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文档简介
1、一、选择题1已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A(1,3)B(1,)C(0,3)D(0,)解析:选A.由题意得(m2n)(3m2n)0,解得m2n3m2,又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2n3m2n4,即m21,所以1n3.2已知双曲线1(a0,b0)的焦点到渐近线的距离为,且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为()A1B.C2D2解析:选C.由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b,即c2a23,又e2,所以a1,该双曲线的实轴的长为2a2.3双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为60°的直线与
2、y轴和双曲线的右支分别交于A,B两点,若点A平分线段F1B,则该双曲线的离心率是()A.B2C2D.1解析:选B.由题意可知A是F1B的中点,O是F1F2的中点(O为坐标原点),连接BF2,则OA是F1BF2的中位线,故OABF2,故F1F2BF2,又BF1F260°,|F1F2|2c,所以|BF1|4c,|BF2|2c,所以2a4c2c,所以e2,故选B.4抛物线y22px(p0)的焦点为F,过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|8,则抛物线的方程为()Ay23xBy24xCy26xDy28x解析:选C.因为抛物线y22px(p0)的焦点为F,所以过点F且倾斜
3、角为的直线方程为y(x),联立直线与抛物线的方程,得3x25pxp20,设A(xA,yA),B(xB,yB),则所以|AB|xAxB|·p8p3,所以抛物线的方程为y26x,故选C.5设抛物线C:y24x的焦点为F,过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·()A5B6C7D8解析:选D.法一:过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2),由得x25x40,解得x1或x4,所以或不妨设M(1,2),N(4,4),易知F(1,0),所以(0,2),(3,4),所以·8.故选D.法二:过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2),由得x25x40,设M(
4、x1,y1),N(x2,y2),则y1>0,y2>0,根据根与系数的关系,得x1x25,x1x24.易知F(1,0),所以(x11,y1),(x21,y2),所以·(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故选D.6过双曲线1(a0,b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM,切点为M,交y轴于点P,若,且双曲线的离心率e,则()A1B2C3D4解析:选B.如图,|OF|c,|OM|a,OMPF,所以|MF|b,根据射影定理得|PF|,所以|PM|b,所以.因为e21,所以.所以2.故选B.二、填空题7抛物线E:y24x的焦点为F,准线l与x轴交于点
5、A,过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ,垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16,则点P的坐标为_解析:设P(x,y),其中x0,y0,由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2,|QA|y,则或(舍去)所以点P的坐标为(4,4)答案:(4,4)8椭圆C:1(ab0)的左顶点为A,右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线交C于P,Q两点,若cosPAQ,则椭圆C的离心率e为_解析:根据题意可取P,Q,所以tanPAF1e,cosPAQcos 2PAFcos2PAFsin2PAF,故55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)2.又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)
6、,所以1e,e.答案:9已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),P是双曲线上任一点,若双曲线的离心率的取值范围为2,4,则·的最小值的取值范围是_解析:设P(m,n),则1,即m2a2.又F1(1,0),F2(1,0),则(1m,n),(1m,n),·n2m21n2a21n2a21a21,当且仅当n0时取等号,所以·的最小值为a21.由24,得a,故a21,即·的最小值的取值范围是.答案:三、解答题10已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:ykxm与椭圆C交于M,
7、N两点,O为坐标原点,若kOM·kON,求原点O到直线l的距离的取值范围解:(1)由题知e,2b2,又a2b2c2,所以b1,a2,所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立得(4k21)x28kmx4m240,依题意,(8km)24(4k21)(4m24)0,化简得m24k21,x1x2,x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2,若kOM·kON,则,即4y1y25x1x2,所以4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2,所以(4k25)·4km·()4m20,即(4k25)(
8、m21)8k2m2m2(4k21)0,化简得m2k2,由得0m2,k2,因为原点O到直线l的距离d,所以d21,又k2,所以0d2,所以原点O到直线l的距离的取值范围是.11已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,·0,过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点(2,1)且不经过点M的直线l与C相交于G,H两点若k1,k2分别为直线MH,MG的斜率,求k1k2的值解:(1)由·0,得bc.因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|,所以,.故椭圆C的方程为y21.(2)设直线
9、l的方程为y1k(x2),即ykx2k1,将ykx2k1代入y21得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0,由题设可知16k(k2)0,设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1x2,x1x2,k1k22k2k(2k1)1,所以k1k21.12已知圆C:(xa)2(yb)2的圆心C在抛物线x22py(p0)上,圆C过原点且与抛物线的准线相切(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,分别在点A,B处作抛物线的两条切线交于P点,求三角形PAB面积的最小值及此时直线l的方程解:(1)由已知可得圆心C(a,b),半径r,焦点F,准线y.因为圆C与抛物线的准线相切,所以b,且圆C过焦点F,又因为圆C过原点,所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上,即b,所以b,即p2,故抛物线的方程为x24y.(2)易得焦点F(0,1),直线l的斜率必存在,设为k,即直线方程为ykx1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x24kx40,0,x1x24k,x1x24,对y求导得y,即kAP,直线AP的方程为yy1(xx1),即yxx,同理直线
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