矢量、积分、微分方程

1、矢量、积分、微分方程矢量 定义：如果一个集合中定义了加法和数乘运算，且满足以下八条公理：存在零元 ，对于任意 均有对于任意 ，存在负元 ，有a b b a 0 a 0 a a a b 0a b a bc ab c 则称这个集合中的元素 为向量1a a aa a bab aaa a 向量的代数表示 如果在空间中选定一组完备基 ，那么任何向量 都能唯一分解为 ， 叫向量的坐标，这 样向量的运算化为数的运算，用坐标可以代表一个向量a 1212,nnxxae eex 12,ne ee 12nxxx叉积（向量积） 在直角坐标下，已知 和 ，求同时与这两个向量正交的向量解得：abc00 x xyyz zx

2、 xyyz za ca ca cb cb cb c,yzxyzxxyzzxyzxyaaaaaacccbbbbbbxyzxyzijkcaaabbb向量积的定义 定义 第二定义： 的大小为 ，且 、 、 呈右手系xyzxyzijka b aaabbb a b sinababa b 向量积的性质 线性 反交换律 非结合性()abca ba c a bb a 0a a ()()a bc ab c ()()()ab cb a cc a b 向量积的物理应用 安培力 大小： 方向： 呈右手系 所以fsinBIL, ,L B f fILB 洛伦兹力 角速度 角动量 力矩fqv B M r f dkdtL r

3、 p 混合积 以 为三条棱的平行六面体体积 ()()()xyzxyzxyza b cb c ac a baaabbbccc , ,a b c 向量的微分 如果 的坐标可微，基 不随参量t变化而变化，则： 1212( )( )( )( )nndddaa ta t ea t ea t edtdtdt 1212( )( )( )nnda tda tda teeedtdtdt ( )a a t ,12ne ee 性质 ()ddadbabdtdtdt()ddadba bb adtdtdt ()ddadba bb adtdtdt ( ) ( )ddfdaf t a tafdtdtdt 在直角坐标中其中 是

4、 的模11222221221()212nnna daadaa daa dadaaadaadaaaa dadadaa物理应用 运动学 动能定理 角动量定理,drdvvadtdt22dvdrdWf drmdrmdvdtdtmmdv v mv dv dvdE dL drdvmv r mmv v r fMdtdtdt 开普勒问题 行星在太阳的万有引力场中运动。用 证明开普勒第二定律以及 ，其中龙格-楞次矢量 。最后通过计算 求出行星轨道（开普勒第一定律）。dLMdt 0dBdt rBmMGL vr B r 不定积分 若 ，则称 为 原函数。原函数的全体记为 基本性质( )( )dF xf xdx( )

5、F x( )( )F xCf x dx( )( )df x dxf xdx( )( )df x dxf x dx( )( )fx dxf xC( )( )df xf xC( )f x( )( )( )( )af xbg x dxaf x dxb g x dx 是d的逆算符 不定积分是求导的逆运算 积分表 11nnxx dxCnxxe dxeC0dxC1lndxxCxcossinxdxxCsincosxdxxC 2sectanxdxxC不定积分的计算方法 凑微分法655sinsincossinsin6xxxdxxdxCsincostanln coscoscosxdxxdxdxxCxx 换元法22

6、2222222222222,sincossincos1 cos2cos2222cos22sin22424sin cosarcsin12222ax dxxatatdatatdttaaadtdttdtaaaattd tttCaaaxaxxtttCCaa令 分部积分法()duvudvvduudvvduudvuvvducossinsinsinsincosxxdxxdxxxxdxxxxC定积分 曲线围成的面积 1. 在a到b任意划分 2. 任取 3. 作近似和 4. 取极限 定义01naxxxb1,iiixx1( )niiifx1iiixxxmax01lim( )niixiSfx max01( )lim

7、( )nbiiaxif x dxfx 定积分的性质 ( )( )( )( )bbbaaaaf xbg xdxaf x dxbg x dx( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx变上限定积分 变上限积分 是 的原函数000( )( )( )lim11lim( )lim( )lim( )( )xxxxaaaxxxxxxxf t dtf t dtdf t dtdxxf t dtfxxxff x ( )xaf t dt( )f x牛顿莱布尼兹公式 若 是 的原函数 则( )( )xaF xf t dtC( )F x( )f x( )( )aaF af t dtCC( )( )

8、( )( )bbaaF bf t dtCf t dtF a( )( )( )baf t dtF bF a 计算1203331100|33313xxx dxxxx 计算圆的面积2202202244arcsin1222arcsin1aaax dxaxaxxaaaa定积分的物理应用功 功的定义 功与势能 势能 力的定义( )baWf x dx( )( )V aV bW( )( )V xf x dx ( )( )df xV xdx 常见势能 引力势能 选取无穷远处为零势能，则C=0 弹性势能 选取原点为零势能，C=02( )mMGmMGV rdrCrr ( )mMGV rr 2( )2kV rkxdx

9、xC 2( )2kV rx 动能定理 能量守恒 动量定理( )( )bbaaWdWdEE bE a( )( )( )( )V aV bE bE a( )( )( )( )V aE aV bE b( )( )V xE xConst( )( )bbaap bp ad pfdtI 常微分方程 含有未知函数导数的方程叫微分方程 称方程中未知函数的最高导数阶数为方程的阶数 满足方程的函数叫方程的解，所有解的一般表达式叫通解，满足特定物理条件的解称为特解分离变量法 的解法 dykydxdykdxydykdxylnykxCkx CkxyeCe 一物体由静止从H高度下落，所受阻力f=-kv。求物体的运动h(t)，与v(t)。