第6章振动1(简谐振动)

1、1有关教学事宜有关教学事宜教学教学: 自我学习为主自我学习为主,课堂教学为辅课堂教学为辅.作业：每周二收、发作业作业：每周二收、发作业.考试：单独命题考试：单独命题.期末闭卷期末闭卷70.平时平时30.平时成绩：出勤、作业、课堂练习等平时成绩：出勤、作业、课堂练习等.课件：课件： 密码：密码：12345678 (网易网易网盘网盘内内.提前发送提前发送,但以上课为准但以上课为准)联系联系: G511(tel:66133273)2 努力养成思考问题和讨论问题的习惯，通努力养成思考问题和讨论问题的习惯，通过对物理现象、实验事实的思考，使自己过对物理现象、实验事实的思考，使自己逐步对微观世界的物理特点

2、、物理图像、逐步对微观世界的物理特点、物理图像、思想方法有一个比较正确的认识思想方法有一个比较正确的认识; ; 虚心学习前人的创新过程和创新品质，努虚心学习前人的创新过程和创新品质，努力培养自己的批判意识与创新精神。力培养自己的批判意识与创新精神。 掌握课程的基础知识和一定的解题能力。掌握课程的基础知识和一定的解题能力。3主要教学内容及其逻辑关系主要教学内容及其逻辑关系振动振动波动波动机械波机械波电磁波电磁波物质波物质波光学光学量子物理量子物理相相对对论论45 本章主要参考书目本章主要参考书目1.振动与波振动与波 (美美).A.P.French 徐绪笃等译徐绪笃等译.2.新概念物理学新概念物理

3、学力学力学 北大北大 赵凯华等编著赵凯华等编著.3.其它其它大学物理教程大学物理教程中的有关章节中的有关章节. 本章主要内容本章主要内容1简谐振动的描述：表达式、物理量、能量、旋转简谐振动的描述：表达式、物理量、能量、旋转矢量方法等；矢量方法等；2简谐振动的合成：同方向同频率、同方向不同频简谐振动的合成：同方向同频率、同方向不同频率、同频率相互垂直等；率、同频率相互垂直等；3阻尼与受迫振动简介阻尼与受迫振动简介.6引引 言言振动振动（vibration）的一般概念的一般概念1现象现象共同点：共同点：重复性重复性，且有，且有平衡点平衡点. .2 2定义（广义）定义（广义） 描述系统运动状态的物理

4、量，在某一值附描述系统运动状态的物理量，在某一值附近的重复变化，都称为振动近的重复变化，都称为振动. .生活中，振动无处不在：生活中，振动无处不在：心脏跳动心脏跳动等等地震地震股票价格股票价格电磁振荡电磁振荡7机械振动（机械振动（mechanical vibration）：）： 物体（或其某一部分）在其平衡位置附近的物体（或其某一部分）在其平衡位置附近的往复运动往复运动.电磁振荡（电磁振荡（electromagnetic oscillation）：）： 电路中电量（或电流、电压等）的周期性变电路中电量（或电流、电压等）的周期性变化化. 在物理学的不同领域，甚至在不同的学科在物理学的不同领域，甚

5、至在不同的学科中，对振动现象描述的方程式几乎完全相同，中，对振动现象描述的方程式几乎完全相同，故对机械振动的研究具有十分重要的意义故对机械振动的研究具有十分重要的意义. .微观振动微观振动：如晶格点阵上原子的振动：如晶格点阵上原子的振动 .8一一. .简谐振动的特征及其表式简谐振动的特征及其表式1.1.弹簧振子模型弹簧振子模型如图如图: :物体物体m m、弹簧、弹簧k.k.将其拉离平衡位置将其拉离平衡位置x后，后，振子将在振子将在回复力回复力和和惯性惯性共共同作用下作简谐振动。同作用下作简谐振动。作简谐振动的物体系统简作简谐振动的物体系统简称称谐振子谐振子。一般振动系统的抽象化一般振动系统的抽

6、象化. .理想模型理想模型. .xFFt6.1 简谐振动简谐振动(Simple Harmonic Motion) 的描述的描述92.2.简谐振动的运动学定义简谐振动的运动学定义 质点运动时质点运动时, ,离开平衡位置的位移离开平衡位置的位移x按余弦规律随时按余弦规律随时间变化间变化, ,该运动就叫简谐运动该运动就叫简谐运动. .x 偏离平衡位置的位移偏离平衡位置的位移. .A 偏离平衡位置的最大位移的大小偏离平衡位置的最大位移的大小: :振幅振幅. . 2 2秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数: :角频率角频率. . 初初相位相位.tAxcos103. 速度和加速度速度和加速度 ) si

