2016随机复习20120考完更新版

1、随机过程习题复习一、小题1 .柯尔莫哥洛夫向前方程的矩阵形式： 。2 .设为上鞅， 为停时。如果对所有，则 3 . i.考虑一更新过程，如果-，-，则ii.考虑一更新过程，如果则4 .设随机过程的一维分布函数为，则，5 .设是强度为 的齐次泊松过程，则6 .设随机变量，相互独立，均值为 0,方差为1,令，则7 .设随机变量，相互独立，均值为0,方差为1 ,令则_,。8 . i.设为连续时间马氏链，为矩阵。，则Oii.设为连续时间马氏链，为矩阵，则O9 .设是强度为 的齐次泊松过程，则的特征函数为10 .设为相互独立同分布的随机序列，为关于 的一个停时，,则。11 . i.设为强度为 的泊松过程

2、，则；ii.设为强度为的泊松过程，则。12 .更新过程是齐次泊松过程的一种推广。13 .如果马氏链的转移概率满足：，那么状态为非周期的。14 .如果有正整数 ，使得马氏链的转移概率满足：，那么状态为非周期的。15 .设为，且他们相互独立， 则为。16 .对于马尔可夫过程，若，则称状态 常返。17 .设独立同分布，且-，令 ,则关于18.若 鞅。是停时。和关于为上鞅，则关于 为上.小题与书本和试卷对应情况及一些补充1 . P222 例 6.3.22. 08 年 06 级 B 卷 一 5.10年08级A卷 一 2.3. P303 习题 3i. 08年06级B卷4. ii. 15 年 13 级 A

3、卷 一 5.补充：4. 08 年 06 级 A 卷 一 1.5. 08 年 06 级 A 卷 一 3.6. P152 例 5.2.2补充：，15年13级A卷一 3.08年06级B卷一 1.15年13级A卷 一 1.7. 10 年 08 级 A 卷 一 1.补充题（6,7题类似）：P152 例5.2.3随机相位正弦波,式中和为常数，是在上具有均匀分布的随机变量。则8. P219 式 6.3.269. P24110. P230 例 9.3.3i . 08 年 06 级 A 卷 一 2.ii .08 年 06 级 B卷 一 2.08年06级B卷 一 3.08年06级A卷 一 4.15年13级A卷 一

4、 2.10年08级A卷 一 3.10年08级A卷 一 4.11. i. 08 年 06 级 A卷 一 5.ii. 10 年 08 级 A卷 一 5.补充：设为强度为12. 08 年 06 级 B卷二 3.13. P193-19414. P193-19415. P244 定理 7.1.216. P196 定义 6.2.108年06级A卷二 1.补充：一些相关定理、定义：1. P196 定理 6.2.317. 08 年 06 级 A卷二 4.18. 08 年 06 级 A卷二 5.的泊松过程，10年08级A卷 二 3.08年06级B卷二 2.08年06级A卷二 2.08年06级A卷二 3.08年0

5、6级B卷二 1.ii. P198 定义 6.2.208年06级B卷二 4.08年06级B卷二 5.10年08级A卷二2.15年13级A卷一4.10年08级A卷二1.iii. P198 定理 6.2.510年08级A卷二4.10年08级A卷二5.1 . 08年06级的A,B卷和10年08级的卷子有判断题，但是在 15年下学期的13级的这次 考试没有出判断题，只有填空题。1-11题是08年06级的A,B卷和10年08级的卷子中出现的填空题，12-18题是其中出现的选择题，感觉以后应该会是这18道里出填空题。2 .后面补充的部分可以看一下虽然不属于大概率考试范围。大题1. I.设齐次马氏链的一步转移

6、概率矩阵- - -。(1)写出二步转移概率矩阵；(2)此链是否遍历？如果是，求其极限分布。解：(1)- 一一一(2)对任意 都有 ，所以可知 为遍历的。(3)设，则由及得， II .设齐次马氏链的一步转移概率矩阵-。试证链是遍历的，并求其极限分布。解：(1) 一 一 一 一 -(2)因此，所以遍历。(3)其极限分布满足，-III .设齐次马氏链的一步转移概率矩阵-。试证链是遍历的，并求其极限分布。解：(1)-(2)因此，所以遍历。(3)其极限分布满足易得。*2.设齐次马氏链的状态空间,转移概率矩阵（1）哪些状态非常返的？常返的？正常返的？ （2）分解状态空间。解：（1）对状态4,易知,所以状态

