2006典型例题解析--几何组成分析

1、第1章几何组成分析§ 1 - 1基本概念1-1-1名词解释 几何不变体系 结构（静定或超静定）在不考虑材料变形情况下，几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。 几何可变体系在不考虑材料变形情况下，形状或位置可变的体系，称为几何可变体系。 刚片在平面上的几何不变部分。 自由度确定体系位置所需的独立坐标数目。 约束（联系）能够减少自由度的装置。减少自由度的个数为约束个数。链杆一一相当1个约束 较一一相当2个约束虚钱一一相当2个约束复校 相当n-1个单校的作用 多余联系不能减少自由度的联系，称为多余联系。 必要联系去掉时能够增加自由度（或维持体系不 变性必须）的联系。 瞬变体系几何特征

2、：几何可变体系经过微小位移后成为几何不变体系。静力特征：受很小的力将产生无穷大内 力，因此不能作结构。1-1-2分析规则在不考虑材料应变所产生变形的条件下，构成无多余约束几何不变体系（静定结构）的基本规则如下： 三刚片规则三个刚片用不在同一条直线上的三个钱（或虚钱）两两相联。 二刚片规则两个刚片用不交于一点也不全平行的三根链杆相联；或：两个刚片用一个钱和不通过该校心的链杆相联。二元体规则什么是二元体（二杆结点）：两根不在同一条直线上 的链杆联接一个新结点的装置,称为二元体。在一个体系上增加或减少二元体不影响其几何不变性。1-1-3几何组成分析一般方法（步骤）（1）去二元体（二杆结点）。（2）分

3、析地基情况：上部体系与地基之间 当有满足二刚片规则的三个联系时，去掉地基，仅分析上部体系； 当少于三个联系时，必为几何常变体系； 当多于三个联系时，将地基当作一个刚片进行分析。（3）利用规则找大刚片（最简单情况为：三个较接杆件为刚片）。（4）使用几何组成规则进行分析。利用三刚片规则分析 时：首先找出三个刚片，（满足三刚片规则的连接条件，即每两个 刚片间有一个饺（或虚钱），然后再标出虚钱位置，最后看三个钱是否构成三角形。§1-2典型例题解析例题11图0 23 r : b !1 : b : b : b !1 b : b ban ;【解法一】 对图a所示体系有：先去二元体ACD;.BD杆件

4、与地基之间用既不平行也不交于一点:的三个链杆相连满足二刚片规则；：整个体系为无多余约束的几何不变体系。；【解法二】： 对图a所示体系有：- BD杆件与地基之间用既不平行也不交于一点:的三个链杆相连满足二刚片规则，故 BD与地基构:成一个新刚片；将二元体ACD加到新刚片上；:整个体系为无多余约束的几何不变体系。:BD为基本部分、ACD为附属部分。1【解法三】如图b所示：:CD折杆当做刚片I;BD杆件当做刚片II ;,地基为刚片III ;刚片I与刚片II之间用链杆CA、D链杆支座:连接，虚较为Oi2刚片I与刚片III之间用钱D连接，虚较为Oi3| 刚片II与刚片III之间用B处两个平行链杆连:接，

5、虚钱在无穷还为。23三个虚钱构成三角形，满足三刚片规则，整个I体系为无多余约束的几何不变体系。j【分析】:注意二元体：二元体是一个由两个链杆： ;钱接在一起且三个较不共线的装置 ，每个； i链杆可以是直杆也可以是曲杆 （包括折： 侪）。当二元体ACD去掉时，较A和较D; ；不能同时去掉，因较A和较D其它杆件还； .需要。由于B端不是实较（虚钱在无穷远： ；处），一般情况 DB杆件不能当作链杆看； :待。：；基附型结构：对于具有基本部分和附属； :部分的结构，找出基附关系对于确定静力 ； ；计算方法是很重要的。；三刚片规则应注意：首先应确定三个刚； ;片，每两个刚片之间必须有两个联系（一 ； :