7、n( ddtAtxv)2 cos( tA)cos()cos(dd22tAtAtvacosxAt11cosxAt由位移式由位移式知知mxA 4.4.简谐振动的简谐振动的物理量物理量(特征量特征量) (1) 振幅振幅A 简谐振动的物体简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝离开平衡位置的最大位移的绝对值对值tx0AA) sin( ddtAtxv)cos(dd2tAtva另可有另可有速度幅速度幅 加速度幅加速度幅AvmAam212对于弹簧振子：对于弹簧振子：mkv 21 mk 22 kmT 固有固有周期周期固有固有频率频率1 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数称称为频率为频率 vTv1)2co

8、s()(costATtAx2T 2 TvT22角频率角频率 完成一次完整振动所经完成一次完整振动所经历的时间称为历的时间称为周期周期T(2)频率频率 v(角频率角频率)（每秒振动次数）（每秒振动次数）（2 秒内振动次数）秒内振动次数）单位单位:赫兹赫兹 (Hz)tx0ATA131) ( t + + ) 是是 t 时刻的相位时刻的相位, ,描述描述t t时刻状态时刻状态. .2) 是是 t =0 时刻的相位时刻的相位初相初相, ,描述描述t=0t=0时刻状态时刻状态. .) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAv意义意义:v 相位确定了振动的状态相位确定了振动的状态. .v 相位

9、每改变相位每改变 2 2 , ,振动重复一次振动重复一次; ;相位相位 2 2 范围内变范围内变化化, ,状态不重复状态不重复. .（3）相位相位:描述振动状态描述振动状态. 2x sincos00AAxv14(4) 相位差相位差）同一谐振动不同时刻相位之差：）同一谐振动不同时刻相位之差：11cos)(tAtx22cos)(tAtx设：设：则：则：tTtttt2)()()(1212可知，当可知，当,3 ,2 ,TTTt ,6 ,4 ,2即，相差即，相差 的整数倍，对应相同的状态的整数倍，对应相同的状态周期性周期性215）同一时刻两个同频率谐振动相位之差：）同一时刻两个同频率谐振动相位之差：设：

10、设：101costAx202costAx则：则： 10201020tt初相之差初相之差有：有：的整数倍，或201020称两振动称两振动同相同相；的奇数倍，或1020称两振动称两振动反相反相；，01020称振动称振动超前超前振动；振动；，01020称振动称振动滞后滞后振动振动16xtoA1A2- A2x1x2T同相同相- A1x2TxoA1- A1A2- A2x1t反相反相当当 212k两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相。当当) 12(12k两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相。m1xOm211costAx22costAx1722cos()cos()maAtatx cos(

11、)xAtsin()cos()2mvAtvt 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vx.avxT/4T/4简谐运动的简谐运动的x, v, a 随时间变化的关系曲线随时间变化的关系曲线18超前（滞后）的涵义：超前（滞后）的涵义：设：两个谐振动设：两个谐振动1011costAx2022costAx且设：且设： ,即振动超前于振动即振动超前于振动 ,1020则对则对同一状态同一状态，x，v相同，即相同，即相位相同相位相同，)(t于是：于是：202101tt因有因有1020所以，所以，12tt 意即：振动先于振动达到该状态意即：振动先于振动达到该状态

12、195. 5. 振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定) cos()(tAtxcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22020vxA)arctan(00 xv注意注意:对应同一初始位移，初相位可有两个值，但只对应同一初始位移，初相位可有两个值，但只能取其中的一个，应使其既满足位移的表达式同时能取其中的一个，应使其既满足位移的表达式同时又满足速度表达式。又满足速度表达式。20旋转矢量与参考方向旋转矢量与参考方向x 的夹角的夹角: :相位相位矢端矢端M 点在点在x 轴上投影点轴上投影点P 的运动规律的运动规律： xt)(cos=+AAx0MPx(t)+A 的长度的长度: :振幅振幅 A旋转

13、角速度：旋转角速度：旋转的方向：旋转的方向：角频率角频率逆时针方向逆时针方向A二二. . 简谐运动的旋转矢量描述简谐运动的旋转矢量描述用旋转矢量来描述简谐运动的方法也称矢量图法。用旋转矢量来描述简谐运动的方法也称矢量图法。21xMP22xMP23xMP24xMP25xMP26xMP27xMP28xMP29xMP30 xMP31xMP32xMP33xMP34xMP35xMP36xMP37xMP38xMP39xMP40 xMP41xMP42xMP43xMP44xMP45xMP46xMP47xMP48xMP49xMP50 xMP51xMP52xMP53xMP54xMP55xMP56xMP57xMP5

14、8xMP59xMP60 xMP61xMP62在第在第1象限象限(x0 v0)在第在第2象限象限(x0 v0)在第在第3象限象限(x0)在第在第4象限象限(x0 v0)MPxAMPxAMPxAPPxAM 矢量在旋转过程中矢量在旋转过程中x、v与初相位的关系：与初相位的关系：63用矢量图法表示相位关系用矢量图法表示相位关系x1A2A x1A2A 同相同相反相反相x1A2A 2()t1()t同频率简谐运同频率简谐运动的相差动的相差不同相不同相64)sin(tAvx)2cos(tAcos()xmaat2cos()At2av超超前前2vx超超前前简谐运动的位移简谐运动的位移x、速度、速度v和加速度和加速

