方程与不等式

1、第四章第四章 方程与不等式方程与不等式 第五讲证不等式证不等式证明不等式的一些常用方法证明不等式的一些常用方法n可使用一些基本不等式可使用一些基本不等式n将待证的不等式进行等价变换，化归为基本不等将待证的不等式进行等价变换，化归为基本不等式或已知条件式或已知条件n放缩法：舍弃一些正项或负项，或者逐项放大、放缩法：舍弃一些正项或负项，或者逐项放大、逐项缩小逐项缩小n求差法求差法:要证明要证明AB，改证，改证AB0 因式分解等变形因式分解等变形n求商法求商法:要证明要证明AB，改证，改证n构造函数单调性法：构造函数单调性法：y=f(x)是递增的，则是递增的，则x1x2时，时，y1y2 极值法极值法

2、n反证法：反证法：要证小于等于，假设大于，然后推出矛盾要证小于等于，假设大于，然后推出矛盾n判别式法：把欲证的不等式转化为某个变量的二判别式法：把欲证的不等式转化为某个变量的二次三项式次三项式n轮换对称的可以先假定一个序轮换对称的可以先假定一个序1,(0)ABB常用的一些基本不等式常用的一些基本不等式2222,2.2,.11220,2.1,14a bRababababa bRababbaababa bRabab 若若若若且利用不等式求最值利用不等式求最值的值最大为何值时，求当已知)1 (, 10 xxxx开方法二：法一：4121)1 (2121)1 (22xxxxxxxxx常用的一些基本不等式

3、常用的一些基本不等式3332223, ,3.3, ,.11133, ,31, ,1,27a b cRabcabca b cabca b cRabcabcbcaa b cRabca b cRa b cabc 若若若若且常用的一些基本不等式常用的一些基本不等式2232222222223222222,0,0,0.,.1, lg3,1113,.a bRaaaba bRabababxxxxabca b cabca b cabcabbcca若若222222212121 122()()()nnnnaaabbba ba ba b柯西不等式：调和平均数的一个模型调和平均数的一个模型sv2ssv1v3123123

4、33111svsssvvvvvv已知已知a,b,c,d都是正数，求证都是正数，求证1s2.aacabdabcd 糖水模型 abcdabdbcacdbdac s =放缩法放缩法12abcdabcdabcdabbacddc s 222222, ,1,111(1)9;111(2)27;1(3).3a b cRabcabcabcabc若且求证：“1”的反代，然后利用基本不等式证明是不等式证明中的一个常用手段31327abcabcabc利用和221233aa或者三式相加“1”反代，均值不等式；或者利用化为abc222abcabbcca或者利用利用柯西不等式；271abcabccaabccbacba22,

5、2 , 0, 0求证：已知成立吗？归结为abcca221212115113111nnn的正整数，求证：为大于已知41221212267564534)211)(1211 ()1211 ( ,),411)(311 ()311 (222nnnnnAnnnbaabbabaRba111,求证：已知babaxxxxf增函数，构造函数),0(1)(12122( ),11,()()1xfxxxfxfxx已知求证证明单调性 已知已知m，n是正整数，且是正整数，且 求证：求证：1,mn(1)(1) .nmmn 11111 11(1)1mnnnnnnmnnmmn 法二：递减函数法一：构造),1()1lg(xxxym

6、个n-m个柯西不等式的证明柯西不等式的证明 当且仅当当且仅当 时等时等号成立。号成立。证明一：向量内积证明一：向量内积 当且仅当当且仅当a/b时等号成立时等号成立证明二：构造二次函数证明二：构造二次函数222222212121 122()()(),nnnniiaaabbba ba ba ba bR其中1212nnaaabbba ba b2222222121 122122221122( )2()()()0,0nnnnnnf xaaaxaba ba bxbbba xba xba xb n求证：求证：n求函数求函数 的最大的最大值。值。是求正数积的最大值，考虑其和为定值，且是求正数积的最大值，考虑其和为定值，且它们都相等。要检验等号能否取到。它们都相等。要检验等号能否取到。22log 7 log 9922(25 )(0)5yxxxax,ax,2-5x; a=5/2，32/67522baab当当 时，求时，求 的最小值的最小值 xR2212xxx22=t，利用t+1/t单调性形如x+d/x型的不等式问题往往要结合函数y=x+d/x的单调性来解决 1/28642-2-4-6-8-10-5510 10 8 6 4 2 -2 -4 -20 -15 -10 -5 5 f x = x 2 + 1 x 2 +2从图像上看最小值是1/2?2 abba条件是正实数！作业作业22)1 ()