高考数学 第一节 导数的概念及其运算教材

1、第一节 导数的概念及其运算教 材 面 面 观1导数的概念(1)如果当x0时，_，我们就说函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f (x0)，即f (x0)_.(2)如果函数f(x)在开区间(a，b)内_，就说f(x)在开区间(a，b)内可导这时对于开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着_，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f (x)，即f (x)_，导函数也简称导数答案有极限 每一点都可导一个确定的导数f (x0) 2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是_.答

2、案曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率3几种常见的导数C_；(xn)_；(sinx)_；(cosx)_；(ex)_；(ax)_；(lnx)_；(logax)_.答案0(C为常数)nxn1cosxsinxexaxlnalogae4导数的四则运算法则设u、v是可导函数，则(u±v)_；(uv)_；()_(v0)答案u±vuvuv考 点 串 串 讲1函数yf(x)在点x0处的导数函数yf(x)，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量yf(x0x)f(x0)，比值就叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率即：，如果x0时，有极限，则称函数在点x

3、0处可导，且把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作：f (x0)或y|xx0，即f (x0) .注意(1)增量x不同于增加量，x可正可负，自变量x在x0处有增量，其实质是保证f(x)在x0处“附近”有定义(2)函数yf(x)在点x0处的导数是一个确定的值，而不是含有自变量x的函数表达式2函数yf(x)在区间(a，b)内的导函数(导数)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点都可导，则称以(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数f (x)为函数值的函数为f(x)在(a，b)内的导函数，简称为f(x)在(a，b)内的导数，记作f (x)或y.即f (x)y .注意函数在点x0

4、处可导，是指x0时，有极限，若极限不存在，就称函数在x0处不可导，或称在x0处无导数，因此，并不是所有函数在x0处都有导数，也并不是所有函数在给定开区间内都存在导数函数yf(x)的定义域一般都指开区间，因为在其端点处不一定有增量，即右端点无增量，左端点无减量函数f(x)在x0处的导数是一个确定的数值，而f(x)在(a，b)内的导数则是一个以x为自变量的函数，这是一个变量，实质上f (x0)就是f (x)在x0处的函数值3导数的几何意义与物理意义设函数yf(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0，y0)处的切线斜率过点M的切线方程为：yy0f (x0)(xx0)

5、设ss(t)是位移函数，则s(t0)表示物体在tt0时刻的瞬时速度设vv(t)是速度函数，则v(t0)表示物体在tt0时刻的加速度4求导数的方法由导数的定义可知，求函数yf(x)在x0处的导数f (x0)可以分三步：(1)求函数的增量：yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率：；(3)取极限得导数f (x0) .求f(x)的导函数f (x)的方法类似5导数的运算(1)几种常见函数的导数公式1C0(C为常数)；公式2(xn)nxn1(nQ)；公式3(sinx)cosx；公式4(cosx)sinx.(2)对数函数与指数函数的导数(lnx)；(logax)logae；(ex)ex；(ax)axl

6、na.(3)函数的和、差、积、商的导数(u±v)u±v；(uv)uvuv；()(v0)6复合函数的求导一般地，设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yuf (u)，则复合函数yf(x)在点x处也有导数，且yxyu·ux或写作f x(x)f (u)·(x)复合函数求导数的步骤(1)计算f u(u)的表达式，并表示为x的函数；(2)计算u(x)的表达式若u(x)为基本初等函数或简单函数，则立即求出u(x)；若u(x)仍为复合函数，则继续分解，终可求出u(x)这样就将复合函数的求导归结为基本初等函数或简单函数的求导，从而

7、得到结果复合函数的求导，当运算熟练以后，可不必写出中间变量，只是心中记住把哪一部分当成中间变量，然后用公式先求函数对中间变量的导数，再乘以中间变量对自变量的导数通俗地讲，先求外函数对内函数的导数，再乘以内函数对自变量的导数，由外向内一层一层地剥7利用导数求曲线的切线方程由于函数yf(x)在xx0处的导数，表示曲线在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，因此，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程可如下求得：(1)求出函数yf(x)在xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f (x0)(xx0)如

