等差数列典型例题及分析.

1、第四章数列 例 1 已知数列1， 4， 7， 10， ， 3n+7, 其中后一项比前一项大通项公式；（ 2）指出 1+4+（ 3n 5）是该数列的前几项之和.正解：（ 1）an=3n 2;(2) 1+4+（ 3n 5）是该数列的前n1 项的和 .3. （ 1）指出这个数列的例2已知数列an的前n 项之和为Sn2n 2n Snn2n1求数列an 的通项公式。正解 ：当 n1时， a1S11当 n2时，an2n2n2(n1)2(n1)4n3经检验n1时 a1 1也适合，an4n3当 n1时， a1S13当 n2 时， ann2n1 (n1) 2(n1) 1 2n an3(n1)2n( n2)例 3

2、已知等差数列an的前 n 项之和记为 Sn， S10=10，S30 =70，则 S40 等于。10a1109 d1022正解 ：由题意：2得 a129 d, d30a130705152403940d120 。代入得S40 40a12 例 5 已知一个等差数列an的通项公式 an=25 5n，求数列 | an | 的前 n 项和；n(455n),n52正解 ：5n)(n 5)(2050,n62 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是310，前 20 项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ 例 7 已知： an1024lg 21 n（ lg 20.3010 ） n N（ 1）

3、问前多少项之和为最大？（ 2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1）an1024(1n) lg 201024n102413401n3403an1024 n lg 20lg 2lg 21 n3402（ 2） Sn1024nn(n1) (lg 2) 02当 Sn0或Sn 近于 0 时其和绝对值最小令： Sn0即 1024+n(n1) (lg 2)02得： n2048 16804.99lg 2 nN n6805 例 8 项数是 2n 的等差数列， 中间两项为 an和 an1 是方程 x2pxq0 的两根， 求证此数列的和 S2n 是方程lg 2 x(lg n2lg p 2 ) lg x(lg nlg

4、p) 20的根。 （ S2n0 ）证明： 依题意 anan1p a1a2 nanan 1p S2n2n(a1a2 n )np2 lg2x(lgn2lgp2 ) lgx(lgnlg) 20p (lgxlg)20xnpS2 n（获证）。np四、典型习题导练1已知a13 anSn 12n ，求an 及 Sn 。且2设 an122334n( n1)，求证： n(n1)an(n1) 2。223.求和 : 111112123123n4. 求和：(1002992 ) (982972 )(4232 )(2212 )5. 已知 a,b,c 依次成等差数列，求证：a2bc b2ac c2ab 依次成等差数列 .,

5、6. 在等差数列an中， a5a1340 ，则 a8a9a10（）。A 72B 60C 48D367. 已知 an是等差数列，且满足 amn, anm(mn) ，则 am n 等于 _。8. 已知数列1成等差数列，且a311 , a513，求 a8 的值。an267§ 4.2 等比数列的通项与求和三、经典例题导讲例 1n0, q 1, q 为非零常数），则 an已知数列an 的前 n 项之和 Sn=aq （ a为（）。A. 等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解 ：当 n1 时， a1=S1 aq;当 n>1 时， anSnS

6、n 1aq n 1 (q1)an 1q （常数）an但a2q 1qa1an 既不是等差数列，也不是等比数列，选C。例 2已知等比数列an 的前 n 项和记为 Sn， S10 =10 ， S30=70，则 S40 等于 .错解 ： S30= S 10· q 2. q2 7， q7 ， S 40= S 30· q =70 7.错因：是将等比数列中Sm, S2m Sm, S 3m S2m成等比数列误解为Sm, S 2m, S 3m成等比数列 .a1 (1q10 )10a11q10正解 ：由题意：得1，a1 (1q30 )q70q10或 q103(舍去)1q2S40=a1 （1q

7、40） 200 .1q例 3求和： a+a2+a3+ +an.n错解 ：23na .a+a +a + +a 11a错因：是（ 1）数列 an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（ 2）用等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1.正解 ：当 a0 时， a+a2+a3+an 0;当 a 1 时， a+a2+a3+ +an n;当 a1 时，a+a 2+a3+ +an 1a n.1a例 4设 a, b, c, d 均为非零实数，2222220 ，ab db ac dbc求证： a,b, c 成等比数列且公比为d 。证明：证法一 ：关于 d 的二次方程2222220 有实根，abd

8、b ac dbc422422(22)0，22bacabbcbac0则必有： b 2ac0 ，即 b 2ac ，非零实数 a,b,c 成等比数列设公比为 q ，则 baq ， caq2代入a2a2q2d2222q2240aq a aqd aaq q 21a 20，即 d 22qdq 20 ，即 dq0 。证法二： 2222220abdb ac dbc222222220a dabdbb dcbcd adb 2bdc 20 ， adb ，且 bdc a,b,c, d 非零， bcd 。ab例 5在等比数列bn中， b43 ，求该数列前7 项之积。解： b1b2 b3b4b5b6b7b1b7 b2b6

