初升高精品教材第8讲绝对值和绝对值不等式的解法

1、第8讲绝对值和绝对值不等式的解法绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值 仍是零.即a, a 0,I1al = 0, a - 0,-a, a :二 0.绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.8.1 绝对值的概念绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值 仍是零.即a, a 0,|a |= 0, a =0,-a, a :二 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：a

2、-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.8.1.1 绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是 2的点表示的数是()A. 2 B. 2C. -2D. 4解：A【例2】已知：abcwQ且m =同+回+忖，当a, b, c取不同值时，M有种不同可能.a b c当a、b、c都是正数时，M =;当a、b、c中有一个负数时，则 M =;当a、b、c中有2个负数时，则M =;当a、b、c都是负数时，M= .解：3; 1, -1 , 4.变式练习1:已知a,b,c是非零整数，且a+b+c=0,求亘+2+坐的值a b| |c abc解：由于a+b+c =0 ,且a,b,c是非零整数，则a, b, c 一正二负或一

3、负二正，(1)当 a , b , c一正二负时，不妨设 a 0, b 0, c0 ,原式=1 -1 -1 +1 =0 ;(2)当 a , b , c一负二正时，不妨设 a0, c0 ,原式=-1 +1 +1 -1 =0 . 原式=0 .【例 3】若 a-4| = -b+2 ,则 a+b=解：a -4 =-|b+21n |a 一4|+|b+2|=03 a=4,b = 2,所以 a+b=2 .结论：绝对值具有非负性，即若同+忖+内=0,则必有a=0, b = 0, c=0.2变式练习：(a+1 j +b 2| =0 , a=； b=解：a =1,b =2 .8.1.2 零点分段法去绝对值对于绝对值

4、，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤: 找零点一分区间一定符号一去绝对值符号.【例4】阅读下列材料并解决相关问题：_Lx x 0我们知道卜|=10(x=0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，-x(x 0 )如化简代数式x 1| ：|x-2解,令x+1 =0和x2=0 ,分别求得x=1,x=2当 xW-1 时，原式=(x+1 )-(x-2)=-2x+1当 x2 时，原式=x+1+x 2=2x1-2x 1 x - -1综上讨论，原式 =3(-1 ：: x ：: 22x -1 x -2变式练习(1)化简代数式|x+2|+|x-4(2)化简代数式

5、y=x1十2x 2解：令x+2=0和x-4=0,分别求得x=-2; x=4.当 xW-2 时，原式=_(x+2)_(x4 )=2x + 2;当-2 x 4 时，原式=x+2+x4 =2x2 .工 2x 2 x -2综上讨论，原式 =6 -2 ：x 4.2x -2 x -4(2)：当 xW1 时，y =5-3x ;当 1cx 2 时，y =3 x ;当 x 之2 时，y=3x5.5 -3x(x 1 )综上讨论，原式=43x1 x 2 . I f 3x -5 x =25.1.3 绝对值函数常见的绝对值函数：y=|x|=1x, x0,其图象是x, x 1 时，y=x-1.1(3)图像如右图说明：此题

6、还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1. (1)画出y = x2的图像;(2)画出y=2|x|的图像【例6】画出y = x -1| +2 x -2的图象解：(1)关键点是x=1和x=2(2)去绝对值当 xW1 时，y=53x;当 1 x 2 时，y =3 x ;当 x 至2 时，y=3x5.(3)图象如右图所示.【例7】 画出函数y =_x2 +2忸+3的图像解：(1)关键点是x=0/十/4(2)去绝对值：当 x 之0 时，y = _x2 +2x +3 ;. / / - 2 ,，: 当 x0 时，y = c?2x+3(3)可作出图像如右图【例8】 画出函数y = x2

7、 3x+2的图像_2 /解：(1)关键点是x=1和x=2(2)去绝对值：1当 xWl 或 x 至2 时，y=x23x+2;1当 1x2 时，y=B2+3x_2_(3)可作出图像如右图8.2绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数 意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现 为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式.【例1】解不等式冈1.解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1,很容易知道到原点距离等于1的点有两个：-1和1,自然只有在 -1和1之间的点，到原点的距离才

