不等式恒成立问题中的参数求解技巧

1、不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以 寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：用一元二次方程根的判别 式，参数大于最大值或小于最小值，变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例，从不同角度用常 规方法归纳，供大家参考。一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。例1对于

2、xe r,不等式1-2区+ 3- m之0恒成立，求实数 m的取值范围。解：不妨设f(x) = / 2x + 3m ,其函数图象是开口向上的抛物线，为了使,只需A< 0,即(2)J4(3-m)4 0,解得 m 42 nmw(-co,2。变形：若对于xe R,不等式 腿, + 2mx + 3。恒成立，求实数 m的取值范围。变形：此题需要对m的取值进行讨论，设f(x) = mx2 + 2rnX + 3 o当m=0时，3>0,显然成立。当m>0时，则4 <0二口 <m <3。当m<0时，显然不等式不恒成立。由知niw0,3)。关键点拨：对于有关二次不等式as2

3、 + bs + c > 0 (或<0)的问题，可设函数f(X)= ax' + bx + c ,由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。2一例2已知函数烟二% - 2kx + 2,在x之一时恒有£(x)2k ,求实数k的取值范围。例2解：令F=f(x)-k = X2 - 2kx + 2-k ?则F之口对一切恒成立，而F国是开口向 上的抛物线。当图象与x轴无交点满足 <0,即A = 4k -4(2-k) < 0 ,解得2<k<1< span="">。 </k<1

4、<>当图象与x轴有交点，且在x w T + 3)时F2 0 ,只需八之。；F(-l)2 0-<-1L 2k 4-2或k XI1+ 2k + 2-k> 0, =>-3 <k <-2k£-lJ由知关键点拨：为了使f(x)2 k在区w T, + s)恒成立，构造一个新函数F® = f(x)-k是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来， 建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。a > f(x)恒成立O a,即大于时大于函数f(x)值

5、域的上界。a C f仅)恒成立台a ”(对而，即小于时小于函数二值域的下界。例3已知二次函数f(x)=ax +x ,如果xe 0,1时,求实数a的取值范围。解：xC 0,1时，|f(x)区当x=0时,aC Rax >-x - 1当xC由共时,问题转化为解 -x + 1恒成立恒成立，即求 X 罂U-的最大值。设1+1x 2X (叫一 E 1j +C0),XU为减函数，所以当x=1时，M篮)般=-2,可得a 2-2。x恒成立，即求- 1的最小值。设义时，V(X)min = 口，可得 a<0oX (叫t L + co), v(x)X为增函数，所以当 x=11_关键点拨：在闭区间0, 1上

6、使 陶区1 分离出a,然后讨论关于 X的二次函数在 口，+ 3)上的单调性。lg2ax例4若不等式lg(a+ X) 在xC 1, 2时恒成立，试求 a的取值范围。K > 1解：由题设知2强，口，得a>0,可知a+x>1 ,所以lg(a +町口。原不等式变形为1g 2ax tlg(a +X)。1 2ax&+宴,即(2xT)&X。又xeL2,可得 2x-l > 0x 1( I )、1A 1 )a <=- - 1 + f(x)= - 1 +2x-l2x-lJ恒成立。设在xe 1,2上为减函数，可得22网皿"' aj)KU j olg 2

7、 ax .关键点拨：将参数 a从不等式lg(a+x)中分离出来是解决问题的关键。x 丫 产/ x y+4 c £+例5是否存在常数c使得不等式2x+y x + 2y x+2y 2x + y ,对任意正数x、y恒成立？试证c <解：首先，欲使明你的结论。x + 2y 2x + y恒成立(x、y>o,进行换元令x + 2y = a，e2s + y = b2b - ax =32a - by-，上述不等式变为2b - ac<ZEa2a - b3)恒成立。寻求l<2b 2a ，+ - 2bJ的最小值，由a>0, b>0,利用基本不等式可得1 <2b 2

8、a-2 >-)312b 2a ,-2a bc>同理欲使2x + y = a2x + y X+ 2y 恒成立& y0),令x + 2y = b ,2a- b32b - a寻求“ la b的最大值，易得_ 22223 ,左边寻找最大值 3 ,可得c= 3。综上知存在-7使上述不等式恒成立。关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值三、变更主元在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得 到解决。例6若不等式2xT >-1),对满足- 24042所有的x都成立，求x的取值范围。解：原不等式可化为一一 1 1

9、令=- 1)111 (2X7)(-24卬4 2)是关于m的一次函数。Jf(-2) = -2(/ - 1) - (2x -1) < 口由题意知,' ；'；-1 +石1 +忑<解得 二_1 + 出 1 + 也',.x的取值范围是122 /关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。即明°例7已知f(x)是定义在1, 1上的奇函数且f(l) = 1 ,若a、bC 1,1, a+bw0,有 a+b(1)判断函数fG)在1,1上是增函数还是减函数。(n(nfx + > f 2x-解不等式I2JI2人(3)若f(x”m - 2arn + l

10、对所有x 、ae ： 1, 1恒成立，求实数m的取值范围。解：(1)设1"向，町"1,则f)- f%) = f 区)+ f(-町)一"/叼)©- 町)口 为一孙可知物)叫到)，所以y)在1, 1上是增函数。-I <x + -<12；一 1 £ 2 区一一£ 12+2x-(2)由f&)在1, 1上是增函数知122-<x <-/x|-<x解得 42 ,故不等式的解集42.(3)因为 他)在11, 1上是增函数，所以f(S)<f(l)=l，即1是f&)的最大值。依题意有m2 - 2am+1

11、之1,对ae ： 1, 恒成立，即m2 - 2arn > 0恒成立。fgf-1) = ma + 2m> 0令g(a) = -2ma + m2 ,它的图象 是一条 线段，那么g(l) = m，- 2m 0m w(-9-2UU2,+8)o关键点拨：对于(1),抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于(2),后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于(3),转换视角变更主元，把 /-2皿之0看作关于a的一次函数，即g(a) = -2ma + r?在ae ： 1, 11上大于等于0,利用g(a)是一条直线这一图象特

12、征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得 m的范围。不等式恒成立问题中的参数求解技巧一、用一元二次方程根的判别式例1对于xC R,不等式X3 - 2x+ 3-m> 0恒成立，求实数 m的取值范围。变形：若对于xe R,不等式 腔。+ 2腿+ 30恒成立，求实数 m的取值范围。例2已知函数f(x)二x - 2kx + 2,在区之-1时恒有f(x)> k ,求实数k的取值范围。二、参数大于最大值或小于最小值例3已知二次函数f(x)=a+x,如果xe 0, 1时,求实数a的取值范围。: 2ax例4若不等式lg(a+ X) 在xe 1, 2时恒成立，试求 a的取值范围。x y -x y+ < c <+ 例5是否存在常数c使得不等式2x+y x + 2y x+ 2y 2x+y ,对任意正数x、y恒成立？试证明你 的结论。三、变更主元例6若不等式2x-l> m(