为外界作用力

1、u为外界作用力；x为小车位移；a为摆杆与铅垂方向的夹角；O、G分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；M为小车的质量； m为摆杆的质量；J为摆杆绕G的转动惯量；l为O到摆杆质心的距离，L为摆杆的长度；f0为小车与导轨间的滑动摩擦系数，f1为摆杆绕 O转动的摩擦阻力矩系数。M =1.3282 kgm =0.1870kg2g = 9.8m/ s. 2J = 0.004824kg ml =0.226mf0 -22.9147N s/mf1 =0.0070556N s/m010J ml % (M m)J Mml2 0 mf(M m)J Mml222m gl(M m)J Mml20(M m)mgl(M

2、m)J Mml2m1fl(M m) J Mml21(M mf(M m) J Mml2x)0J ml22(M m)J Mml20ml2(M +m)J +Mml20 1把值代入状态空间模型得到状态方程和输出方程为:X = Ax Bu y =Cx Du0100%0-16.47-0.8754-0.01491A 00019-48.4331.380.5347,00.7189 B =000MATLA翼序代码如下：M=1.3282;m=0.1870;g=9.8;j=0.004824;1=0.226;f0=22.9147;f1=0.0070556;a=(M+m)*j+M*m*l*l;a22=-(j+m*l*l)

3、*f0/a;a23=-m*m*g*l*l/a;a24=-m*l*f1/a;a42=-m*l*f0/a;a43=-(M+m)*m*g*l/a;a44=-(M+m)*f1/a;a43=(M+m)*m*g*l/a;A=0 1 0 0;0 a22 a23 a24;0 0 0 1;0 a42 a43 a44;f12=(j+m*l*l)/a;f14=-m*l/a;B=0;f12;0;f14;B=0;f12;0;f14;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;检验系统的可控性和可观测性：由秩判据：1 .线性定常系统X = Ax + Bu,x(0) = %,t20完全可控的充分必要条件是:rank (

4、M ) = nM = B AB HI AnBl其中，n为矩阵的维数； M称为系统的可控性判别阵。2 .线性定常系统x = Ax + Bu,x(0) =X0,t0完全可观测的充分必要条件是:rank N = n一 C1CA其中，n为矩阵的维数；N称为系统的可控性判别阵。利用以上秩判据:1.把A B代入，取n =4得到该系统的可控性判别阵为:M =1.0e 004*0.0197-0.32230.0524-1.08768 j00.000100.00020.001-0.0012-0.0002-0.0034-0.00120.0197-0.00340.0524rank (M ) = 4所以系统完全可控。2

5、.把A C代入，取n =4得到该系统的可控性判别阵为:N =q.0000000、001.0000001.0000000001.00000-16.4741-0.8754-0.01490-48.432631.3848-0.53470272.118313.9532-0.6217t - t0则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。渐近稳定性若系统的平衡状态Xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有里卜(t；Xo,t0Xe| =0则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从$( 6 )出发的轨迹不仅不会超出S( 3),且当tTo时收敛于Xe,显见经典控制理论中的稳定性定义与此处的渐近稳定性对应。对于严

6、格的线性系统，如果它是稳定的，则必定是大范围稳定的。线性定常系统的特征值判据定理：对于线性定常系统 X = Ax,x(0) =x0,t 0,有1) .系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下的稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根.o2) .系统的唯一平衡状态 =0是渐近稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有负实部对于该系统的状态矩阵 A ,01oo0 -16.47 -0.8754 -0.01491 A =0001 -48.4331.38-0.5347,它的特征值为：1-02 V76.3392 3 =一6.1957 4 =5.

7、5262由于九4 = 5.52620,所以该系统在李雅普诺夫意义下不是稳定的。MATLA翼序代码如下：V,T = eig(A);T程序运行结果为：T =00000 -16.33920000-6.195700005.5262状态反馈与极点配置 对线性系统X = Ax Bu y = Cx Du 它的线性定常状态反馈控制律，具有下列形式：u = Kx Gv(1)(2)其中，K w R处称为状态增益阵；vw Rp为外部输入信号；G w R5p为外部输入矩阵。 系统（1）在状态控制律（2）的作用下闭环系统为：IX = AcX BcUy uCcX DcU其中:Ac = a BK,Bc = BGCc =C

8、DK,Dc = DG cc(3)注意到，开环系统（1）和闭环系统（3）的极点分别为tr（A）和仃（A+BK ）,所以状态反馈可以改变系统的极点集。状态反馈的性质和求解方法命题1,当p = r ,且G非奇异时，状态反馈律保持系统的能控性不变命题2,定常线性系统可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全可控单输入系统状态反馈极点配置的求解方法* * . * 1 儿，,川，除，确定1xn的反馈增益矩阵k,使成立九（A + bk九i ,i =1,2,|,n。算法：第一步：计算 A的特征多项式，即det sI -A 二sn an,sn| a1s a0. * - * -* I% ,%,IIL%,所决定的

9、多项式，即a s)： is - , HI sf =sn , ansn，III a1s a0第三步：计算% - a。 a -a1|l|第四步：计算变换矩阵:P = Anb m Ab bHI an1第五步：求Q二P第六步：所求的增益矩阵为：k = kQ。在Matlab中可以用指令对于该系统，我们已知它是完全能控的，故可以自由的配置极点，为了使系统具有良好的性能，我们需要合理的选择它的主导极点。系统应满足的性能指标：在系统超调量仃% 5%的情况下，调整时间ts 1s,为使校正后系统满足性能指标要求,并具有工程上的最优参数,取阻尼系数= 0.7071,根据标准二阶系统的指标确定一对主导极点: 在。 =6（工100%=4.33%M5% ,取 ts =等=1sWnwn =4.9505则特征多项式为：s2 7s 24.5075 = 0所以它的主导极点为：- 二 -3.500 3.5011i-2 =-3.500-3.5011然后将另外两个非主导极点配置在远离主导极点的地方，取另外两个极点为:3 = -134 - -18利用Matlab提供的函数placet A,B,P )求得状态反馈增益矩阵：k - -276.8656 3.8430 -45.2606 -8.6243MATLA翼序代码如下：p=-3.5+3.