矢量的基本代数运算

1、微分几何简介笔记Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用§1矢量代数定义：矢量 即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点o和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e1，e2，e3，构成一个直角 坐标系（或标架）。用坊=O;e1,e2,e3表示；O称为cr的 原点，ei， e2， e3称为二的基矢（或底矢）。若P为空间任意一点，以O为始点，P为终点的矢量r = OP称为P点在标架二里的径 矢。P点在二里的坐标Xi， X2， X3就是r径矢在二里的分量：r = x1e1X2 e2X3e3若P、Q为空间两点，它

2、们在二里的径矢依次为r 订0X2e2X3e3，s 二 ycy e2ye则矢量PQ =OQ -OP 二s-r =(力-xjel (y? -x?© 仏-XsG其中yi -xdi =1,2,3）就是该矢量在二里的分量。各分量均为 o的矢量称为 零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。矢量 a aiei - a2e： a3e3的长为a = Ja；十 a；十 a；若a 1 , a为单位矢量（幺矢）。a丰0 ,贝Uai / a叫做a在二里的方向余弦，它们是a和e1间的角0,二之间的余弦。零矢没有方向余弦。1.2矢量的基本代数运算现有矢量aa1 e 'a2e2&#

3、39;a3e3 禾廿B 二b1e1'b2e2'b3e3，贝U1）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。a B 二（a1 bje （a2 b2）e2 （a3 b3）e32）矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。a B = （ai - b1）U （a2 - b2）e2 （a3 - b3）e33） 纯量（或数量）乘矢量：若'为纯量，则a ' &1。1' .；&3034）数积（点乘）：矢量a,卩的数积是纯量a B 二 a1b| a2b2 a3b3 二 o| Bcos寸其中才0,二是a, B之间的角。矢量a,

4、 B相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。零矢与任意矢量垂直。矢量a和单位矢量e的数积等于a在e的方向的垂直投影。5）矢积（叉乘）：矢量a, B的矢积是矢量bi32 a3b2 b3=a psin日n其中n为a , P不平行时，同时垂直于 a , P的幺矢，且a , P , n按此次序构成右手 系。a P _ a, a矢量a , p相互平行的充要条件是它们的矢积等于零。零矢与任意矢量平行。 运算规律一览若a , P , 丫是任意矢量，',是任意纯量，则1）结合律：入（）=（入卩）a（a p） Y=a （ p ' Y（'a） p - ' （ a ' P）（&

5、#39;a） P - ' （ a P）2）交换律：a B B a必须注意：a B = - B a3) 分配律：(，J a =，a a ( a B) = 1 a ' Ba ( B ' Y 二 ap. a - ya ( B'Y - a B ' a y1.3混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式1)混合积：已给三个矢量a，B，Y，则aB是矢量，(aB)丫是纯量。若，bi,Ci依此是a, B, 丫的分量，则其混合积为ai a2 a3(a 汇 B) Y = ( a, B Y = bi b2 b3C1 C2 C3根据行列式性质，有(a, B, Y = ( B, Y, a

6、= ( Y a B) = ( a, Y, B) = ( B a, Y = -( Y, B, a 混合积(a B, Y的绝对值表示以 a, B， Y为棱的平行六面体的体积。 三个矢量a, B，Y共面的充要调价是它们的混合积等于零。若三个矢量a , B , 丫共面，且a , B不平行，则丫是a , B的线性组合:Y - ' aB2) 三矢矢积：若a , B , Y是矢量，则三矢矢积为(a B) 丫 = (a，YB -(B，Y a3) 拉格朗日(Lagrange)恒等式：(a B) ( Y 3=( a Y( B ') ( a ' 8)( B ' y) 特殊地2 2 2

7、 2(a B - aB _ (a可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共面的矢量。1.4对于空间的点、直线和平面的简单应用不妨在标架；-O;e ,e2, e3中来考察空间的点、直线和平面。显然，空间的任意一点 P可用其径矢r=OP来表示。1）令空间任意一直线经过某固定点r 0，它与一单位矢量 v平行，r为直线上任意点,则该直线可表示为r = r 0 tv其中t是纯量。以上方程称为直线的 矢方程，其中t是参数，因而也叫做 参数矢方程。2）令空间任意一平面经过某固定点r 0，它与一单位矢量 n垂直，r为平面上任意点,则该平面的矢方程为n （r - r°） =0注意：通常平面具有方向性，与

8、n同向的一侧称为正侧。另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、两条相交直线、两条平行直线也可以确定 一个平面。3）过点n，作直线r = r0tv的垂线，其垂足ri =ro(ri -ro) vv点到直线的距离d =池 - r/4) 点r 1到平面n (r -r00的距离d = n (ri -r°)点到平面的垂足ri = ri -(ri -r°) nn5) 两相错直线n = ri0a与r2 = r20 +t2a2的公垂线单位矢量它们间的最短距离(r20 - ri0，ai，a2 )aa2§2坐标变换2.1基矢变换在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标架，一个固定在空间，

9、称为基础标架，另两个分别和运动中的两个齿轮相固连。因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系。设二二O; ei, e2, es，:二0； eie?®为任意两个直角坐标系。考察基矢e2,e3和e1,e2,e3之间的关系，设在坐标系 匚里，标架的基矢ei,e?©为3© Wj ej (i =1,2,3)即*e； 'i Iaiiai2ai3 1务'e 2=a2ia22a23e2导3 jja3ia 32a 33 _送3 j则aii，ai2，ai3是©在坐标系匚里的分量，也是方向余弦，即ei依次和ei,e?,e3之间的角的余弦：eej 二 aj (

10、i, j =1,2,3)而在在坐标系里，标架二的基矢e1,e2,e3为3ei = ' ajiej (i = 1 2,3)j壬e 2仗3 Jaiiai203a2ia 22a 23a3i 丨ei若引进方阵的概念和符号，令aiiai2ai3aiia2ia3iA =a2ia22a23，ATai2a22a32a3ia 32a 33 -ai3a 23a 33a 32 e 2 a33 -导3 J则a，A T互为转置方阵，且AA T =1，AT A =1其中I表示三阶单位方阵。 A和AT都是正常正交方阵 表明：从一个坐标系的基矢到另一个坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换。

11、若从二到二的 基矢的变换方阵是 A，则从；到匚的基矢的变换方阵是 AT。设有三个坐标系；，；和二”，若从二到的基矢的变换方阵是 A，从二到二”的基矢的变换方阵是 B，则从二到；的基矢的变换方阵为C 二 BA2.2矢量的分量变换设 Xi，X2，X3是任意矢量r在坐标系二里的分量，则在坐标系T里的分量为a a a -=- I J_H 1 "2 卜 3一 xk妝112131ai2a22a32a13X1a23X2*331.X3X = AX2.3点的坐标变换设任意点P在坐标系厂-0;©, e2, es里的坐标是X，在坐标系丁 - O ;e3里的坐标是X ，再设0点在；里的坐标是X0，则§3刚