椭圆及其标准方程

1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程生活中的椭圆问题:(1)(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? ?(2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是什么呢？是什么呢？数数 学学 实实 验验 同学们一起观察以下操作：同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无在图板上，将一根无弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？动，能得到什么图形？1.1.椭圆定义椭圆定义 把平面内与两个定点把平面内与两个定点F F1 1、F F

2、2 2的距离之和（的距离之和（2a2a）等）等于常数（于常数（大于大于|F|F1 1F F2 2| |）的点的轨迹叫做椭圆。）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点这两个定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的，两焦点间的距离叫做椭圆的距离叫做椭圆的焦距焦距（2c2c）F1F2M 你知道你知道2a=2c2a=2c和和2a2c2ab0ab0；（3 3）焦点在焦点在分母较大的变量分母较大的变量所对应的坐标轴上；所对应的坐标轴上；（1）方程的左边是两项）方程的左边是两项平方和平方和的形式，等号的右边是的形式，等号的右边是1；（4 4） a a椭圆上任意一点椭圆上任意一点P P

3、到到F F1 1、F F2 2距离和的一半；距离和的一半； c c半焦距半焦距. .且有关系式且有关系式 成立。成立。222cba 3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到平面内到两两个定点个定点F1，F2的距离的的距离的和和等等于于常数常数（大于大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系

4、的关系根据所学知识完成下表根据所学知识完成下表xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2POa2=b2+c2例例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是（已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0），（），（2,0）并经过点（并经过点（ ， ），求他的标准方程。），求他的标准方程。2523练习练习1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_例题精析例题精析1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程

5、的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a15422yx(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ,则则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：焦点坐标为：_，焦距，焦距 等于等于_; 若曲线上一点若曲线上一点P到下焦点到下焦点F1的距离为的距离为3，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_， 则则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)25 5 2 532 53 2 522 52PF1F2|PF1|+|PF2|=2a练习练习2.2.求适合下列条件的椭

6、圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；6(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点； (4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).2211 61 2xy22xy+= 149小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位定位：确定焦点所在的坐标轴；：确定焦点所在的坐标轴；定量定量：求：求a, b的值的值.（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：）求适合下列条件的椭圆的标准方程： a

7、=4，b=1，焦点在，焦点在x轴上；轴上； ，焦点在，焦点在Y轴上；轴上； a+b=10， 。4,15ac 2 5c 22222222(1)116(2)116(3)1136163616xyyxxyyx：或或答答案案 2.（1）动点）动点P到两个定点到两个定点F1（- 4，0）、）、F2（4，0）的距）的距离之和为离之和为8，则，则P点的轨迹为点的轨迹为 （ ） A、椭圆B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定B11625)2(22 yx11)3(2222 mymx11616)1(22 yx0225259)4(22 yx123)5(22 yx11624)6(22 kykx 下列各式哪些表

8、示椭圆？若是下列各式哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明则判定其焦点在何轴？并指明a2，b2，写，写出焦点坐标出焦点坐标.2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系xyF1 1F2 2POxyF1

9、1F2 2POa2-c2=b2小结小结0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系a2 2= =b2 2+ +c2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM复习复习1.1.求椭圆标准方程的步骤：求椭圆标准方程的步骤：定位定位：确定焦点所在的坐标轴；：确定焦点所在的坐标轴； 定量定量：求：求a, b的值的值.2.判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分焦点在分母大的那个轴上。母大的那个

10、轴上。2112221326101251632xyFFFFMMFMFMxyPP+=+=+=22121.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 52. 、 是定点，且，动点 满足， 则点 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段3.已知椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离 为，则 到另一焦点的距离为（ ） (A) (7B)3 (C)5 (D)AAD4.椭圆的方程是椭圆的方程是 焦点是焦点是 . 若若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，则的弦，则F2CD的周长是的周长是 .5.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆，则轴上的

11、椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 . 6.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭圆，轴上的椭圆，则则m的取值范围是的取值范围是 . 191622yx 0 ,7,0 ,716(0,4)7. 已知三角形已知三角形ABC的一边的一边 BC 长为长为6，周长为，周长为16，则，则顶点顶点A的轨迹方程的轨迹方程_.22xy+=14m2222xyxy+=1+=1m -13-mm -13-m(1,2)例例2 2 如图，在圆如图，在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上任取一点上任取一点P, P,过点过点P P作作x x轴的垂线段轴的垂线段PDPD，D D为垂足，当点为垂足，当点P P在圆在圆上运动时，线段上运动时，线段PDPD的中点的中点MM的轨迹是什么的轨迹是什么? ?为什么？为什么？轨迹与轨迹方程是不同的概念。轨迹与轨迹方程是不同的概念。 oxyDpBAMOXy例例3 如图，设点如图，设点A,B的坐标为的坐标为直线直线AM,BM相交于点相交于点M,且它们的斜率之积且它们的斜率之积 ，求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。( 5,0),(5,0)49例.求焦点在坐标轴上，且经过A( ，2)和B(2 ，1)两点的椭圆的标准方程331.1.设点设点A A、B B的坐标分别为的坐标分别为(-5(-5，0)0)，(5(5，0).0).直直线线AMAM、BMBM相交于点相交于点M M，且它