一轮复习立体几何-垂直

1、 E F A C D B E D A 1C 1A B 1BC第三十四课-垂直问题一、基础知识:1.线线垂直的定义:两条直线成直角(包括相交和异面2.线面垂直的定义:如果一条直线L 和一个平面垂直,那么L 和平面内的任意一条直线都垂直。(线面垂直线线垂直3.线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面:,P b a b a = l b l a l ,.4. 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。( a ,b a b 直线和平面垂直时,那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线(b a b a ,5.面与面垂直的定义

2、:两个平面所成的二面角为直角6.面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂,7.面面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面二、基本方法:8.证明直线与直线垂直的方法:(1定义(即两直线成直角(2线面垂直的性质:b a b a ,(3若两直线共面,可用勾股定理或等腰三角形的三线合一(4c b c a b a ,/9.证明直线与平面垂直的方法:(1定义(直线a 与平面内的任意直线都垂直(2判定定理:,P b a b a = l b l a l ,.(3面与面垂直的性质:=a b a a b ,(4b a b a ,/(

3、5a a ,/10.证明平面与平面垂直的方法:(1定义:两平面成直二面角(2判定定理:a a , 四、特别提示:11.在正方形ABCD 中,E,F 是中点则AE DF 12.在正三棱锥ABCD 中,对棱垂直,如AB CD,AC BD,AD BC13.在正三棱柱中,底面三角形的中线与所对侧面垂直.如BD 面ACC 1A 1,CE 面ABB 1A 114.过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,过一点有且只有一个平面垂直于已知直线15.证明垂直问题时,最实质的是线与线的垂直三、练习题:1.对于直线m、n和平面、,的一个充分条件是(A、mn,m,nB、mn,=m,nC、mn,n,mD、mn,n,m2.

4、已知a,b,c是直线,是平面,下列条件中,能得出直线a平面的是(A. ac,ab,其中b,cB. ab,bC.,aD. ab,b3.直角ABC的斜边BC在平面内,顶点A在平面外,则ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边BC组成的图形只能是(A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形4.已知P为RtABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,D为斜边AB的中点,则直线PD与平面ABC.A.垂直B. 斜交C. 成600角D. 与两直角边长有关5.设a、b是异面直线,给出下列命题:经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b;经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b;存在分别

5、经过直线a和b的两个平行平面;存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的命题为6.已知平面平面,m是内一条直线,n是内一条直线,且mn,那么,:m;:n;:m或n;:m且n。这四个结论中,正确的是7.如果直线l平面,若直线ml,则m;若m,则ml;若m,则ml;若ml,则m,上述判断正确的是8.如图,ABCD 为直角梯形,DAB=ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA平面ABCD。PA=a。(1求证:PCCD。(2求点B到直线PC的距离。 B1C1ABC中,底面是等腰三角形,9.在斜三棱柱A AB=AC,侧面BB1C1C底面ABC(1若D是BC的中点,求证ADCC

6、1;(2过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证截面MBC1侧面BB1C1C;10.如图,在正三棱锥ABCD中,BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H(1判定四边形EFGH的形状,并说明理由(2设P是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC平面EFGH,请给出证明 11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是直角三角形,ABC=90°, 2AB=BC=BB1=a,且A1CAC1=D,BC1B1C=E,截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证: (1A1B1平面BB1

7、C1C;(2A1CBC1;(3DE平面BB1C1C。12.点为所在平面外的一点,点为点在平面内的射影,若 ,求证:. 13.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,F是AC,BD的交点,求证: . 14.如图所示,已知PA矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1求证:MNCD; (2若PDA=45°求证:MN平面PCD. 15. 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点,(1求证:BG平面PAD;(2求证:ADPB;(3若

8、E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论. 16.在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱P A底面ABCD。(1当a为何值时,BD平面P AC?试证明你的结论。(2当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PMDM。(3若在BC边上至少存在一点M,使PMDM,求a的取值范围。 练习题答案1.对于直线m、n和平面、,的一个充分条件是( CA、mn,m,nB、mn,=m,nC、mn,n,mD、mn,n,m2.已知a,b,c是直线,是平面,下列条件中,能得出直线a平面的是(DA. ac,ab,其中b,cB. ab,bC.,aD

9、. ab,b3.直角ABC的斜边BC在平面内,顶点A在平面外,则ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边BC组成的图形只能是(DA.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形4.已知P为RtABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,D为斜边AB的中点,则直线PD与平面ABC. (AA.垂直B. 斜交C. 成600角D. 与两直角边长有关5.设a、b是异面直线,给出下列命题:经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b;经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b;存在分别经过直线a和b的两个平行平面;存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的命题为6.已知平面平面,m

10、是内一条直线,n是内一条直线,且mn,那么,:m;:n;:m或n;:m且n。这四个结论中,正确的是7.如果直线l平面,若直线ml,则m;若m,则ml;若m,则ml;若ml,则m,上述判断正确的是8.如图,ABCD 为直角梯形,DAB=ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA平面ABCD。PA=a。(1求证:PCCD。(2求点B到直线PC的距离。 (1证明:取AD的中点E,连AC、CE,则ABCE为正方形,CED为等腰直角三角形,ACCD,PA平面ABCD,AC为PC在平面ABCD上的射影,PCCD(2解:连BE,交AC于O,则BEAC,又BEPA,ACPA= A,BE平面PA

