二阶导数意义

1、二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零 时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一 阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。、用二阶导数判断极大值或极小值定理设 f（X）在 X。二阶可导，且 f（X。） 0, f（X。） 0若f（X。）0 ,则f（X）在X。取得极大值；若f（X。）。，则f（x）在X。取得极小值.一、 .1 . o例 试问a为何值时，函数f（X） asinx xsin3x在

2、X 一处取得极33值？它是极大值还是极小值？求此极值.解 f (x) acosX cos3xa由假设知f （/）。，从而有- 132又当a 2时，f(X)2sin x 3sin3x,且f(3),所以f(X)2sin xsin3x在x 处取 33,得极大值，且极大值f(R石.3例求函数f (x) x3 3x2 9x 5的极大值 与极小值.解 "*)在2,4上连续，可导.令f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0,得x 1和x 3,思考： f(x)在x 1取得极大还是极小值？在x 3取得极大还是极小值?f '(x) 6x 6-1代入二阶导数表达式为-12, f(x

3、)在x 1取得极大值3代入二阶导数表达式12,在x 3取得极小值三、函数图像凹凸定理若f(x)在(a,b)内二阶可导，则曲线y f(x)在(a,b)内的图像是凹曲线的充要条件是f (x)0 , x (a,b).曲线y f(x)在(a, b)内的图像是凸曲线的充要条件是f (x)0, x (a,b)。几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x) 0包成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数 图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。1 .曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大

4、致情况.但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形， 虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同.如图11中的曲线为向下凸,而图12中的曲线为向上凸.y+f(Xi) f(X2) f(Xi X2)2 I 2)定义4.5.1设y f (x)在(a,b)内可导，若曲线yf(x)位于其每点处切线的上方，则称它为在(a,b)内下凸(或上凹)；若曲线y f(x)位于其每点处切线的下方，则称它在(a,b)内上凸(或下凹).相应地，也称函数y f (x)分别为(a,b)内 的:E凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数).从图1 1和图12明显看出，下凸曲线的斜率tan f (x)(其中为切 线

5、的倾角)随着x的增大而增大，即f (x)为单增函数；上凸曲线斜率f (x)随着x的增大而减小，也就是说，f (x)为单减函数.但f (x)的单调性可由二阶导数f (x)来判定，因此有下述定理.定理4.5.1若f(x)在(a,b)内二阶可导， 则曲线y f(x)在(a,b)内下凸(凹函数)的充 要条件是f (x)0 x (a,b).例1讨论高斯曲线2.、e x的凸性.22(2x2 1)e x .所以当2x21.、1 _或x 时y 0 ;22当2x21i 一 .0 ,即当1x T时y 0.2. 2因此在区间1,111, 一，京与应,)内曲线下凸；在区后N内曲线上凸.四川高考数学2006理22压轴题22,已知函数f (x) xa 1nx，证明f(x)的导函数，(x)对于任意两个 不相等的正数 xi, x2,当a 0时，有f(Xi) f(X2)f(xix222证法一：由 f(x) X a1nx xf(Xi) f(x2)i / 22二(XIX22L)X1x2a(ln x1In x2)212=2(xiX22)XiX2X1X2alnf(x殳）XiX2、2X1X2Xi X2 aln2比较大小，会算吗?二