8、小于1,所以x的解集是x | -1 x 1.结论：(1) |x| 0)的解集是x | -a x a(a 0)的解集是x| x a,如图 2.0 af 图1图2【例2】解不等式 x -2|1.解：法1:由题意，一1 x 2 1,解得1 x 3 ,法2：利用绝对值的几何意义。结论：(1) ax + b| 0) cax + bc(c0) ax+b c或 ax + b 2; (2) 3-2x|2 或 2x5 或 x，,22(2)由题意，一53 2x5,解得一1ExE4,变式练习2：解不等式组|2 -x -4 2解：由 2x 4E0,得 YM2xE4,解得一2MxE6,42由 5 1+3x 2,得 1+

9、3x c3,即-31+3x3,解得一,xf ,33,L 42由得，4x2,33变式练习3：解不等式1W2x-1|5.解：方法一：由 2x1 5,解得一2x3;由 1E 2x1 得，xW0 或 xA1,联立得2x0或1 Wx3,方法二：1E|2x1 5u 1 E2x1 5或52x1 工1,解得一2 x 0或1 E x 2x+1解：方法一：(零点分段法)311(1)当x2x+1 ,解得x 一,所以x2x + 1 ,解得x2,所以x2；41综上所述，原不等式的解集为 x|x2x+1 4x32x + 1 或 4x3(2x + 1),解得 x2,3结论：(1) ax+b|f(x)u f (x) ax+

10、b f (x).(2) ax+bf(x)u ax + b a f (x)或 ax+b c f (x).练习4:解不等式:4x-3|x-1解：法1:零点分段法去绝对值法2:同时平方法3:利用绝对值几何意义例5解不等式：x+2|+|x-1 5方法1 ：利用零点分区间法(推荐)一 x -2一 一 一解：当x2时，得，解得：一3x2;-(x-1)-(x 2) :： 5.- -2x 1时，得W,解得：1 x 2 .(x -1) (x 2) ： 5综上，原不等式的解集为x - 3 x :二2f.方法2:利用绝对值的几何意义解：x +2| +|x -1 5的几何意义是数轴上的点 x至U 1和-2的距离之和小

11、于 5的点所对应的取值范围， 由数轴可知，1一(-2)=35,易知当x = 3或x = 2时，x + 2|+|x 1| =5 ,所以x位于一3和2之间(不 含端点)，所以3 x 2 ,所以原不等式的解集为 4 - 3 x 变式练习1.解不等式：x+3|-|x-2|4解：x|x 32. 2x+3| + |2x-2|8B： x| - xx+3解：当xc1时，原不等式变为：1x+2xx + 3,解得：xx+3,无解当 x2 时，得 x-1+x-2x+3,解得：x6.综上，原不等式的解集为 “|乂6.【例71解关于x的不等式2x+3 -1a解：原不等式变为 2x+3a+1(1)当aw1时，a+10,原

12、不等式无解；aa(2)当 a 1 时，-(a+1)2x+3a+1,解得上2 xa恒成立，求a的范围.若不等式2x+1|+3 x+aE1有解，求a的范围.量课时作业1 .已知 a -6,化简 6-Ja2p#()A. 6 - aB. - a - 6C. a 6D. a-62、已知(x2)2 +2y-1| = 0,则 x+2y=.3 .不等式x十2 3的解是,不等式8 -3x| 0的解是4 .根据数轴表示a,b,c三数的点的位置，化简 a + b|+ |a+c|bc =.*Ac b 0 a5 .画出y =|2x+3的图像6 .先化简x十1+|x+2 ,然后画出y = x+1|+|x + 2的图象，并y求出的范围。8 .解不等式3 x-2 1+2x11.解不等式：x-1|+|x-2 x + 2答案3