11、C过O作OHPC于H,则BHPC,PA=a,AC=2a,PC=3a, OH=a a a a 663221=,BO=22a ,BH=a OH BO 3622=+即为所求。9.在斜三棱柱A 1B 1C 1ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C 底面ABC (1若D 是BC 的中点,求证 AD CC 1;(2过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1,求证 截面MBC 1侧面BB 1C 1C ;(3AM =MA 1是截面MBC 1平面BB 1C 1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由。命题意图:本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。

12、知识依托:线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分析:(3的结论在证必要性时,辅助线要重新作出。技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于对题目中条件的思考与分析,掌握做此类题目的一般技巧与方法,以及如何巧妙地作辅助线。(1证明:AB =AC ,D 是BC 的中点,AD BC底面ABC 侧面BB 1C 1C ,AD 侧面BB 1C 1CAD CC 1(2证明:延长B 1A 1与BM 交于N ,连结C 1NAM =MA 1,NA 1=A 1B 1A 1B 1=A 1C 1,A 1C 1=A 1N =A 1B 1C 1N C 1B 1底面NB 1C 1侧面BB 1C 1C ,C 1N 侧面BB 1C

13、 1C截面C 1NB 侧面BB 1C 1C截面MBC 1侧面BB 1C 1C (3解:结论是肯定的,充分性已由(2证明,下面证必要性。过M 作ME BC 1于E ,截面MBC 1侧面BB 1C 1CME 侧面BB 1C 1C ,又AD 侧面BB 1C 1CME AD ,M 、E 、D 、A 共面AM 侧面BB 1C 1C ,AM DECC 1AD ,DE CC 1D 是BC 的中点,E 是BC 1的中点 AM =DE =21211=CC AA 1, AM =MA 1即1MA AM =是截面C C BB MBC 111平面的充要条件10.如图,在正三棱锥A BCD 中,BAC =30°

14、,AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H(1判定四边形EFGH 的形状,并说明理由(2设P 是棱AD 上的点,当AP 为何值时,平面PBC 平面EFGH ,请给出证明 (1证明:AD/面EFGH,面ACD面EFGH =HG ,AD 面ACD AD/HG.同理EF HG ,EFGH 是平行四边形A BCD 是正三棱锥,A 在底面上的射影O 是BCD 的中心,DO BC ,AD BC ,HG EH ,四边形EFGH 是矩形(2作CP AD 于P 点,连结BP ,AD BC ,AD 面BCPHG AD ,HG 面BCP ,HG

15、面EFGH 面BCP 面EFGH , 在Rt APC 中,CAP =30°,AC=AB=a , AP =23a11.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面ABC 是直角三角形,ABC =90°,2AB=BC=BB 1=a ,且A 1CAC 1=D ,BC 1B 1C=E ,截面ABC 1与截面A 1B 1C 交于DE 。求证: (1A 1B 1平面BB 1C 1C ;(2A 1C BC 1;(3DE 平面BB 1C 1C 。证明:(1三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱, 侧面与底面垂直,即平面A 1B 1C 1平面BB 1C 1C ,又AB BC ,A

16、1B 1B 1C 1从而A 1B 1平面BB 1C 1C 。(2由题设可知四边形BB 1C 1C 为正方形,BC 1B 1C ,而 A1B1平面 BB1C1C， A1C 在平面 BB1C1C 上的射影是 B1C， 由三垂线定理得 A1CBC1 （3）直三棱柱的侧面均为矩形， 而 D、E 分别为所在侧面对角线的交点， D 为 A1C 的中点，E 为 B1C 的中点， DEA1B1， 而由（1）知 A1B1平面 BB1C1C， DE平面 BB1C1C。 12.点 12. 为 所在平面外的一点，点 ，求证： 为点 在平面 内的射影，若 证明： 证明：连结 同理 又 为 ， ，且 ， （三垂线定理的逆

17、定理） 的垂心， ， （三垂线定理） 中， 是 的中点， 是 的交点， ， 13.已知：如图，在正方体 13. 求证： 证明： 证明： 又 取 为 在面 中点 ， ，连结 ， 是 在面 上的射影 ， ， 上的射影， 又正方形 ， 中， 分别为 的中点， （三垂线定理）又 ， 14.如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点. 14. （1）求证：MNCD；（2）若PDA=45°求证：MN平面 PCD. 证明 （1）连接 AC，AN，BN，PA平面 ABCD，PAAC， 在 RtPAC 中，N 为 PC 中点，AN= PC. PA平面 ABCD，P

18、ABC，又 BCAB，PAAB=A，BC平面 PAB，BCPB， 从而在 RtPBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线，BN= PC.AN=BN，ABN 为等腰三 角形， 又 M 为底边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD. （2）连接 PM、CM,PDA=45°，PAAD，AP=AD.四边形 ABCD 为矩形. AD=BC，PA=BC.又M 为 AB 的中点，AM=BM. 而PAM=CBM=90°,PM=CM.又 N 为 PC 的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PC CD=C, MN平面 PCD. 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是DAB=60

19、6;且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 15. 如图所示， 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，若 G 为 AD 边的中点， （1）求证：BG平面 PAD； （2）求证：ADPB； （3）若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD，并证明你 的结论. （1）证明 在菱形 ABCD 中，DAB=60°，G 为 AD 的中点，所以 BGAD， 证明 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，所以 BG平面 PAD. （2）证明 连接 PG，因为PAD 为正三角形， G 为 AD 的中点，得 PGAD， 证明 由（1）知 BGAD， PG 平面 PGB，BG 平面 PGB，PGBG=G， 所以 AD平面 PGB，因为 PB 平面 PGB，所以 ADPB. （3）解 当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD.证明如下：取 PC 的中点 F