15、度a的矢量图的矢量图cos()xAt t + oxxtAva特点特点: :直观方便直观方便. .65试确定下列图中的初相位试确定下列图中的初相位txo2A 31 otxo 21 oxx666.2 简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程1. 受力特点受力特点线性回复力线性回复力kxF 2. 动力学方程动力学方程makxF0dd222 xtx ) cos()(tAtx动力学方程动力学方程 为为 固有固有(角角)频率频率mk 0XkxF运动学特征运动学特征弹簧振子满足简谐振动的弹簧振子满足简谐振动的动力学方程动力学方程作作简谐振动简谐振动. .0dd22 xmktx67解得解得：若初始条件：若初始

16、条件：t = 0 时时则：则：QQ2 其中其中Q可以是任意物理量可以是任意物理量)(cos0 tQQ广义简谐振动广义简谐振动-可以用形式相同的动力学方程描述可以用形式相同的动力学方程描述 的物理现象的物理现象. .22002vAx00tg()varcx cos0Ax 0sinvA 0 xx 0vv68022 lgdtdmaftt当当 时时 sinsinmgftgmtfTlO摆球受到的切向力摆球受到的切向力mgft22)(dtdldtdldtlddtdvat例例6.3:单摆的微小振动单摆的微小振动(教材教材P192)摆球切向加速度：摆球切向加速度：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：glTlg 22

17、00 结论结论: 单摆的微小振动是简谐运动单摆的微小振动是简谐运动)cos(00t69tiq I Q例例: LC电路的振荡电路的振荡+Q-QCLKLCKq(t)i(t)设电容器充电设电容器充电Q; t=0时合上开关后时合上开关后, LC电电路中会形成变化的电流路中会形成变化的电流i(t),设电容器中电量设电容器中电量为为q(t)，有：有：dtdiLCq dtdqi 将将 代入上式得：代入上式得：0122 qLCtdqd) cos()( 1 tAtqLC由初始条件得：由初始条件得：A=Q ， =0) 2 cos( ) (sin dd(t) ) cos()( tItQtqitQtq电路中电量和电电

18、路中电量和电流的周期性变化流的周期性变化称为称为电磁振荡电磁振荡.LLcUU70动能动能势能势能以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例, ,讨论简谐振动系统的能量。讨论简谐振动系统的能量。系统总的系统总的机械能：机械能：2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE6.3 简谐运动的能量简谐运动的能量任意时刻谐振子的总能量任意时刻谐振子的总能量2222121 mAkAEEEpk 考虑到考虑到2km71 0,21,020 kPEkAEAxt时时，或或当当 2021, 0, 02kAEExtkP 时时，当当 在谐振动过程中，动能与势能不断相互转换，但

19、系在谐振动过程中，动能与势能不断相互转换，但系统的总机械能守恒统的总机械能守恒;讨论讨论:谐振动谐振动的的动能与势能均为时间的周期函数动能与势能均为时间的周期函数;2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAt2222121 mAkAEEEpk 72pEkEEOtOtx221kAE tAxcos一周期内一周期内, ,动能和势能两次达到极大动能和势能两次达到极大; ; 即有即有势动振TTT2273能量曲线能量曲线: : 势能势能221kxEp抛物线抛物线.对应任意对应任意x处处,pkEEEAkEpE221kAE AoE能量能量平均值平均值222200111

20、sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE上述结果对任一谐振系统均成立。上述结果对任一谐振系统均成立。74例例6.1 (p189) 简谐运动简谐运动 一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A0.05m，周期，周期T=0.2s当当t0时，质点正越过平衡位置时，质点正越过平衡位置向负向负x方向运动方向运动求：求：(1)此简谐振动的表式；此简谐振动的表式；(2)t0.05s 时质点的位置、速度和加速度；时质点的位置、速度和加速度；(3)另一质点和此质点的另一质点和此质点的振动频率相同振动频率相同,但振幅为但振幅为0.08m

21、,并和此质点反相并和此质点反相,写出这另写出这另一质点的一质点的简谐振动表式简谐振动表式.(4)画出两振动的矢量图画出两振动的矢量图.)cos( tAx则：则：A0.05m，T0.2s， )(1021sT由初始条件：由初始条件：t0时，时，x00，且，且v00, v0 0v0 所以所以 - -/3 )3cos(12.0 tx谐振动的表式为谐振动的表式为有：有：)3cos(12.02 ta0.12sin()3vt 0.060.12cos 78(3) 物体从物体从x=- -0.06m向向x轴负方向运动，第一次回到平衡轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间位置所需的时间t 转过的角度转过的角度3223 65 st83. 06/5 mtx104.0)32cos(12.0)