6、个钱或虚钱），这样只是满足了三刚片规 j ；则的必要条件（前提条件），是否满足三； ;刚片规则，还须三个钱（或虚钱）构成三 ： ；角形。另外在确定两个刚片之间的较（或 ： ；虚较）时，每个联系（链杆）只能使用一 ； :次，绝不能重复使用。：?分析结论：当是几何不变体系时，还要： ；说明是否有多余联系（约束），若有多余； :联系，必须指明有几个多余联系。【例题1-2】 试对下列图示体系进行几何组成分析(b)例题1 2图【题a解】对图a所示体系有：去掉地基；刚片ACDE与刚片EFB用较E和链杆DF相连，满足两刚片规则。整个体系为无多余约束的几何不变体系。【题b解】对图b所示体系有：去二元体DEBF

7、 ;去二元体FBC;去二元体CB;AB杆件与地基刚接构成刚片；整个体系为无多余约束的几何不变体系。AB为基本部分，其它为附属部分。；【题C解】j 对图c所示：:去二元体GFD;:CD链杆与地基链杆支座的三个较共线，为瞬:变的；因此，整个体系为瞬变体系。:地基：当上部体系与地基之间有满足二:刚片规则的联系时，可以去掉地基联系，;仅分析上部体系即可。图 a体系去地基后， ；分析上部体系。:二元体：两个链杆钱接在一起，且三个 .较构成三角形，就是二元体。体系如果有 ；二元体最好先去掉，这样可以使体系得到 :简化。图b和图c两个体系都有二元体。:瞬变情况：当两个较接链杆的三个较共:线时，不能构成二元体

8、，是几何瞬变体系。:图c体系的其它部分即使是几何不变，整 :个体系也是几何瞬变的。:基附关系：图b体系AB与地基直接构成 :几何不变，AB基本部分，DFB8附属部分， :图b为基附型结构。具有基本和附属部分 的结构在静力计算时可利用基附关系的组 ；成特点顺利求解。【例题1-3图示体系分析几何组成(a)JparrRaTrreB-rreaa-rreanrrea-rrraa-rrRairrBaireaa-rrranrraa-rrraarrRairrraairBaarrRawrraa-rreaarrRaTrreair【解】us an j ( j ubbu 1 !1 i. j ubbii j ubbii

9、 】 j u n i a t| j ubbh i a i1 j ubbh j b i j :【分析】；二元体：图a体系GH和H链杆构成二元体，先；去掉二元体，体系简化如图b所示。:地基情况：图b的上部体系与地基之间有四个联对图a所示体系有：先去二元体GFH;:将地基当彳刚片I, DEFG当作刚片II , ABC当作刚片III ;I、II刚片的虚钱D；I、III刚片的虚较为沿 ABC方向无穷： 远。13II、III刚片的虚较为 EB、FC无穷远： 。23三个较D、Oi3、O23构成三角形，满： 足三刚片规则；：因此整个体系为无多余约束的几何不 ； 变体系。：GH为附属部分，ACDG为三刚片组：

10、成的基本部分。：二【问题？ 1;i用二刚片规则如何分析该体系的： 几何组成？；!系，地基不能去掉，首先将地基当成一个刚片。j利用三刚片规则：上部体系没有与地基直接构成 .几何不变的部分，要在上部体系再找两个刚片。按 ；照三刚片规则的要求寻找另外的两个刚片，即保证 j每两个刚片之间有两个联系。DG、AC杆件作刚片 .就满足这样的要求。；确定虚钱：两刚片之间的两个链杆联系构成一个 :虚钱，虚钱的位置为链杆延长线的交点，平行链杆 *勺虚较在无穷远处，I与III为O13, II与III为O23, ；I与II为D。:是否满足规则：将三刚片的三个虚钱，每两个连；线，分析是否构成三角形，构成三角形就满足三刚

11、；片规则。:三角形与直线区别：:直线上的三个点，任意两点连线，连线之间的；夹角是0度或是180度。如果有一个角度不是 0也 ;不是180度，那么一定构成三角形。【例题1-4】 分别分析图示两个体系的几何组成O mat res=« rrsi rrraH i rrsi i rrrBa-i rrsi i rrm rrea, rrsi real ri rrsi i rarren i rrei rnst rea l rran rnni fbh i rq；【题a解】对图a所示体系有：|:先去二元体ECD ;AAB折杆件与地基之间满足二刚片规则；!:整个体系为无多余约束的几何不变体系。AAB为基本

