那么,即.4.8 设,.证明:. 略证 利用行列式的乘法规则及范得蒙行列式的结果,则有 .4.9 设是矩阵,证明:若,均有,则.略证 取维单位列向量组,则,那么,即,所以.4.10 设为阵,为阵,且. 证明:如果,那么.略证 记(按行分块),由,那么,又,即线性无关,因此有,即.另证 记(列分块),则,那么,又,不妨设的前个向量为极大线性无关组,则有,但是可逆,所以.问题 设分别为矩阵,且,.证明:若,则.提示 利用本题即可证明.

4、4.11 证明:.略证 记,(均按列分块),则.又组可由组线性表出,那么 .4.12 设为阵.证明:如果,那么. 详证 设,记(按列分块),由,那么, 则,说明是齐次线性方程组的一组解向量, 另设方程组有一基础解系,则可由线性表出, 所以,即得.4.13 设,已知存在,求. 详解 设为阵,为阵,则,那么存在,设,其中阵块分别为矩阵,由于,则, 可解得,所以.另解 由于,则,则,则,所以.问题 设,其中,并且,.求.提示 利用本题结论计算.4.14 矩阵称为下三角矩阵,如果时有.证明:可逆的下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵.详证 对方阵的阶数作归纳.时显然成立.假设时结论成立.下证时的情形,设为下三角阵,记(分块),则存在,且为阶可逆的下三角阵,由归纳假设,那么也为下三角阵.又,那么,所以时也成立.说明 本问题也可设出来直接证明,对于上三角矩阵也同样成立.4.15 设为矩阵().证明:.提示 .若,由于,则;若,则(否则,可逆,矛盾),则结论也成立.(或者当时,利用4.12讨论证明).4.16 设同上.证明:略证 若,则;若,则(存在阶非零子式),又,由题4.12则,则;若,则(的所有阶子式均为零),则.4.17 设,求.提示 由于,那么有,.说明 本题也可对矩阵直接用初等变换求逆或用伴随矩阵求逆.4.18 设分别为矩阵和矩阵.证明:.略