信号与线性系统分析第二章

1、 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析本章要点本章要点LTI连续系统的响应连续系统的响应冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应卷积积分卷积积分卷积积分的性质卷积积分的性质2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应（一）微分方程的经典解（一）微分方程的经典解 一般来说，如果单输入、单输出线性时不变系统的激励为f f( (t t) )，其全响应为y y( (t t) )，则描述线性时不变连续系统的激励f f( (t t) )与响应y y( (t t) )之间关系的数学模型是n n阶常系数线性微分方程，它可写为:式中 。该微分方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐

2、次解，用yh(t)表示。非齐次方程的特解用yp(t)表示。即有 )(.)()()()(.)()(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn上式也可缩写为：)()()(0)(0tfbtyaimijjnji1), 1 , 0(), 1 , 0(nijamibnja均为常数，和)()()(tytytyph1.1.齐次解齐次解 齐次解满足齐次微分方程 0)()()()(0)1(1)1(1)(tyatyatyatynnn由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为00111aaannn（1）特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方

3、程的齐次解从而求得方程的特征根。若1( )inthiiy tce(2) 特征根有重根。若1是特征方程的r重根，即有1=2=3=r，而其余(n-r)个根r+1，r+2，n都是单根，则微分方程的齐次解tirniihjetcty1)(3)特征根有一对单复根。即1,2=ajb，则微分方程的齐次解btecbtectyatathsincos)(21(4)特征根有一对m重复根。即共有m重1,2=ajb的复根，则微分方程的齐 次解btetdbttedbtedbtetcbttecbtctyatmmatatatmmathsinsinsincoscoscos)(121121例例1 1 求微分方程y(t)+3y(t)

4、+2y(t)=f(t)y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的齐次解。 解解 由特征方程 解得特征根 因此该方程的齐次解 例例2 2 求微分方程y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程 解得二重根 因此该方程的齐次解02322, 121tthececty221)(0122121tthtececty21)(例例3 3 求微分方程y(t)+y(t)=f(ty(t)+y(t)=f(t) )的齐次解。 解解 由特征方程 解得特征根是一对共轭复数 因此，该方程的齐次解 012j2, 1tctctyhsincos)(212.2.特解特解

5、 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表22列出了几种类型的激励 函数f(tf(t) )及其所对应的特征解y yp p(t(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数P Pi i，就可得出特解。 表表22 22 不同激励函数及所对应的特解不同激励函数及所对应的特解 例4 若输入激励 ，试求微分方程 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的特解。解解 查表22，因为 ，=-1与一个特征根1=-1相同， 因此该方程的特解tetf)(tetf)(1021010102( )()3()2()ttptttttttytPtePeddPtePePtePePtePeedtdt将特解yp(t)代入

6、微分方程，有 3. 3.完全解完全解 根据书上式(2.12)(2.12)，完全解是齐次解与特解之和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为1( )( )intipiy tceyt 当特征根中1为r重根，而其余(n-r)个根均为单根时，方程的全解为)()(111tyecetctypnrjtiritriji例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e 2e-t-t，t0；y(0)=2，y(0)= 1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e e-2t-2t，t0；y(0)= 1，

7、y(0)=0时的全解。时的全解。解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 ,其特征根1= 2，2= 3。 齐次解为 y h(t) = C1e 2t + C2e 3t 由表2 22 2可知，当f(tf(t) = 2e) = 2e t t时，其特解可设为yP(t) = Pe t将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1P=1于是，特解为 yp(t) = e t全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e2t + C2e3t + et其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0)

8、= 2C1 3C2 1= 1解得 C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解0,23)(32teeetyttt（2 2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。由表22知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t代入微分方程可得 P1e-2t = e2t ,所以P1= 1 但P0不能求得。全解为全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得 C1 +

9、 P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。注注：LTI系统的数学模型常系数线性微分方程的全解由齐次解和特解组成，齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的自由响应。特征方程的根称为系统的“固有频率”，它决定了系统自由响应的形式。但是齐次解的系数Ci是与激励有关的。特解的形式由激励信确定，称为强迫响应。（二）零输入响应和零状态响应（二）零输入响应和零状态响应线性时不变系统的全响应可分为自由响应（齐次解）

10、和强迫响应（特解）。同样也可以分为零输入响应和零状态响应。（1）零输入响应）零输入响应 激励为零时仅由系统的初始状态x(0)所引起的响应，用yzi(t)表示。 在零输入条件下，系统微分方程 右端均为零， 化为齐次方程 。若其特征根全为单根，则其零输入响应为：1( )jntzizijjytc e)()()(0)(0tfbtyaimijjnji( )0( )0njizija yt式中czi为待定常数由于输入为零，则初始值满足( )( )( )(0 )(0 )(0)(0,1,21)jjjziziziyyyjn（2）零状态响应）零状态响应 若系统的初始储能为零，即初始状态为零，这时式 仍为非齐次方程。