12、部分，CED为附属部分。|:本题亦可先去地基，将 CE ED CABD乍三个|删片，用C D E三个较相连接满足三刚片规则。|:【题b解】i；对图a所示体系有：|:DE杆件与地基构成几何不变体系；!:CB刚片与地基之间用 AB链杆和C处两个|;平行链杆相连接，三个链杆不平行也不交与一点 :满足二刚片规则，故 CB与地基构成几何不变体| 深； |:BD链杆为多余联系；j; 故整个体系为有一个多余约束的几何不变 ；体系。 本题也可先去掉BD杆件；分析剩下部分若：；分别与地基构成几何不变部分，则 BD杆件为多1 :余联系，结论也是有一个多余联系的几何不变体|;系。 , HBaa . j a . j

13、aaasi bu j iw:【分析】：:二元体：两个链杆钱接在一起，且三个校 ;构成三角形，就是二元体。体系如果有二元 I :体最好先去掉，这样可以使体系得到简化。 ; :图a体系有二元体，先去掉。图 b体系无二? ；元体。地基情况：图a的上部体系与地基之间有: ；三个联系，地基可以去掉，去掉地基后部分 : ;若构成一个刚片，则整个体系为几何不变体 : :系。图b体系的地基不能去掉。；找几何不变部分：图b体系二元体、地基j :都考虑之后，找与地基能够直接构成几何不 : ；变体系的部分，DE杆件与地基刚接构成几: ；何不变部分，CB、AB两杆件与地基满足二: ;（或三）刚片规则构成几何不变部分如

14、图 Co； ；多余联系判断：图b的上部体系除DB杆; :件外都与地基直接构成几何不变体系，DB：才千件不考虑也是几何不变， DB杆件是多余e ；联系，即图b体系为有一个多余联系的几何:不变体系。【例题1-5图示体系分析几何组成(b)例题1 5图对图a所示体系有：先去二元体FDG、HGE ;:将地基当作刚片 I, ACD当作刚片II,GE当作刚片III ;:I、II刚片之间用链杆支座 A和链杆CB连接，j 其虚钱在A处。I、III刚片之间用链杆支座 G和链杆BE连接，其虚较为沿BE方向无穷远Oi3jII、III刚片用链杆 DG和链杆CE连接，其:虚较为DG方向无穷远O23j三个较A、Oi3、。2

15、3构成三角形，满足三刚: 片规则；:因此整个体系为无多余约束的几何不变体 系。I【思考】：若选CBE部分作为刚片III ,将如何分: 析几何组成？：7O3* i i , i i i i , i i i i , i i i i i i i i i , i i m “分析】j-去二元体：首先将体系的二元体 FDG、HGE- 先去掉，这样可以使体系得到简化。: 地基情况：图a的上部体系与地基之间有； -四个联系，地基不能去掉，将地基当成一个:刚片。： 利用三刚片规则：上部体系没有与地基直； 一接构成几何不变的部分，要在上部体系再找I两个刚片。按照三刚片规则的要求寻找另外：的两个刚片，即保证每两个刚片

16、之间有两个： :联系。GE杆件作刚片、ACD作刚片就满足 一这样的要求。 确定虚钱：两刚片之间的两个链杆联系构，:成一个虚钱，虚钱的位置为链杆延长线的交一点（对于曲折链杆，利用链杆的两个较连线:的延长线），一对平行链杆的虚较在沿链杆方?一向的无穷远处。I一是否满足规则：将三刚片的三个虚钱，每； 两个连线，分析是否构成 三角形，构成三角： ,形就满足三刚片规则。【例题1-6图示体系分析几何组成(b)例题1 6图m rani ran i isai rani ran i ri!，F r vi rbh-i rrsi i r, rsi rbi r rwn nai rr， ran i ritti， rai

