第1章复变函数习题答案习题详解.

1、第一章习题详解1求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：11)32i解：11 32i32i32i2i32i32i94133实部：Re132i133虚部：Im122i133共轭复数：132i32i13模：1322 2132i13 213112辐角：Argarg2karctg13k2i32i3231313i2)1 ii解： 13ii3i 1 ii3 3i2i 3 3ii1 ii 21 i 1 i1 12实部： Re 13ii3i12虚部： Im13ii5i12共轭复数：13i35ii1i2模：13i325 23434i1i2 24213i13i5辐角： Arg2karctg2i1iarg1

2、i3i22arctg2k3 5i22karctg 52k334i25i3)2i解： 34i25i267i i7 26i7 26i2i222实部：Re34i25i72i2虚部：Im34i25i26132i2共轭复数：34i25i726i2i234i25i722625 29模：2i22234i25i2626辐角： Argarctg22karctg2k2i7724) i 84i 21i解： i 84i 21i14ii13i实部：Re i8421i1i虚部：Im i84213ii共轭复数：i 84i 21i13i模： i 84i 21i123 210辐角： Arg i 8i 21iargi 8i 21

3、i2karctg32karctg3 2k4412 当 x 、 y 等于什么实数时，等式x1iy31i 成立？53i解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：x 1 i y 31 i 5 3i2 8ix12x1y38y11即 x1、 y11 时，等式成立。3 证明虚数单位i有这样的性质：ii 1i证明： i11iiii 2i0 i0iiii 1i4 证明2zz1) z证明：设 zxiy ，则 zxiy222zx iyx 2y2x 2y2zzxiyxiyx 2y2z2zz2) z1z2z1z2证明：设 z1x1iy1 ， z2x2iy2 ，则有：z1z2x1iy1x2iy2x1x2i

4、y1y2x1x2i y1y2z1z2x1iy1x2iy2x1iy1x2iy2x1x 2i y1y2z1z2z1z23) z1 z2z1 z2证明：设 z1r1 ei 1， z2r2 ei2 ，则有：z 1 z 2r 1 e i1 r 2 e i2r 1 r 2 e i 12r 1 r 2 ei12z 1 z 2r 1 e i1r 2 e i 2r 1 e i1 r 2 ei 2r 1 r 2 e i12z 1 z 2z1 z24)z1z1 , z20z2z2证明：设 z1r1 ei 1， z2r2 ei 2 ，则有：z 1r 1 eiz 2r 2 ei12r 1e i 1 2r1 ei12r

5、2r 2z1r1e i 1r1e i 1r1ei12z2r2 e i 2r2 ei2r2z1 z2z1 z25) z z证明：设 zxiy ，则有zxiyxiyxiyz6) Re z1 z z , Im z1 z z22i证明：设 zxiy ，则 zxiy1zz1iyxiyxRe z2x21 z z1x iyx iy1 i 2 yy Im z2i2i2i5 对任何 z, z22z值才成立？z是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些解：设 zxiy ，则有：z 2x iy 2x 22x y i y222x iy 2x2y2zx iyz2z 2x 2y2x 2y2y 02 xy0故当 y0，

6、即 zxiy是实数时， z22z 成立。6 当 z1 时，求 z na 的最大值，其中n 为正整数， a 为复数。解： znaznaz naz 1zn1na 1 a 即 z na 1 azzna 的最大值是 1a7判定下列命题的真假：1) 若 c 为实常数，则 c c ；解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。2) 若 z 为纯虚数，则 z z ；解：真命题。设ziy y0 ，则 ziy ，显然 zz 。3) i 2i ；解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。4) 零的幅角是零解：假命题。复数0 的幅角是任意的，也是无意义的。5) 仅存在一个数1z；z，使得z解：假命题。有两个数 z

7、 i , zi ，使 1z 成立。z6)z1z2z1z2 ；解：假命题。设有两个数z1 i, z2i ，使 z1 z2z1 z2 不成立。7)1 z izi解：真命题。 1 zi zizi8将下列复数化为三角表示式和指数表示式：1) i解： ri1 ， arg i2ic o si s i nie 2222)1解： r11 ， arg 11c o si si nei3)1i3解： r1i 32 ， arg 1 i3 arctg3131 i 3c o si s i nie 3334)1cosi sin 0解： r1cosi sin12sin 21 cos22 cossin 2cos2 2 cos2

