知识讲解_指数函数及其性质_基础

1、.指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数 y=ax(a>0 且 a 1) 叫做指数函数，其中x 是自变量， a 为常数，函数定义域为R.要点诠释：y 2 3x ， y1（ 1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且 a 1) 的函数才是指数函数像2x ，y 3x1 等函数都不是指数函数（ 2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：如果 a0 ，则x 0时， ax恒等于 0，x0时 ,a x 无意义 .如果 a0 ，则对于一些函数，比如y( 4) x ，当 x1 , x 1 , 时，在实数范围内函数值不存在24如果 a1 ，则 y1x1是个常量，就没研究的必要了要点二、指数函

2、数的图象及性质：xy=a0<a<1 时图象a>1 时图象图象性质要点诠释：定义域 R，值域（ 0，+） a0=1,即 x=0 时， y=1，图象都经过 (0 ， 1) 点 ax =a，即 x=1 时， y 等于底数 a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数 x<0 时， ax>1 x<0 时， 0<ax <1x>0 时， 0<ax<1x>0 时， ax>1 既不是奇函数，也不是偶函数（ 1）当底数大小不定时，必须分“a1 ”和“ 0 a1 ”两种情形讨论。（2）当 0a 1时， x, y0 ；当 a 1 时 x

3、, y 0。当 a1 时， a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。当0a1y轴，递减的速度越快。时， a 的值越小，图象越靠近（ 3）指数函数ya x 与 y1ax的图象关于y 轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（ 1）;.y ax ybx y则： 0 1cbad又即： x (0,+ ) 时， b xaxx ( ,0) 时， b xa xc x yd xd xcx（底大幂大）d xc x（ 2）特殊函数y2x,y3x ,y( 1)x ,y( 1) x 的图像：23要点四、指数式大小比较方法(1) 单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2) 中间量法(3

4、) 分类讨论法(4) 比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若AB0AB；AB0AB；AB0AB；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】类型一、指数函数的概念A 1，或 A 1即可BB例 1函数 y(a23a3)ax 是指数函数，求a 的值【答案】 2【解析】由 y( a23a3)ax 是指数函数，a23a31,a或2,1 a可得解得且，所以 a 2 a0,且 a 1,a1,0 a【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（ 1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（ 2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为 1，底数是大于 0 且不等于 1 的常数，指数必须是自变

5、量 x 举一反三：【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数？（ 1） y4x ；（ 2） yx4 ；（ 3） y4x ；（ 4） y( 4) x ；（ 5） y(2a 1)x (a1 且 a1) ；（ 6） y 4 x 2;.【答案】（ 1）（ 5）（ 6）【解析】（ 1）（ 5）（ 6）为指数函数其中（6） y4 x =14x，符合指数函数的定义，而（2）中底数 x 不是常数， 而 4 不是变数； （ 3）是-1 与指数函数 4x 的乘积；（ 4）中底数40 ，所以不是指数函数类型二、函数的定义域、值域例 2求下列函数的定义域、值域.3x； (2)y=4 x-2 x32 x112 x1(1)y

6、+1； (3)y a x 13x； (4)(a为大于 1 的常数 )19【答案】（ 1） R， (0 ， 1) ；（ 2） R 3 ,) ；（3）1 ,0,；（4）(- ， -1) 1 ，+)421 ， a) (a ， + )【解析】 (1)函数的定义域为 R ( 对一切 xR， 3x -1).(13x )11，又3x>0，1+3x>1，y13x13x1011， 110 ，3x13x11 0 11， 值域为 (0 ， 1).13x(2) 定义域为 R， y ( 2x )22 x1 (2 x 1) 2324值 3，同时 y 可以取一切大于3 的实数，值域为 3 ,444， 2 x &

7、gt;0，2 x12).即 x=-1时， y 取最小(3)要 使函数有意义可得到不等式32 x 110 ， 即 32 x 13 2，又函数y 3x 是 增函数 ，所以92x 12 ，即 x1，即1，值域是 0,.2,2(4)2xx10 定义域为 (- ， -1) 1 ，+) ，x111xx1x11 ， y a2x12 x1又0且x 1且 y ax 1a ， 值域为 1 ，a) (a ， + ).x1x11【总结升华】 求值域时有时要用到函数单调性；第 (3)小题中值域切记不要漏掉y>0 的条件， 第 (4) 小题x1121不能遗漏 .中1xx 1举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域：

8、;.(1)y2x2 -1(2)y3 3- x(3)y2x -1(4)y 1- ax ( a0, a 1)【答案】（ 1） R；（ 2） -，3 ；（ 3） 0,+；（ 4） a>1 时， -，0 ； 0<a<1 时，0，+【解析】 (1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x 0，即 x3，即 -，3 (3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1 0，即 2x 1，故 x 0，即 0,+(4) 为使得原函数有意义，需满足1 a x0 ，即 ax1，所以 a>1 时， - ，0 ； 0<a<1 时， 0，+.【总结升华】 本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调