8、果曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线方程为xx0.在求切线方程时需注意，只有当P(x0，f(x0)是切点时，f (x0)才表示曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处切线的斜率注意如果曲线yf(x)在点P0(x0，f(x0)的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0，对于点P0不在曲线上时，先设切点T，仿照上述方法，求出切线，然后将P0坐标代入求出(x，y).典 例 对 对 碰题型一 利用导数公式和法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)yx5x34x26；(2)y(x4)(2x1)2；(3)y；(4

9、)y；(5)yln(x)；(6)y.解析(1)y(x5)(x3)(4x2)(6)2x4x28x.(2)解法一y(x4)(2x1)24x312x215x4，y12x224x15. 点评记忆常见的几种函数的导数公式，理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件特别是商的求导法则，求导过程中注意符号及形式特点求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是：分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系(简称分解复合关系)；分层求导，弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数(简称分层求导).变式迁移1求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y(

10、1sinx)2；(4)yln()解析(1)y. 题型二 利用导数求切线方程例2已知函数f(x)x3x16，(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程分析首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题解析(1)f(2)232166，点(2，6)在曲线上f (x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率kf (2)3×22113.切线的方程为y13(x2)(6)即y13x32.(2)解法一：设切点为

11、(x0，y0)，则直线l的斜率为f (x0)3x1，直线l的方程为：y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016.整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)解法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k.又kf (x0)3x1，3x1，解得x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，斜率k4.设切点为(x0，y0)，则f (x0)3x14，x0±1，或切线方程为y4(x1)1

12、4或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.点评灵活利用xx0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键；根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法.变式迁移2已知曲线y5，求：(1)曲线上与直线y2x4平行的切线的方程；(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线的方程解析(1)设切点为(x0，y0)，由y5，得y|xx0.切线与y2x4平行2，x0，y0，则所求切线方程为y2(x)即2xy0.(2)点P(0,5)不在曲线y5上，故需设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为.又切线斜率为，2t2t，得t4.切点为M(4,10)，斜率为，切线方程为y10(x4)，即5x4y200

13、.【教师备课资源】题型三导数的定义例3若函数f(x)在xa处的导数为A，求 .分析已知函数f(x)在xa处的导数为A，要求所给的极限值，必须将已给极限式转化为导数的定义解析 A，则 AA2A.点评本题考查的是对导数定义的理解.变式迁移3已知f(x)在xa处的导数为A，求 .解析 4 5 4 5 4A5AA.题型四 导数的物理意义例4若一物体的运动方程如下：s求此物体在t1和t3时的速度解析t1时，s3t22；t3时，s293(t3)2.分别求出s，再由v 求得当t1时，s3t22，ss(tt)s(t)3(1t)22(32)6t3(t)2，v (63t)6.当t3时，s293(t3)2，ss(t

14、t)s(t)293(3t3)2293(33)23(t)2，v 3(t)0.点评瞬时速度实质是平均速度当x0的极限值其计算方法与曲线切线的斜率的求法实质是一样的.变式迁移4一质点做直线运动，它所经过的路程s(单位：m)和时间t(单位：s)的关系是s3t2t1，(1)试求2,2.01这段时间内质点的平均速度；(2)当t2时的瞬时速度解析(1)s3×2.0122.011(3×2221)0.1303(m)，13.03(m/s)(2)s3(tt)2(tt)13t2t13t2(16t)t，3t6t1.v (3t6t1)6t1，v|t213(m/s)，即当t2时，质点运动的瞬时速度是13

15、m/s.方 法 路 路 通1曲线的切线问题及物体的运动速度问题均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决2应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错3掌握复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导4常用结论：(1)可导的周期函数的导函数仍为周期函数，且周期不变(2)可导的奇函数的导