17、l ran i （【解】对图a所示体系有：将地基当作刚片I;CA当作刚片II,DB当作刚片III ;I、II刚片之间用链杆支座 A、C连接, 其虚钱在A处为012。I、III刚片之间用链杆支座 B、D连接, 其虚钱在D处为013。II、III刚片用链杆 CD和链杆AB连接, 其虚较为CD方向无穷远023三个钱。12、。13、023构成三角形，满 足三刚片规则；因此整个体系为无多余约束的几何不 变体系。【思考】若选CD、AB部分作为两个刚片， 将如何分析几何组成？,1 L- J I l< L - I I 1. h J I I L- J I l> L _ I I 1. b J I I

18、L- J I I, L - I 111d/ I I L- J I I, L - I I L b J I I L- J I 1, L - I I L b J I I L- J I L L - I I 1. b J I I L- J I 1. L - I 111占I I ' I【分析】I 二元体情况：该体系没有二元体可以先去掉。地基情况：图a的上部体系与地基之间有四个联 :系，地基不能去掉，首先将地基当成一个刚片。,三刚片规则的利用：上部体系没有与地基直接构 成几何不变的部分，要在上部体系再找两个刚片。 :按照三刚片规则的要求寻找另外的两个刚片，即保 证每两个刚片之间有两个联系。CA、DB

19、杆件作刚.片就满足这样的要求。若先取CA杆件作刚片，再取 AB杆件作刚片， CA杆件与地基用C、A链杆连接，则AB杆件与地 I基之间只有一个链杆 B,缺少一个联系，不满足三 :刚片规则的要求；此时同样也不能选CD杆件作为第三个刚片。|但本题选取CD、AB杆件同时作为刚片也可以:满足三刚片的要求。确定虚钱：两刚片之间的两个链杆联系构成一个|虚钱，虚钱的位置为链杆延长线的交点（对于曲折:链杆，利用链杆的两个较连线的延长线），一对平.行链杆的虚较在沿链杆方向的无穷远处。1 是否满足规则：将三刚片的三个虚钱，每两个连 :线，分析是否构成三角形，构成三角形就满足三刚 .片规则。【例题1-7 分析图示体系

20、的几何组成0G例题17图:【分析】【解】对图a所示体系有：你i次去二兀体A、B、H 将FJ、JE二元体加到地基上构成新的刚片IIIG当作刚片I;刚片I、II之间用三个链杆相连接，三个链杆 （IJ、ID、GC）的延长线交于一点，不满足二刚片 规则；整个体系为瞬变体系。.去二元体：本题杆件个数比较多，通过 :去掉二元体可以使体系大量简化。去二元 :体是有顺序的，外层的二元体去掉后，可 :能暴露出新的二元体。因此在去掉二元体 ;后，看看还有没有新的二元体出现，若有 :新二元体出现继续去掉新二元体。【思考？】:注意：两个链杆较接在一起，如果这两:个链杆的三个较是共线的（即不构成三角；形），这两个链杆不

21、是二元体。图 b所示 :的GI、GC不能当作二元体简单去掉。对图b所示体系有:GhGC也是两个链杆钱接在一起，是否 构成二元体？:瞬变体系确定：当两个刚片之间用三个 :延长线相交的链杆相连接时，刚片只要转 :动一点到新的位置后，三个链杆的延长线 ；就不会相交于一点了，因此本题是瞬变的 “本系。mm wm mrvi rrwi twin ram mnm 11m imi mv irn rrn mn rwri mv mm 【例题1-8 分析图示体系的几何组成(b)(c)(d)(e)I'【解法一】；对图a所示体系有：:先去地基得到图c体系；;依次去二元体 ACG、BED、GCI、EID;； FI

22、杆件绕F点转动，亦即缺少一个联系；：整个体系为几何常变体系。|【解法二】对图c所示体系有：:ACG、FI、BED当作三个刚片；j ACG、FI两刚片用CF和GI两链杆件； BED与FI用FD和IE两链杆相连； ACG与BED两刚片之间只有一个链杆 CD, ,缺少一个联系；所有联系都已使用，因此缺少一个联系；这个体系为几何常变体系。I I i-bi4 I bi-a-i i-te4 I f-ra-i i-bS4-i i-be4 I i-bd-i 1-8 4 Ii-bS-i I bta-i I !"分析】:考虑地基情况：图a上部体系与地基之. ；间有满足二刚片规则的三个联系，可以去 . ；