8、 1 cos2 1 cos22 1 cos2sin 22222 1 cos22sin 24 sin22sin222arg 1cosi sinarctgsinarctg arcctgarctg tgcos2122i1 c o si s i n2s i n c o si s i n2 s i n e22222另： 1cosi sin1 cos2i sin222 sin 2i 2sincos22222sinsini cos2sincosi sin2sin ei22222222另： 1cosi sincos0i sin 0 cosi sincos0 cosi sin 0sin2sin 0sin 0i2

9、 sin 0cos 02sinsini cosi22222sin e 222222i5)i12i2i1i22i1i解：i221r1i2 ， arg 1iarg1arg146)解：1 i2 c o si s i ni442e 4cos5i sin523cos3i sin3cos5i sin 52ei 52ei 10cos3i sin 33cos 3i sin33e 3 i3e 9 icos5i sin 52ei 10ei 19cos 19i sin 19cos3i sin 33e i 99将下列坐标公式写成复数的形式：xx1a11) 平移公式：yy1b1解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到

10、第一个方程，得：xiyx1iy1a1ib1即： zz1A2) 旋转公式：xx1 cosy1 sinyx1 siny1 cos解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：x iyx1 cosix1 siny1 siniy1 coscosx1 iy1sin y1 ix1cosx1iy1ii sin y1ix1cosx1iy1i sinx1 iy1x1iy1cosi sinx1iy1eizz1cosi sinz1ei10 一个复数乘以i，它的模与辐角有何改变？解：设 zre ii2i eiii2izree 2re即：一个复数乘以i，它的模不变，辐角减小2。11 证明： z12z1z22

11、22z22 z1z2，并说明其几何意义。证明： zz2zzzzzzzz2212111221z1 z1z1 z2z1z2z2 z2z12z1 z2 z1z2z1z2 z1z2z2z1 z1z1 z2z1 z2z2 z2z1z22z1z222z1 z12z2 z22 z122z2几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2 倍。12 证明下列各题：1) 任何有理分式函数R zP ziY 的形式，其中 X 与 Y 为具有实系数的x 与 y 的有理可以化为 XQ z分式函数；证明：设 zxiyz x, y ，则：P z u1 x, y iv1 x, y ， Q z u2 x, y

12、 iv2 x, y其中， u1x, y ， u2x,y ， v1x, y ， v2 x,y 皆为关于 x, y 的实系数多项式。P zu1 x, y iv1 x, yu1iv1 u2iv2u1 u2v1 v2i u2 v1u1 v2X iYQ z u2 x, y iv2 x, yu22v22u22v22其中： Xu1u2v1 v2， Yu2v1u1 v2R zP zXiYu22v22u22v22Q zX ,Y 为具有实系数的关于x,y 的有理分式函数。2)如果 R z 为 1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么R zXiY ；证明：因为 R z 为具有实系数的有理分式函数，所以R zP zP

13、 zu1 x, y iv1 x, yu1iv1 u2iv2R zQ zu2 x, y iv 2 x, yu22v22Q zu1u2v1 v2i u2 v1u1 v2XiYu22v22其中： Xu1 u2v1v2 ， Yu2 v1u1v2u22v22u22v223)如果复数 aib 是实系数方程a0 zna1 zn1an1 zan0的根，那么 aib 也是它的根。证明：令 fza0 zna1 z n1an1 zan因为 aib 是方程 f z0的根，faib 0faib0又因为的系数为实数，faibfaibfaib因此 faib0 。即 aib 也是方程fz0 的根。即实系数多项式的复根必共轭成