9、性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例 3讨论函数f ( x)13x22 x的单调性，并求其值域x22 x【思路点拨】对于x R， 10 恒成立，因此可以通过作商讨论函数f ( x) 的单调区间此函数3是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果【答案】函数 f ( x) 在区间（，1）上是增函数，在区间 1，+）上是减函数（0，3【解析】解法一：函数f (x) 的定义域为（， +），设 x1、 x2（， +）且有 x1 x2，1x22x1x22 x2211 f ( x2 )， f ( x1 )3

10、，31f ( x2 )3f ( x1 )13x222x2x122x11x2x22( x x )(xx )( xx 2)21211212133（1）当 x1 x2 1 时， x1+x 2 2，即有 x1+x 2 20( x2 x1 )( x2 x1 2)又 x2 x1 0， (x 2 x1 )(x2+x 1 2) 0，则知 113又对于 xR， f ( x)0 恒成立， f ( x2 ) f ( x1 ) 函数 f ( x) 在（， 1）上单调递增（ 2）当 1x1 x2 时， x1+x2 2，即有 x1+x 2 2 0又 x2 x1 0， (x 2 x1 )(x2+x 1 2) 0，则知( x

11、2 x1 )( x2 x1 2)01 f ( x2 ) f ( x1 ) 13函数 f ( x) 在 1， +）上单调递减;.综上，函数 f (x) 在区间（，1）上是增函数，在区间1， +）上是减函数x2 2 x1x2 2x=(x 1)2 1 1， 011， 0113 333函数 f ( x) 的值域为（ 0， 3解法二：函数f (x) 的下义域为 R，令 u=x 2 2x ，则 f (u)13uu=x 2 2x=(x 1)2 1，在（， 1上是减函数， f (u)13u在其定义域内是减函数，函数f (x)在（， 1内为增函数1又 f (u)3u在其定义域内为减函数，而 u=x 2 2x=(

12、x 1) 21 在 1，+）上是增函数， 函数f (x)在 1， +）上是减函数值域的求法同解法一【总结升华】由本例可知，研究ya f ( x) 型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a 1 时， ya f ( x) 的单调性与 yf ( x) 的单调性相同；当0 a1 时， ya f (x) 的单调与y f (x) 的单调性相反举一反三：【变式 1】求函数 y 3x2 3x2的单调区间及值域 .( , 3 上单增，在 x 3 ,1【答案】 x)上单减 .(0,34 22【解析】 1复合函数分解为：u=-x 2+3x-2 ， y=3 u；2利用复合函数单调性判断方法求

13、单调区间；3求值域 .设 u=-x 2+3x-2 ， y=3 u，其中 y=3u 为 R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在 x( ,3 上单增，32u=-x 2+3x-2 在 x,) 上单减，2, 3 上单增，在 x 3 ,则 y 3 x2 3x 2 在 x()上单减 .223)211 ， y3 x2 3x21又 u=-x 2+3x-2( x的值域为 (0,3 4 .244【变式 2】求函数 f ( x)a x2 -2 x(其中 a0，且 a1) 的单调区间 .【解析】当 a>1 时，外层函数y=au 在 (， ) 上为增函数，内函数u=x2 -2x 在区间 (，1) 上为减函;

14、.数，在区间1，+上为增函数，故函数f ( x) ax2-2 x在区间(-， 上为减函数，在区间，上为增函1)1 +数；y=au 在 () 上为减函数，内函数 u=x2-2x当 0<a<1 时，外层函数，在区间 (，1) 上为减函数，在区间 1，+上为增函数，故函数f ( x)ax2 -2 x，上为减函数 .在区间 (1) 上为增函数，在区间 1,+例 4证明函数 f ( x)a x1( a1) 在定义域上为增函数 .a x1【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为xR，任取 x1<x ，2f ( x1 )f (x2 )ax11a x21 (ax1 1)(a

15、x21) ( ax11)(a x2 1)ax11a x21( ax11)(ax21)2(a x1ax2 ).(ax11)(ax21) ax11 0, a x21 0 ， (ax11)(a x21)0 ，又 a>1， x 1<x2， a x1ax2 ，ax1ax20 ， f(x 1)<f(x2) ，则 f ( x)a x1( a1) 在定义域上为增函数 .a x1另： a x1ax2a x1 (1a x2 x1 ) ， a x10 ， a>1且 x2-x 1>0， ax2 x11， 1 a x2 x10 .【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具

16、体函数. 因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例 5判断下列各数的大小关系：21 )-2(1)1.8 a 与 1.8 a+1；(2)()3,34 ,(0， ( 1 )2.533(3)22.5 ， (2.5)(4)a 2 与a 3 (a 0, a1)2【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。【答案】（ 1） 1.8 a<1.8 a+1 （ 2） (1) 32<(1)-2 <34（3） (1) 2.5 <(2.5) 0 <22.5332（ 4）当 a>1 时， a 2a 3 ，当 0<a<1 时， a 2a 3【解析】1.8>1 ，所

