三面角是立体几何的基本概念之一

1、第三讲 三面角三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元素。与平面几何中有关三角形的正、余弦定理类似，有关三面角的正、余弦定理是解三面角的重要依据。熟练掌握解三面角的方法，可以较大地提高立体几何的解题能力。一、三面角和补三面角有公共端点且不共面的三条射线以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形叫三面角。图21中，点S为三面角SABC的顶点。射线SA、SB、SC为三面角SABC的三条棱，它们所对的BSC、CSA、ASB为三面角SABC的三个面角。通常可用a、b、c表示。以SA、SB、SC为棱的二面角BSAC、CSBA、ASCB可用A、B、C来图22表示。从三面角SABC的顶点S出发，作三

2、条射线SA0、SB0、SC0分别垂直于平面BSC、CSA、ASB，并与射线SA、SB、SC分别在该平面的同侧，则三面角SA0B0C0称为三面角SABC的补三面角。（图22）易证，三面角SABC与三面角SA0B0C0互补。互补的两个三面角有如下重要性质：定理1 就度量业讲，一个三面角的某一面角与其补图23三面角相对应的二面角互补。略证：图23中设平面为三面角SABC中面角BSC所在平面，DSE为其补三面角SA0B0C0中相对应的二面角B0SA0C0的平面角，则显然SD、SE、SB、SC四射线同在平面内。由SC平面B0SA0且SD在平面B0SA0内，可得SCSD。同理SBSE。易知DSE与BSC互

3、补。二、三面角的余弦定理和正弦定理下述关于二面角的有关计算公式是推导三面角余弦、正弦定理的基础，同时它们又往往在解题过程中起较大作用。图24中，二面角l的大小为，A，B，AA1l于A1，BB1l于B1，AO于O。设|AB|=d。|AA1|=a，|BB1|=b，|A1B1|=m 则|AO|=asin 公式 公式证明略定理2 三面角面角的余弦等于其他两个面角的余弦的乘积加上它们的正弦及它们所夹二面角的连乘积。分析 不失一般性，对三面角SABC，只须证明证明时利用上述公式及三角形的余弦定理即可。证明 图25中，设三面角SABC的面角b及c均为锐角。在SB、SC上分别取|SB1|=|SC1|=1。作B

4、1B2SA于B2，C1C2SA于C2，则|B1B2|=sinC，|C1C2|=sinb二面角BSAC中，|B1C1|2=|B1B2|2+|C1C2|2+|B2C2|22|B1B2|·|C1C2|·cosA=B1SC1中，因此经整理即得 至于b、c大小的其他情况，请读者自证。定理3 三面角中任一二面角的余弦等于其余两个二面角的余弦乘积的相反数加上此两个二面角的正弦及其所夹面角的余弦的连乘积。已知 三面角SABC求证 证明 取三面角SABC的补三面角SA0B0C0，由定理2可知由定理1，因此，经整理可得 定理4 三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比。分析 定理4的证法

5、很多，这里可用利用公式来证明。证明 设三面角SABC，在SB上任取一点B1，作B1DSA于D，B1ESC于E，见图26。令B1到平面ASC的距离为d，由公式.在二面角BSAC中,d=|B1D|·sinA=|SB1|·sinC·sinA在二面角BSCA中,因此 即同理 因此定理2和定理3分别称为三面角第一余弦定理和第二余弦定理，定理4称为三面角正弦定理。与平面几何中解三角形的各种基本情况类似，恰当运用三面角的正、余弦定理，可以解有关三面角的各种情况。如果我们把三面角的面角称为“边”，二面角称为“解”，那末就可以用三角形的语言来叙述三面角的各种情况。如三面角有三条边及

6、三个角共六个基本元素，有关解三面角的基本情况也可以归纳为诸如“两角夹一边”、“两边夹一角”、“三边”，“三角”等，这里不一一列举。另外，结合有关三角函数公式，可以推出很多有关三面角各基本元素之间的关系式。例1 求证：三面角SABC中 证明 由三面角第一余弦定理可得 因此 （1） （2）由（1）及（2）即证本式中适当换字母，即可得到另外五个公式。例2 求证三面角SABC中。分析 取三面角SABC的补三面角SA0B0C0将例1中的公式应用于三面角SA0B0C0，再应用定理1即可。证明 取三面角SABC的补三面角SA0B0C0 则由得因此例3 求证三面角SABC中 分析 利用正弦定理及例1的公式证明 由例1 两边同除得 由正弦定理知 代入得因此 即例4 已知，三面角SABC中。分析 本题为已知“边、角、边”解三面角型，可采用第一余弦定理。解 由得 注意 三面角的三个面角之和不一定等于180°，因此不能误用解平面几何中三角形时三内角之和为180°来求第三个面角，本题中的面角C显然大于45°。由此可知，尽管三面角与三角形有许多类似之处，但它们之间又有许多完全不同的性质。例如正弦