7、4是非周期非常返的。状态2是一个吸收状态，故2是非周期正常返状态，它自身构成一个基本常返闭集。状态 ，且构成一个闭集。因 一 一一 一一一一 一所以一 一 一 一 一，因此状态1是正常返并且非周期的，于是构成另一个基本常返闭集。（2）记，则状态空间可分解为* 3 .设是强度为 的泊松过程，（即 ），为一列相互独立同分布的随机变量，且与相互独立。令，证明：的特征函数，其中 是的特征函数， 一。证：* 4 .设是一更新过程，是其更新间隔，证明：证：因，可见 。然而，因一是前个来到间隔的平均值，由强大数定律得出，当时,但由于 ，所以 ，。又因为由同样的理由知，当 ， ，由 ,因为介于两个变量之间，而

8、两变量在时都收敛于 （夹逼性），故结论成立。,求转移矩阵函数* 5.设马氏链状态空间解：由柯尔莫哥洛夫前进方程：，。初始条件为，注意到得到。解上面这个常微分方程，二边积分得：二，由初始条件得到：其中，所以。* 6 .设为，证明：在的条件下，-（二项分布）。证：对，由过程的独立增量性得：由此得到* 7 .假设乘客按来到车站等候汽车， 若汽车在时刻 出发。求在 内到达的乘客等待时间总和的数学期望。解：设 为内到达的顾客数，是第个乘客到达的时刻，则在内到达乘客等待时间的总和为。* 8 .设为齐次马氏链，一步转移概率为证明：关于 为鞅。证：考虑,下面考虑,由此得到:由上面式子可以得到:由上可知，关于为

9、鞅。* 9.设为齐次马氏链，一步转移概率矩阵为。又设为矩阵 的一个非零特征值，对应的特征向量为 ，即，并假设令。证明：关于 为鞅。证：这是因为而故，得。更一般，若是时间离散状态连续的马尔可夫过程，转移分布函数为。若设，且对所有，有，则关于 为鞅。10 .设为齐次马氏链，转移概率矩阵为。又设为非负有界序列，满足，令。证明： 关于 为鞅。证：因为 有界，所以。又因，故即，从而， 关于 为鞅。11 .设是相互独立同分布随机序列，且，令，证明：关于 为鞅。12.设证明：是相互独立同分布随机序列，令。关于 为鞅。证：。所以， 关于 为鞅。13.设为相互独立同分布随机序列。 具有分布故*15.设为齐次马氏

10、链，状态空间步转移概率考虑此齐次马氏链是否常返？是否为周期链？如果是, 解：显然，链中任意两个状态相通， 所以链是不可约的。周期是多少？又易知这是一个周期链，周期为2。易得考虑该链是否常返，只要考察状态即可。易知-时,所以状态 当所以状态0常返，且为零常返。从而链是零常返的。 时，0非常返，从而链是非常返的。四.大题与书本和试卷对应情况2.3.4.5.6.7.8.P178 例 6.1.6I. 类 P233-10II. P233-11(1)III. P233-15P205P281P290P222P222P205例 6.2.14定理7.4.1定理8.3.1例 6.3.2定理7.1.4例 7.1.108年06级A卷08年06级B卷10年08级A卷08年06级A卷四（2）及其证明（P283）08年06级A卷08年06级B卷08年06级B卷10年08级A卷P306-307 例题（类似）四15年13级A卷四四15年13级A卷08年06级A卷08年06级B卷10年08级A卷10年08级A卷15年13级A卷08年06级B卷五六 15年13级A卷六五五七15年13级A卷七试确定实数,使得是鞅。证：?一.故,斛仔：或。14.设证：为布朗运动。证明：是鞅。9. P307 例 9.1.410 年 08 级 A卷 七12. P306 例 9.1.110. P306 例 9.1.311. P306 例 9