11、初始状态为 。若其特征根均为单根，则其零状态响应为：)()()(0)(0tfbtyaimijjnji( )(0 )0jzsy1( )( )jntzszsipjytc eyt式中 为待定常数， 为方程的特解。zsjC( )pyt1( )( )intipiy tc eyt11( )jjnnttzijzsjpjjc ec eyt111jjinnntttizijzsjijjcec ec e自由响应强迫响应零输入响应零状态响应( )ziyt( )zsyt零状态响应的齐次解自由响应式中式中零输入响应系统全响应可表示为：系统全响应可表示为：两种分解方式的区别：两种分解方式的区别：1 1、 自由响应与零输入响

12、应的系数各不相同iczijc与不相同iczijc由初始状态和激励共同确定由初始状态确定2 2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解t 注：此外，注：此外，对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指时，响应不为零的那部分响应分量。时，响应不为零的那部分响应分量。t 零输入响应举例：零输入响应举例：零状态响应举例零状态响应举例（三）关于（三）关于0+和和0-值的问题值的问题0+值：在用经典法求解微分方程时，为确

13、定解的待定系数所需的一组初始值是指t=0+时刻的值，即( )(0 )jy0-值：在t=0-时，激励尚未接入，因而响应及各阶导数在该时刻的值 反映了系统的历史情况而与激励无关，它们为t0时的响应y(t)提供了历史的全部信息，称这些在t=0-时刻的值为初始状态。( )(0 )jy通常情况下，如果激励f(t)中含有冲激函数及其导数，那么当t0时，激励接入系统时，响应及其导数从 值到 值可能发生跃变。这样，在求解系统微分方程时，就需要从已知的 先求得 。)0()(jy)0()(jy)0()(jy)0()(jy由0值求得0值的一般步骤：（1）将输入f(t)代入微分方程。如果等号右端含有冲激函数及其各阶导

14、数，根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等原理，判断方程左端y(t)的最高阶导数所含 的最高阶次。（2）令 ，对 进行积分，逐次求得 和（3）将 代入微分方程，根据方程等号两端的奇异函数系数相等原理，从而得到 中的各待定系数。（4）分别对 和 等号两端从 0- 到 0+ 进行积分，依次求得各 0+ 值 和 。0( )( )( )( )( )y tatbtctr t( )y t( )y t( )y t( ),( )( )y ty ty t和( )y t( )y t( )y t(0 )y(0 )y( ) t举例说明举例说明：（四）全响应的求解2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应（

15、一）冲激响应（一）冲激响应对于LTI系统而言，当初始状态为零时，输入为单位冲激函数(t)时所引起的响应称为冲激响应。用h(t)表示。也就是说，冲激响应是激励为单位冲激函数(t)时，系统的零状态响应。)(t0t) 1 (LTI)(th)(t0t零状态2.2. h(th(t) )的求解方法的求解方法例1.描述某系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应的定义，当f(t)= 时，)(t)()(2)(3)( tftytyty)()(thtyZS 000123)()().(.)()()()(hhtththth得21200230021，特征根为上式可化为时，).(.)()()(,)(

16、tthththtt0)0()0(,)()()0()0(,)()(,)()()()() 1.(.)()(2)(3)()0()0(1)3.(.)()()(221即为连续函数即项含项含和平衡，确定初始条件）等号两边奇异函数要由方程（故hhtdtththhhtthdtththtthtthththhhteCeCthtt 000000001200300001dtthhhdtthhhhh)()()()()()()( )( )(，其中逐项积分，得到式两边从对)()()()( )()()()( )( ,)( )( teethCCCChCChhhhhhtt221212111120003001010100故式得代入

17、，将初始条件即故满足方程时，当若初始值确定)()()()()(.)()()()()(thttetetratratrnnn01101)(,.,)()(.)()()()()(11121000011njhtthathathjnnn）（)(.)(.)()()(.)()()()()()(31I2011011tebtebtebtratratrLTmmmmnnn骤系统的冲激响应求解步)()(,.,)()(211022100001njhnjh初始值为各由系数平衡法，可推得.)()()(.)()()(),(.)()(）式相同求解过程与（满足方程选取新变量11110111111thtthathathththann

18、n)(.)()()()(.)()(thbthbthbthbmmmm10111131系统的冲激响应为微分特性，即可求得式状态响应的线性性质和根据线性时不变系统零解：1111(1)( )( )5( )4 ( )( )h ththth tt选求满足下式的冲激响应1221121114( )() ( )(0 )0,(0 )1tth tC eC ethh 特征根为，故冲激响应将代入上式得0010045011111)()( )()( )(hhthththt时化为零输入响应，设)( )()()( )(tetetrtrtr2452.为描述某系统的微分方程例试求该系统的冲激响应试求该系统的冲激响应h(th(t)

19、)。31311400021211211CCCChCCh，)( )()()()( )()()()(teeththththtt411323122再求满足系统方程的411441411( )( )() ( )331411( )() ( )() ( )333314() ( )33tttttttth th teethteeteeteet 故冲激响应为（2）阶跃响应）阶跃响应对于一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。也就是说阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应。( ) t)(tg)(t1t0LTI)(t)(tg零状态t02.g(t)2