23、掉，仅对上部体系进行分析即可。：:二元体：图c为地基去掉后的体系，寻 ；找二元体，去掉两个二元体 ACG、BED :GCI、EDI又变成二元体，再去掉这两个新： ；二元体。找大刚片：图b体系，将三角形 ACG、 汜ED当作两个大刚片，FI当作一个刚片，： :按照三刚片规则前提条件每两个刚片之间 :应有一个钱（或虚较），若所以联系都被使 :用，联系还不够，一定是几何可变体系 。： :注意：若将三角形CFD当作刚片则无法. ;分析。【例题1-9 分析图示体系的几何组成例题19图“it i i i i i i i i i fc i i mi i i i 1 i i i i i i I i i i !

24、 i i :【分析】地基情况：图a的上部体系与地基之间有四个联系，地 ； ；基不能去掉，首先将地基当成刚片 I。j:找另外两个刚片：按照三刚片规则的要求寻找另外的两 ； 个刚片，即保证每两个刚片之间有两个联系。:而对图a所示体系有：将地基当作刚片I;；ECF当作刚片II ;DB当作刚片III ;；I、II刚片之间用链杆支座 c和;链杆AE连接，其虚钱在 Oi2处。；I、III刚片之间用链杆支座 B； 和链杆DA连接，其虚较为沿DA方! 向无穷远Oi3;II、III刚片用链杆 DE和链杆；BF连接，其虚钱在为 F较处O23 ； 二个较0或、。13、 。23共线（不：能构成三角形），不满足三刚片规

25、： 则；：因此整个体系为瞬变体系。 ；【思考】若选ADE部分作为刚片| III ,将如何分析几何组成 ？；. 若先取三角形DAE作为第二个刚片、CEF作为第三个: :刚片，刚片CEF与地基之间只有一个联系，不满足三刚片 ； .规则条件；同样 DB （或BF）作为第三个刚片，第三个刚； :片与地基之间都缺少一个联系。因此，三角形 DAE不能作j :为刚片。：. 取三角形CEF作为第二个刚片II ,与地基之间用AE； :杆件和C链杆支座连接；j:DE、BF与地基之间只有一个联系； AD与刚片II只有:I一个联系，都不能作为刚片III ;: DB与地基和刚片II之间都有两个联系，满足三刚片; :的要

26、求。将DB作为刚片III o；1确定虚钱：两刚片之间的两个链杆联系构成一个虚钱，:虚钱的位置为链杆延长线的交点，一对平行链杆的虚钱在:沿链杆方向的无穷远处。:1 是否满足三刚片规则：将三刚片的三个虚钱，每两个连 : :线，分析是否构成三角形，构成三角形就满足三刚片规则。【例题1-10 图示体系分析几何组成例题110图【解】本题无法利用几何组成规则进行分析， 将采|用零载法确定几何组成性质。：为方便计算假设体系的水平、竖向桁架杆件长 1度相等；可知斜杆角度为 45°。|先假定B处支座反力为X;:利用平衡条件可求得其它支座反力如图 b; I取A、B、C、D结点隔离体，如图c所示，|利用平

27、衡条件可求出杆件轴力。i取E结点隔离体求出杆件未知轴力，如图 d j取F结点隔离体，如图 e,歹U X方向投影平衡|:条件，得： X=0:可计算出所有杆件轴力均为零。说明无外力作 |用时内力为零。因此整个体系为无多余约束的几何 |不变体系。,口(HUI.SI4.0 .目，IU0(>|IU0.“分析】，几何组成分析：图a体系没有二元体可 !以去掉，地基也不能去。当将地基作为刚 :片时，上部体系找不到满足三刚片规则的 :两个刚片，因此该体系无法利用规则进行 !几何组成分析。当去掉任一个链杆支座时 :可以判断变成了少一个联系的常变体系， 说明该体系的计算自由度为零，不可能是 ；超静定结构。，静定结构的内力是唯一的，无外荷载"乍用时内力应为零，以此作为判断是否为 j静定结构(无多余约束的几何不变体系)。 ? 计算内力：图a体系，先假定B支座