2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析

1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。(1)下列曲线中有渐近线的是2.(A) y x sin x.(B) y x sin x.(C) y1x sin .x(D).1sin 一.a lix xlimx.1 sin xlim(1x1 . 1、 sin )lim f (x) ax lim x xx.1sin 一 xxlimsinx11 一y=x是y=x+ sin -的斜渐近线 x【答案】C(2)设函数f x具有2阶导数，g xf 0 1 x f 1 x,

2、则在区间0, 1上(A)当 f (x) 0 时，f xg x(C)当 f (x) 0 时，f xg x(B)当 f (x) 0 时，f x g x(D)当 f 0时，f x g x1d 0 f (r cos , r sin )rdr.【解析】当f x 0时，f x是凹函数而g x是连接0, f 0与(1,f 1 )的直线段，如右图故 f x g x11 y设f x,y是连续函数，则 0dy 丁?f (x, y)1x 10/1 x2(A) 0 dxi f(x, y)dy1dx °f(x,y)dy.11 x00(B) 0 dx0 f (x, y)dy 1dx 1x2 f (x, y)dy

3、.(C) 02 d0cos sin f (r cos ,r sin )dr d 0 f (r cos , r sin )dr.2_1(D) 02 d:0s sin f (r cos , r sin )rdr【解析】积分区域如图0 或 W1.用极坐标表木,即:Di：D2：cossinai cosx(A) 2Za 2Zb由(i)由(2)(xa1 cosx,.、2 ,D sin x) dxmina,b R2 ,(x acosx bsin x) dx , 则b1 sin x(B)2cos x .(C)2 sin x.(D)cosx.令 Z(a, b)(x(x(5)行列式(A) (ad-bc ) 2c

4、b( 1)32(ad(ad【答案】acosxacosx2 , (x a cosx bsin x) dxbsinx)( cosx) dxbsin x)( sinx)dx2ao cos xdx0 xsin xdx0 sin2 xdx故 a 0,a10b12(D) b2 c2-a2 d2a b 00 a b按第4行展开c( 1)410 0bd( 1)44a 0 0c d 00 c d(C) a2d2-b2c2.(B) - (ad-bc)b01)21bc) bc ad(ad bc)(bc ad) Bbc)(adbc)2(6)设1,2,3均为3维向量，则对任意常数k,l,向量组1 k 3,2 l 3线性

5、无关是向量组 i ,2, 3线性无关的()(A)必要非充分条件.(B)充分非必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件1 0【解析】由(1 k 3, 2 l 3) ( 1, 2, 3) 0 1 知，k lr 1 0当1, 2, 3线性无关时，因为00 1所以1 k 3, 2 l 3线性无关反之不成立如当3 0,1与2线性无关时，1, 2, 3线性相关【答案】A(7)设随机事件 A与B相互独立，且 P(B)=0.5, P(A-B) =0.3 ,则P(B-A)=()(A) 0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4【解析】P (A-B ) =P (A) -P(AB).A与B相互独立.

6、P (AB ) =P (A) P (B).P (A-B) = P (A) - P (A) P (B) =P (A) 1-P (B) =0.3P (A) (1-0.5) =0.3.P (A) =0.6 P (AB) =P (A) P (B) =0.6X05=0.3.P (B-A) =P (B) -P (BA) =0.5-0.3=0.2【答案】B(8)设连续性随机变量Xi与X2相互独立，且方差均存在，Xi与X2的概率密度分别为 f(x)一 .1与f2 x ,随机变量 yi的概率密度为£丫1 y = 2f1(y) fz(y),随机变量丫2=12(X1 X2).则()(A)EY 1>E

7、Y2, DY1>DY2(C)EY1=EY2, DY1<DY2(B)EY 1=EY2, DY 1=DY 2(D)EY 1= EY2, DY 1>DY 21111【斛析】EY1y2 f1(y) - f2(y)dy -yf(y)dy -yf2(y)dyEX1111EY2E1(X1 X2) -EX1 12EX2EY EY2EYi2i，、fi(y)i，、，-f2(y) dy1 2EXi 2i 2-EX2 2DYii 2 i 2 i 2 i 2 i EX 2EX22(EXi )2 (EX2)222442EXiEX2i i i 2= -DXi dx2ex;4 i 42 4 iIex41 E

