高等数学：12-1 常数项级数的概念和性质

1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第十三章常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节 第十三章 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形边形, , 这个和逼近于圆的面积这个和

2、逼近于圆的面积 A .0a1a2ana设设 a0 表示表示,时n即即naaaaA210内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积, 则圆内接正则圆内接正边形面积为n23引例引例2. 小球从小球从 1 米高处自由落下米高处自由落下, 每次跳起的高度减每次跳起的高度减少一半少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理说明道理.由自由落体运动方程由自由落体运动方程2g21ts 知知g2st 则小球运动的时间为则小球运动的时间为1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g12 63. 2( s )设设 tk 表

3、示第表示第 k 次小球落地的时间次小球落地的时间, 在上面的两个例子中，都出现了无穷多个数在上面的两个例子中，都出现了无穷多个数“相加相加”，问题：问题：无穷多个数相加和熟知的有限多个数相加一样吗？无穷多个数相加和熟知的有限多个数相加一样吗？无穷多个数相加的结果无穷多个数相加的结果“和和”是什么？如何求？是什么？如何求？定义：定义： 给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1nnu即即1nnunuuuu321称上式为称上式为无穷级数无穷级数， 其中第其中第 n 项项nu叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和nkknuS1称为级数的称为级数的部分和部

4、分和.nuuuu321次相加次相加, 简记为简记为,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 S 为级数的为级数的和和, 记作记作1nnuS当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值21nnnnuuSSr为级数的为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数则称无穷级数发散发散 .显然显然0limnnr例例1. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若1 ,q 12nnqaqaqaaSqqaan11q当时，lim0,nnq由于从而从而qannS1lim

5、因此级数收敛因此级数收敛 ,;1 qa1,q当时lim,nnq 由于从而从而,limnnS则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散 .其和为其和为2). 若若1 ,q1,q 当时anSn因此级数发散因此级数发散 ;1,q 当时aaaaan 1) 1(因此因此nSn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而nnSlim综合综合 1)、2)可知可知,1q时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;1q时时, 等比级数发散等比级数发散 .则则,级数成为级数成为,a,0不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散.例例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnn

6、nnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求和求和23ln34lnnn1ln(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求和求和 例例3. 判别级数判别级数221ln1nn的敛散性的敛散性 .解解:21ln1n221lnnnnnnln2) 1ln() 1ln(221ln1nnkSkln3ln12ln2l

7、n4ln22ln3ln(1)ln(1)2ln nnnln5ln32ln4ln2 ln(1)lnnn2ln)1ln(1nlimln2,nnS 故原级数收敛故原级数收敛 , 其和为其和为ln2 .例例3、证明、证明调和级数调和级数11111123nnn 发散发散.证明：用反证法证明：用反证法 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 则则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 .21二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数1nnu收敛于收敛于 S ,1nnuS则各项则各项乘以常数乘以常数 c

8、所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,证证: 令令,1nkknuS则则nkknuc1,nScnnlimSc这说明这说明1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S证证: 令令,1nkknuS,1nkknv则则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数这说明级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S说明说明:(2) 若两

9、级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则)(1nnnvu 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)性质性质3. 在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.证证: 将级数将级数1nnu的前的前 k 项去掉项去掉,1nnku的部分和为的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同数敛散

10、性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和为原级数部分和序列序列 ),2,1(nSn的一个子序列的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括

11、弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但但1111发散发散.因此必有因此必有例如例如，用反证法可证用反证法可证例如例如例例4.判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121性质性质5、级数收敛的必要条件、级数收敛的必要条件 设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimli

12、mnnnnnnSSu0SS可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数nnn13121111虽然虽然，01limlimnunnn但此级数发散但此级数发散 .例例5. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:解解: ;231123nnnn123231)2(nnnnnnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)

13、(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛这说明原级数收敛 ,.41)2)(1(1nnn其和为其和为)2)(1(121121nn例例5. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 则则nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故故euuunn11从而从而,0limnnu这说明级数这说明级数(1) 发散发散.111)1 (

14、)1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!123231)2(nnnn因因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛这说明原级数收敛 ,.41)2)(1(1nnn其和为其和为)2)(1(121121nn(2) 1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛这说明原级数收敛, 其和为其和为 3 ., 3limnnS故(3) 的充要条件是:*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 定理定理.收敛级数1nnu, 0,ZNpnnnuuu21时，当Nn ,Zp对任意有证证: 设所给级数部分和数列为),2, 1(nSn