高阶导数的运算法则

1、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：变速直线运动定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称证明 因为22212222xxxxxxy所以y 3y10 y(y) f (x)f (x) )(22dxdydxd

2、dxyd 22222222)1 (2xxxxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明 例1 22212222xxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明 函数22xxy满足关系式013 yy 设( )fx存在，求下列函数的二阶导数22.d ydx解解:（1）dydx例例2.（1）();xyf e（2）( ).f xye()xxfe e()()xxfee22d ydx()()()xxxxfeef

3、ee()()()xxxxxfeeef e e2()()xxxxfe efe e（2）dydx( )( )f xefx22d ydx( )2( )( )( )f xf xefxefx设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例3.思考思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得nx)1 ( ,3xaeay 例例4. 设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xann

4、eay)(xnxee)()(例例5. 设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,例例6. 设,sinxy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n例例7. 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x

5、,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )(

6、 vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立 .例例8. ,22xexy 求.)20(y解解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 2312xxy(3)1121xx1(2)(1)xx解:(1)(2)(2)(1)xxxx( )11