9、 b3b5 b4 b42b1b7b2 b6b3b5 ，前七项之积3233372187例 6求数列 n1 前 n 项和2n解： Sn1 1213 1n12482n1Sn112131(n 1)1n1248162n2n 11(11)两式相减： 1Sn11 11n122nn22 4 82n2n 1112n 121n1nSn2(122n2n 1 )n 12n2 例 7 从盛有质量分数为20%的盐水 2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出 1kg 盐水，然后再加入1kg 水，问： (1)第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg？(2) 经 6 次倒出后，一共倒出多少 kg

10、盐？此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解： (1)每次倒出的盐的质量所成的数列为 an，则：a1= 0.2 （ kg） ,a2= 1 × 0.2 （ kg） ,a3= ( 1 ) 2× 0.2 （ kg）22由此可见： an= ( 1 ) n1× 0.2 （ kg） ,a5= (1 ) 5 1×0.2= (1 ) 4× 0.2=0.0125 （ kg）。222(2)由 (1)得 a 是等比数列a =0.2 ,1q=n121S6a1 (1q 6 )0.2(126 )0.39375(kg )1q1120.40.393750.006

11、25(kg )0.0062520.003125(kg)答：第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐0.0125kg； 6 次倒出后，一共倒出 0.39375kg盐，此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1. 求下列各等比数列的通项公式：1)a1=2,a3=82)a1=5,且 2n+1=3 naa3)a1=5,且 an1nann 12.在等比数列an，已知 a15， a9a10100，求 a18 .012n13.已知无穷数列 10 5 ,105 ,105 ,10 5,，求证：（ 1）这个数列成等比数列（ 2）这个数列中的任一项是它后面第五项的1 ，10（

12、3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列 an 为 1,2x,3x 2 ,4x3nxn1x0 求此数列前 n 项的和。5. 已知数列 an 中， a1=2 且 an+1=Sn，求 an , Sn6. 是否存在数列 an ，其前项和 Sn 组成的数列 Sn 也是等比数列，且公比相同？7. 在等比数列an 中， a1a336, a2a460, Sn400，求 n 的范围。§ 4.3 数列的综合应用三、经典例题导讲 例 1 设 an是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， Sn 是 其 前 n项和.证明：log 1 Snlog 1 Sn 222log 1 Sn1 。22l

13、og 1Snlog 1Sn2错解： 欲证22 log 1Sn 122只需证 log1Slog1S 2 log1S1nn 2n222即证： log 1 (SnSn2 ) log 1Sn2122由对数函数的单调性，只需证(SnSn 2 ) S21nSnSn 2 Sn21 a12 (1qn )(1q n2 )a12 (1qn 1 )2(1q)2(1q)2 a12q n0SnSn2 Sn21原不等式成立 .错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q 1 的情况 .log 1Snlog 1Sn2正解 ：欲证22 log 1Sn 122只需证 log 1Snlog 1Sn 2 2 log 1Sn122

14、2即证： log 1 (SnSn2 ) log 1Sn2122由对数函数的单调性，只需证(SnSn 2 ) Sn21由已知数列an 是由正数组成的等比数列，q >0, a10 .若 q1,则 Sn Sn 2 Sn2 1 na1 (n2)a1( n1)a1 2 a12 0；若 q1,Sn Sn2 S21 a12 (1qn )(1 q n 2 )a12 (1q n 1 ) 2n(1q) 2(1q) 2 a12 q n0SnSn 2 Sn21原不等式成立 .例 4求数列 11 , 14 ,17 , 110 ,1(3n2) ,的前 n 项和。aa 2a 3a n 11解：设数列的通项为an，前

15、n 项和为 Sn，则an(3n2)a n 1Sn(1111(3n2)aa2an 1 ) 1 4 7当 a1时， Snn(13n2)n3n 2n2211(13n2)na n1(3n1)n当 a1时， Sna n112ana n 12a例 5求数列6,6,6,61),前 n 项和1 223 34n(n解：设数列的通项为b ，则 bn11)6(nn(n1)nn 1Snb1b2bn111116(1)()()223nn 16(11)6nn1n 1例 6设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn( an1) 2 (n N) ，2求数列 an 的前 n 项和解：取 n =1，则 a1( a121)2a11又由 Snn(a1an )可得： n(a1an )( an1) 2222an1( n N * )an2n 1Sn 135(2n1) n2 例 7 大楼共 n 层，现每层指定一人， 共 n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则S a(1 2k 1) 01 2( nk)a k2(n 1) kn2n 2当 n 为奇数时，取 kn12S 达到最小值当 n 为偶数时，取 kn 或 n 2S 达到最大值22四、典型习题导练3已知数列 an 中， Sn 是