8、XiEX22 i 2iii221DXi -DX 2 EX； EX； 2E(XiX2) =444iii2DX i DX 2 - E(Xi X2)24441DY 2 D -(Xi X2)11-DX i - DX244【答案】D二、填空题:9i4小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。(9)曲面 z x2(i sin yy2 i sin x在点(i, 0, 1)处的切平面方程为【解析】在点(i, 0, 1)处,Zx2x(i siny)21y cosx切平面方程为Zx(x i) Zy(y(i,0,i)Zy(i,0,i)0) ( i)(z i)2x cosy2 (i,0,i)2y(i

9、sin x)i (i,0,i)即 2x y z i 0(i0)设f x 是周期为 4的可导奇函数，且f (x)2( x i) , x 0,2,则 f(7) =【解析】 f(x)是周期为4的可导函数f(7) f (3)f (i) f(i)且f(0) 0又 f (x) 2(xi) f (x)x2 2x c将f(0) 0代入得C 0f(x) x2 2x x 0,2 f (i) i 从而f(7) f (i) i(ii)微分方程xyt y In x In y =0满足条件y(i)=e3的解为y=【解析】xy y(ln x In y)即xy ylnx 0两边同除x得 yy xy In 0 x y令 u ,

10、贝U y xu , dy uxdxx代入上式得dxu x du u In1 0 整理得 dx u如一 1dx 两端积分得 u(ln u 1) xdu1-dxIn Cu(ln u1)xd (In u 1)In u 11dx InC xln u 1 cxcx 1u ecx 1y xe将y(1) ex 1 x2 2axix3 4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值氾围代入上式得C2x 1y xe22(12)设L是枉面x y 1与平面y z 0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲面积分zdx ydz=x cost【解析】令y sint t: 0,2 z sintzdxLydz2sint(

11、 sin t)0sint( cost) dt2 1 cos2t2dt ( sint)dsint020(13)设二次型 f x1,x2,x30因为 130, 13 | A|,负惯性指数为1.设1 0,从而|A|若|A|0,则0,2 0,3 0.此时符合题意而a2 4a2 40.即-2<a<2.若A0,则0, 20,0,此时a3)(3)3, 2 3,2符合题意3)(3)当a=-2时 A13, 2 3, 3符合题意(14)设总体X的概率密度为f(x,)=2x3 20,其他是未知数,Xi,X2，X.为来自总体X的简单样本，若的无偏估计，则c=2(X2)x3dxn_2(C Xi )i 12(

12、Xi )5n三、解答题:1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程成消算步骤.(15)(本题满分10分)求极限limx1x 9-1 t2(et1) tdtx2 ln(1-) x【解】limx1t2(et1) tdt1 ln(1 -)xlimx11Xt2(eT1) tdtx1 ln(1 -)xlimx1t2(eT1) tdt2,lim x (e x1)xlimx1x2(e 16 1 tt1t e lim t 012t(16)(本题满分10分)设函数f(x)由方程2 xy6 0确定，求f (x)的极值。【解】由y3 xy2 x2y 6 0得3y啜2xydx 2

13、xy 喘0,解得dydx2xy y , dy-2，由2 0得yx 2xy 3y dx2x,代入原式得d2y dx2(2y 2xdy 2ydy)(x2 2xy 3y2) (2xy y2)(2x 2y 2x-dy 6y%dx dxdx dx(x2 2xy 3y2)2d 2y代入得一72dx24 0 ,故x 1为最小点，最小值为y 2。9(17)(本题满分10分)设函数f(u)二阶连续可导，z f(excosy)满足222 2 (4z excosy)e2x, xy若f(0) 0, f (0) 0,求f(u)的表达式。【解】z_x 一工 z_xe cosyf,e siny f ,xe cosy f-2

