分数裂项法解分数计算

1、分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法?裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同

2、的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即丄形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a ： b ，a =<b那么有丄1a bb -a（ 2）对于分母上为3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即:_ 1n (n 1) (n 2) (n 3)形式的，我们有 :n (n 1) (n 2)_ 11 11n (n 1) (n 2)2n (n 1)(n 1)(n2)1 1_ 1 _n (n 1) (n 2) (n 3)3n (n 1) (n 2)(n 1) (n

3、2) (n 3) 裂差型裂项的三大关键特征:（1） 分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x为任意自然数 ）的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2） 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:（1）心二丄丄 1a2b2b2旦 b（2a babba）ab ab ab b a，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”同时裂和型运算与裂差型运算的对比：还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例

4、 1】111 -1><2 2汇33 汉 44 汽 55 沢 6【巩固】【巩固】 2110 1111 12.59 602 +22+10x9 9 85 汉 44 3【例 2】 1 . 丄 . 1 mm -1 一11+2 1+2+31+2+HI+100【例 3】1111 -1 33 55 799 101【巩固】计算： 251110X33 汉55X723汉25丿【巩固】251251251小 251 251- + -+| + -+-4 88 1212 162000 20042004 2008【巩固】计算 :丄.2 ?亠. 亠丄255 77 1111 1616 2222 2929【例 4】 计

5、算：（丄丄丄丄 111 ） 128 = _8244880120168224288612203042567290【巩固】1111111-+-+ + +3610152128【巩固】计算 :2 _612203042567290【巩固】丄 . 丄. 丄?L =.104088154238【例 5】计算 :357111-11 3 55792001 2003 2005 4.5 0.161 1一1 1+ 一 +【例 6】181315356313 -3.75 3.23【例 7】计算： 11暇 11 1314 -20 丄2 61220420【巩计算：11111固】2008200920102011201218541

6、08180270【巩11224固】计算： -+-+ += 。26153577【巩固】计算：1111111 +315356399143195【巩固】计算 : 15.11 .29129701.989997029900262030【例 8】+111【巩计算：1.11固】1 2 32 3 498疋 99汉 100111小1【巩+ +111+计算： 1352 4 620 22 24固】3 5 7【巩固】44 + 441X3X5 3X5X793 95 9795 97 99【巩固】9998 9711 2 32 3 43 4 599 100 101【例 9】111 1+ .+1234234534566789【

7、巩固】3 + 3_ +_ 3 _1234234517 18 19 20178910【例 10 】计算 :5一 一 719一1 2 323 48910【巩固】计算 :1155 (5-1719 -)2x3x4 3x4>c58x9x10 9x10>d1【巩固】计算 :krvkn krv"'1o 11 131412【例 11-2323423452 3 4|(| 10丄J【例12】 121231234123451234561234567【巩固】计算：？33!3 III 4!【例 13】2 一 +| +501 x （1+2 ） (1 2) (12 3)(1 23)(123(1

8、+2+3+11)+49)X(1+2 +111 +50)4)2 34100【巩固】1 x( 1 +2)(1 +2) x ( 1 +2 +3)(1 +2 +3)X(1+2+3+4)(1+2 +111+99) 乂( 1 +2 I +100)2_ 3丄【巩固】 1(12)(123)(1239)(123 川 10)1 (12)【例 14 】J2 1J2 1123 -15-17 -19 -1111 13 -1【巩固】计算 :(1-*)-°右) (1-土 )°- 右 )【巩固】计算：右 ?汽- 宀 丹【巩固】计算 :3222225171 1993- 1 1995111+-+ I +2 -

9、 +2 -3-15 -1 - 7 -1993 - -1 1995 -1132422222222 98 100【巩固】计算 :3 5 + + +111+ 2-99 -113 -14 -1 2 3222250 【巩固】计算 :3 55 71 399 101【例 15】乞 6677889910677889910【巩3 .6.5 丄丄芒57612203042固】【巩固】计算 :1 Y 2 .5.7.2卫=3457820212435【巩固】25【巩固】1 1 ±±±20 10 .6 .272330314151119120123124【巩【巩固】固】【巩固】【例【巩固】【例【例【例161718191174998175一 13 -135 .63 +7791 _105+ +-+-+ +4 65122015301288IL1220304256计算： 1-.5291113151719 - r - - r - - r -6 122030425672902222223182 2192 211