高阶线性微分方程

1、)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 二阶线性微分方程二阶线性微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 特点特点未知函数及其各阶导数都是一次幂未知函数及其各阶导数都是一次幂高阶线性微分方程高阶线性微分方程本节只讨论二阶线性微分方程本节只讨论二阶线性微分方程)()()(xfyxQyxPy 所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形一、线性微分方程的解的结构一

2、、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :) 1 (0)()( yxQyxPy定定理理1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常数数） 问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211yCyCy 定义：设定义：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间I内的内的n个个函数如果存在函数如果存在n个不全为零的常数，使得当个不全为零的常数，使得当x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk

3、， 那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I内内线性相关线性相关 否则称否则称线线性无关性无关 例如例如时，时，当当),( xxxxeee2, ，线性无关线性无关xx22sin,cos1，线性相关线性相关 若若在在 I 上上有有常常数数， )()(21xyxy则则函函数数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线线性性无无关关.定理定理 2 2： 如果： 如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线性的两个线性无关的特解无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的的通解通解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常

4、数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 特别地特别地:2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定定理理 3 3 设设*y是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一个个特特解解, , Y是是与与( (2 2) )对对应应的的齐齐次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2

5、)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理解的叠加原理是是若若*2*1*jyyy )()()()(21xjfxfyxQyxPy 的特解的特解则则的特解的特解是是)()()(1*1xfyxQyxPyy 的特解的特解是是)()()(2*2xfyxQyxPyy 即即特解的实部是实部方程的特解特解的实部是实部方程的特解特解的虚部是虚部

6、方程的特解特解的虚部是虚部方程的特解定理定理5二、降阶法与常数变易法二、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy, 0)(2(111 uyxPyuy即即,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy0)(2(111 vyxPyvy的一阶方程的一阶方程 v降阶法降阶法解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP

7、 Liouville公式公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc(4)22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcy

8、xQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系数行列式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy例例.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方程一特

9、解为对应齐方程一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 设原方程的通解为设原方程的通解为,)()(21xexcxxcy 应应满满足足方方程程组组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(21，11)(Cxxc 22)(Cexexcxx 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx补充内容补充内容0)()( yxQyxPy可观察出可观察出一个特解一个特解, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)

10、2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解0)()4( xQ若若特解特解 y = 1 0)()() 1() 5(2 xQxxmxPmm若若特解特解 y = xm 0)()()6(2 xQxP 若若xey 特解特解三、小结三、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；练练 习习 题题 一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .三三、已已知知xexy )(1是是齐齐次次线线性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一个个解解, ,求求此此方方程程的的通通解