14、xe sin22Z x2x 2Z-e cosy f e cos y f , -2 xy2z2 x2z2yex cos y ,由2z2 x24 (4z excosy)e2x得 yf (u) 4 f (u) u,或 f (u) 4 f (u) u ,1解得 f(u) C1e2u C2e2u u, 4C1 C2 0由 f(0) 0, f (0) 0 得1 ，解得 C12cl 2C2041, C216116故 f (u) (e 2u e2u)16(18)(本题满分10分)设为曲面z x22 ，y (z 1)的上侧，计算曲面积分(x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy。【解】令0

15、: z 1 ( x2 y2 1),取下侧，其中与°围成的几何体为由高斯公式得(x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy 3(x 1)2 3(y0 _22_223( x2 y2) 6x 6y 7dv 3(x2 y2) 7dv1)21dv12- z 30 dz0 d 0 (3r7r)drc 220dz 3(x y ) 7dv / 3 2712(zz)dz 2 (0 424(z 1)dxdy(z 1)dxdy 0,0(x 1)3dydz (y 1)3dzdx故 I (x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy 4(19)(本题满分10分)设数列an、b

16、n满足0 an -,0 bncosan an cosbn ,且级数bn 收敛。证明：lim an0。n(II)证明： 曳收敛。n 1 bn【证明】(I)方法一由bn收敛得lim bn 0。n 1n令lim an a ,等式cosan ancosbn两边取极限得 cosa an令(x) 1 cosx x ,(0) 0 ,0,因为 (x) sin x 1 0 ,所以(x)单调增加，由 (x) 0得x故 lim an a 0。 n方法二bn ，由 cosan an cosbn 得 an cosan cosbn 0 ,从而 0 an因为bnn 1收敛，所以an收敛，故n 1lim an 0。n(II)

17、由ancosancosbn 得anbncosanbncosbnanbnanbn2sin()sin() 22bnbn2 2an2bnb22因为0 b% 2bnbn且2bn收敛，所以1nb2 a2b生收敛,1 2bn由比较审敛法得a收敛。n 1 bn(20)(本题满分11分)41, E为三阶单位矩阵。3(I)求方程组 AX O的一个基础解系。(II)求满足AB E的所有矩阵B。【解】12 34(D A 0111123401110013120312 050102001310 010 1020 0 13(II)令 BX3X6X9X12ABX12x43x74x10X4 X7X12 X4X103 X10X

18、1X4X7X10X2X5X8X11X3X6X9X124 X12X5X8X11X6X9X12X22X53 X11X3 2X63x12X2 2x53 X84 X11X32 X6 3 X9则方程组AX O的一个基础解系为 （1,2,3,1）t。x1x2X4X5X7Xx10X11由AB E得x1 2x4 3x7 4x10 1X4 X7 X100X2 2x5 3x8 4x110x5x8 x111X3 2x6 3x9 4X120X6 X9X12 0°X12X4 3X10 0X2 2x5 3x110X3 2X6 3X1211234 1由 011101203 0123410111004311X1X4

19、X7123410111000131k1123112 05401021001311 0 00100 0 11221得3122 K12kl 113kl 10k163得X2X5X8X112k23k2k2k23X3X6X9k3X122k33k3k3k31）2k16k212k1 12k2 32k33k1 13k2 43k3k1k2k10故B13k31（本题满分11分）证明（其中n阶矩阵匕*2*3为任意常数）。00100200n相似。A|0得A的特征值为0,由| E B| 0得B的特征值为1n 10, n n。因为AtA,所以A可对角化；对B,因为r(0E B) r(B) 1,所以B可对角化，因为A, B特征值相同且都可对角化，所以 AB。1(22)(本题满分11分)设随机变量 X的概率分布为 PX 1 PX 2-在给定X i的条件下，随机变量 Y服从均匀分布U(0,i)(i 1,2)。(I)求Y得分布函数FY(y)。(II)求 EY。m