14、对出现。13 如果 zeit ，证明：1)zn12cosntzn证明：zeitzn1eitn1einte intcosnti sin ntcosnti sin nt 2 cosntzneitn2)zn12i sinntzn证明：zeitzn1eitn1einte intcosnt i sin ntcosnt i sin nt 2i sin ntzneitn14 求下列各式的值：1)3i53i2ei解：6i5532 cos 5i sin 553i25 ei16316i2e66662)1i61ii解：2e 4i4633361i 6ii8cosi sin8i2e 42e 48e 2223)61解：1

15、ei12 n61ei 6n 0,1,2,3,4,5即： w031 i ， w1i ， w231 i ， w33 1 i ， w4i ， w531 i222222224)1i131i2ei解：41i 12 n6 2e 3 4n 0,1,21 i 3即： w06 2ei62 cosi sin， w16i 762cos7i sin7122e 12，121212126i 56 2cos5i sin5w22e 44415若 1i n1i n ,试求 n 的值。解：1in1ninncos nn1in2cosi sini sin42444nnnn1in2cosi sini sin42cos444sinnnn

16、0nkn4k k0, 1,2,4sins i n444161) 求方程 z380 的所有根；解：z380z3838eii2 n3n0,1,2z2e即：z02i1i3 ， 12i2，22ei 51 i333ezez2) 求微分方程 y' ''8 y0 的一般解。解：微分方程 y'' '8y0 的特征方程为： r 380 。由前题得： r01i3 ，r12 ，r21 i 3微分方程 y'''8 y0 有三个线性无关的特解：y0e 1i 3 x ， y1e 2 x ， y2e 1 i 3x微分方程 y'''

17、;8y0有三个线性实数特解：excos3x ， e x sin3x ， e 2 x一般解为： yc e 2 xe xc cos3 xc sin3xc1 , c2 , c3R12317 在平面上任意选一点z，然后在复平面上画出下列各点的位置：z, z,z, 1 , 1 ,1z zz解：18 已知两点 z1与 z2 （或已知三点z1 , z2 , z3 ），问下列各点z 位于何处？1)z1z1z2；2解： z 位于 z1与 z2 连线的中点。2)zz11z2 ，其中为实数；解： z 位于 z1与 z2连线上，其中zz2。z1z23)z1z1z2z3。3解： z 位于以 z1 , z2 ,z3 为顶

18、点的三角形的重心上。19 设 z1 , z2 , z3 三点适合条件z1z2z30 ， z1z2z31 。证明： z1 , z2 , z3 是内接于单位圆z 1 的一个正三角形的顶点。证明：（方法一）z1z2z31z1 , z2 , z3 位于以原点为圆心的单位圆上。令 z1cos1i sin 1 ， z2cos2i sin2 ， z3cos3i sin3其中123。0212， 0322 ， 0312z1z2z30z1z2z3c o s 1c o s 2c o s 31 22 2c o s 211si n 1si n 2s i n 32212或21433同理可得：322或32433422；如果

19、24分析：如果213，323， 则311，348与 022323，则3121矛盾。21。233同理32。3z1 , z2 , z3 是内接于单位圆z1 的一个正三角形的顶点。（方法二）z1z2z31z1 , z2 , z3 位于以原点为圆心的单位圆上。z22z2z1 z2z122z2 z1z1 z22 z2 z1z1 z2z1z2z1z1z2z30z1z222z31z22z2z1 z2z122z2 z1z1 z22 z2 z1z1 z21z1z2z1z2 z1 z1 z21z2z12z1 z221 32 z2 z1同理： z323 ， z323。于是 z2z122z323z2z1z3z2z1z

20、1 , z2 , z3 是内接于单位圆z1 的一个正三角形的顶点。（方法三）z1z2z3 1z1 , z2 , z3 位于以原点为圆心的单位圆上。z1z2 z30z1 z2z3z22z222 z22z12z1z1zz22 z2z2zz22 z2z 2z223211131212121z1 , z2 , z3 是内接于单位圆z1 的一个正三角形的顶点。（方法四）z1z2z31z1 , z2 , z3 位于以原点为圆心的单位圆上。设 zkxkiykk 1,2,3z1z2z30x1x2x30x1x2x3y1y2y30y1y2y3z1z2z31x12y12x22y22x32y321而 x12y12x2x 32y2y32x 2x32y2y321x2x 32y2y3