20、.g(t)的求解方法的求解方法121000012121000011njggnjgttgatgatgjjjnnn,.,)()()(.,)()()(.)()()()()()()(平衡，得由方程两边奇异函数要)()()(taeCtgnitii101单根，则若该方程的特征根均为齐次解特解另外：ttdtdhtg)()()()(试求该系统的阶跃响应为描述某系统的微分方程例),()()( )(.tetrtrtr863)()()(teCeCtgtt8142422121故，特征根为000086)()( )()()( )()(ggttgtgtgtg满足方程为解：1212122401(0 )011,848(0 )2

21、40111( )() ( )488ttgCCCCgCCg teet 由初始值代入上式得于是得作业：2.1（1）（3） 2.2 （2） (4) 2.4 (1) 2.142.3 2.3 卷积积分卷积积分 卷积法在信号与系统中占有重要位置，本节讲的卷积积分就是将输入信号分解成众多的冲激函数之和（积分），利用输入激励和冲激响应的卷积积分可以求解LTI系统对任意激励的零状态响应。（一）卷积积分的定义（一）卷积积分的定义( )()()nkf tf kP tk ( )np t( )np t首先定义一个强度为1，宽度很窄的脉冲 。设当 作用于LTI系统时，其零状态响应为 。如上图所示。由于( )np t( )

22、lim( )nntpt所以，对LTI系统，其冲激响应( )lim( )nnh th t现把激励分解成许多宽度为的窄脉冲，则根据 LTI系统的零状态线性性质和激励与响应间的时不变特性，在一系列窄脉冲的作用下，系统的零状态响应近似为( )()()nf tf kh tk 在 的极限情况下，将 写作 ， 写作 ，则有0dk00( )lim()()( ) ()( )lim()()( ) ()nknzsnknf tf kp tkftdytf kh tkfh td 它们称为卷积积分。一般而言，如有两个函数 和 ，积分称为 与 的卷积积分，简称卷积。常记作为：121212( )( )*( )( )( )*(

23、)( )()f tf tf tf tf tf tff td12( )( )()f tff td1( )f t2( )f t1( )f t2( )f t)()()()()()()()(),()(tftftftftfdtfftftftf21212121简记为两者做卷积运算定义为和对于任意两个信号2.8 卷积及其性质0)(, 0, 0)(0)()()()()()()(0thttthtthtfdthfdthftyt时即时，零状态响应在因果系统中，系统的integral and the property给出卷积积分定义：给出卷积积分定义：00)(00)()()(,积分下限可改为时，时接入系统，即又激励是

24、在有故积分上限可改为tettdthetrtt（二）卷积的图示（二）卷积的图示111)(1tf)(2tf5 . 000tt例1).()()(),()()(222121fftftftftf反转得代换，并将的自变量用第一步：将函数的步骤：求00011115 . 05.0)(1f)(2f)(2f)()( tftf22，得轴平移时间沿正第二步：将函数)(2tf0t1t)(0 左移t)(2tf)(1f0t1t115 . 0)(10右移t)(1f)(2tf0t1t115 . 0)(21右移 t20.5)(2tf0t1t)(1f1122t以上计算结果归纳为完全分离，与于零两图形分离，其乘积等的积分分相乘，求相

25、乘后图形第三步：两信号重叠部0)()()(, 2)2(5 . 05 . 01)(, 5 . 01)()(, 215 . 05 . 01)(, 5 . 01)()(, 100)()()(, 0)()(, 02111210212121tftffttdtftffttdtftfftdtfftftffttt05 . 012t)(tf下页动画演示卷积卷积动画卷积动画例 2 :见书例2.3-1例 3 ：利用定义求卷积积分，见例2.3-2 2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 (1)交换律： (2)分配律： (3)结合律： )()()()()()()()()()()()()()()()()(tftft

26、ftftftftftftftftftftftftftftf32132131213211221).()(tftf21例一、计算02t1)(1tf)()()(121tttf)()(tetft201t)(2tf)(tet11t02)(1f)(2tfdtetftftftt)()()()()()(02112方法一：)(1f0121)(1f)(2f211)(2tft0)()()()()()()()()(,)()()(,)()()()(1211212211221011010teettetfteedetfttedetftttttttttt故dededtedtedtetftftftttttttttt)()()(

27、)()()()()()()()()()()()()(122122120000021方法二：)()()()()()()()()()()()()()()()(121121121212121211110teettetetededetetfttttttttt)()()()()()()()()()()()()(112121222122121110000012tetedtedededtedtedttetftftfttttttttt律方法三、由卷积的交换101tt得由4.卷积的微分性质卷积的微分性质5.卷积的积分性质卷积的积分性质6.由由4.54.5两性质可得两性质可得)()()()()()(tfdttdfdttdftftftfdtd212121)()()()()()(212121fdfdffdffttt dfdttdftftft