17、以函数 y=1.8 x 为单调增函数，(1) 因为底数又因为 a<a+1，所以 1.8 a<1.8 a+1.4x<( 1)-2<(2)因为 341，又 y1是减函数，所以 ( 1 ) 321333332.51，所以 ( 1 )2.5 <(2.5) 0 <22.5(3)因为 22.51 ，122-4 ，即 ( 1 )23 <( 1 )-2<3433(4) 当 a>1 时， a 2a 3 ，当 0<a<1 时， a 2a 3 【总结升华】(1) 注意利用单调性解题的规范书写；(2) 不是同底的尽量化为同底数幂进行比较( 因为同底才能

18、用单调性 ) ；(3) 不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小( 常用的中间量是“0”和“ 1” ).举一反三：;.【变式1】比较大小：(1)2 2.1 与 22.3(2)3.53 与 3.2 3 (3)0.9-0.3与 1.1 -0.1(4)0.9 0.3 与 0.7 0.4(5) 1.5 0.2 ,(2 )31, ( 4)31.33【解析】(1)2 2.1 22.3(2)3.5 3 3.23. 观察两函数值，底数不同，而指数不变不是指数函数，而是y=x 3，它为增函数 .(3) 由 0.9 -0.3 ， 0<0.9<1 ， -0.3<00.9 -0.3 >1，1.

19、1>1， -0.1<00<1.1 -0.1 <1， 则 0.9 -0.3>1.1 -0.1；(4)由指数函数图象相对位置关系数形结合，0.30.40.9 >0.7 .(5) 1.5 0.2( 2) 0.2 ，又函数 y( 2 ) x 为减函数，33x00y1，1( 2 )0.2( 2)310 ，3311( 4) x 为增函数， x( 2)0.2 y10 时， y>1， ( 4)3(2)3 .33333111另解： 幂函数 yx3为增函数，则有 ( 4) 31 (2)3，( 下略 ).33【高清课堂：指数函数369066 例 1】111【变式2】利用函数

20、的性质比较2 2，33，66111【答案】 3322661311【解析】 22 = 26(23)68612211336(3)6963作出 y8x, y9x, y6x 的图象知y9xy8xy6x111所以 332266【变式3】 比较 1.5 -0.2 ， 1.30.7， ( 2)31的大小 .3【答案】 (2) 311.5 0.21.30.73【解析】先比较1.50.230.22)512)3122x( )(与 (的大小 . 由于底数3(0 ， 1) ， y () 在R上是233311( 2)0减函数，110， 0(2)3(2)51，再考虑指数函数y=1.3 x， 由于 1.3>1 ， 所

21、以35333;.y=1.3 x 在 R 上为增函数 1.3 0.7 >1.3 0=1， ( 2) 311.5 0.21.30.7 .3【总结升华】 在进行数的大小比较时，若底数相同， 则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数 ( 如 0， 1 等 ) 分别与之比较，从而得出结果 . 总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断 .42例 6. ( 分类讨论指数函数的单调性) 化简：a 3 - 2a a3a 进行分类讨论，去掉绝对值。【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形

22、式，然后对221422121a 3 - a 3 , a1【解析】a 3 - 2aa3a 3 - a3a 3- a312a 3 - a3 ,0a1举一反三：【变式 1】如果2x1ax5a0a1a（，且），求 x 的取值范围【答案】当0a1时， x6；当 a1时， x6【解析】（1）当 0a1时，由于 a2 x1a x 5 ，2x 1x5 ，解得 x6 （ 2）当 a1 时，由于 a2x1ax5，2x 1x5 ，解得 x6综上所述， x 的取值范围是：当0a1时， x6 ；当 a1时， x6 类型四、判断函数的奇偶性例 7判断下列函数的奇偶性：f ( x)(2x111 ) ( x)( x) 为奇函

23、数 )2【答案】偶函数【解析】 f(x)定义域关于原点对称( ( x) 定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是(x) 定义域除掉0 这个元素 ) ，令 g(x)11x)112 x12 x12x，则 g(2 x1 2 1 2x2 2 x1 21 2(2 x1)1112 x11(11)g(x)2 x121 22 x1 2 g(x) 为奇函数，又 (x) 为奇函数，f(x)为偶函数 .【总结升华】求 f ( x) g( x)( x) 的奇偶性，可以先判断g( x) 与( x) 的奇偶性，然后在根据奇·奇 =偶，偶·偶 =偶，奇·偶 =奇，得出 f(x) 的奇偶性举一反三：;.【变式 1】判断函数的奇偶性：f ( x)x1x .2x2【答案】偶函数【解析】定义域 x|xR 且 x 0 ，又 f ( x)x(11x(2x1x(2x12x1)2x)x1)212222x11111