四维几何基础知识一

1、本四维几何基础知识 系列文章一共有五章，分别为: 第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣，请在百度文库中查找在本系列文章中，有个非常重要的问题要说明，那就是“多胞体”这个名称用"夬（ju ® ”字暂代了，例如：五胞体 五体夬,正八胞体 正方夬,超球体 圆 夬.其原因已在前言中说明，在此不再重复.感谢您的关注，希望四维几何基础知识 系列文章能够为您的学业有所帮助.作者正 文四维几何基础知识（201802第一次更新）第一章名词术语和简单的夬名词术语在本章的开始，我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关

2、的 术语.首先介绍一下四维坐标系. /W车h / /毡 / / j / /0*X4*-图中有四个坐标轴，两两垂直，其中xyz轴是我们熟知的，在本文中以这三根轴 所代表的三维空间作为参照空间，简称“底空间”.以W轴作为第四维的方向，代表 第四维的空间，坐标轴已画出部分为轴的正方向，从原点O之后，未画出部分为轴 的负方向.本系列文章中设定的“底空间”指代平直的参照立体空间 O-XYZ.请大家注 意，这个简称会经常用到.本系列文章中设定的“底体”是指四维夬上与底空间最接近的体，其概念与正方体中的底面，正方形中的底边为类似.在本系列文章中，我们约定L表示线段长度，S表示面积,V表示体积,J表示夬 积.

3、在三维几何中，方形体通常有三个参数：长，宽，高，分别用字母a,b,h表示.在四 维几何中增加一个新的概念：“四维高“，用“叠"字代称,字母为d,寓意为无数个三维 物体在第四维方向上叠加，形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂 ，在 这里我们简单的理解成”正方夬的长，宽，高，叠”四个参数之一就可以了 .下面初步介绍几类简单的四维夬.一五体夬正式名称为“五胞体”，是四面体的类比.如何得到一个五体夬，有很多种方法，本 例用的是“中心牵引法”，为了解释这个方法，我们先看看从三角形得到四面体的过 程，下图一是一个四维坐标中的等边三角形./Y箱这个正三角形看上去很“歪"，比三维坐

4、标中的正三角形还要“歪"，我们要在二维平 面中表现四维图形，只能将图形尽量压缩.把正三角形的中心点连接三个顶点，得到三条线段，这就是要形成的四面体的另三 条棱.用一根线”系住”中心点，向上牵弓I,同时中间三条棱的一端也向上抬升（图二）.图,当牵引的距离为棱长的（，6）/3时，就得到了一个正四面体（图三）用同样的思路，我们将一个正四面体的中心，连接四个顶点，形成正五体夬的另四 条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.（图四）将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的（V10）Z4后，得到一个正五体夬.（图五）这个图是五个正四面体围合成一个五体夬，但这样挤在一起是很难看清楚的，可以 把它“炸开

5、”看看.（图六）这五个体全是正四面体，只是看上去有一些变形.蓝色的“底体”在O-XYZ立体 空间中，如果把这个空间看成我们生活的宇宙空间，另四个带绿棱的正四面体就在 我们“摸不着”的四维空间中.二 正方夬有了以上的经验，介绍正方夬的形成就容易多了 .先看一个四维坐标中的正方体.Y库由X库由将正方体原地复制，整体向第四维轴，即W轴正方向牵引，距离为一个棱长.（图八）把两个正方体的八个顶点，一一对应的连接起来，形成了六个正方体，这八个体围 合成一个正方夬.（图九）1图十炸开”看看.（图十）（图十）中的八个正方体，黑色的是底体（在xyz轴的体空间中）,和它在 W轴正方向 上的平行体，另六个彩色的侧体

6、分别处在 x,y,z轴方向上，正负方向各一个，它们都 处于 W轴正方向的四维空间中，紧靠着底空间，并且各有一个面，与底空间中的底 体连接.侧体可以看作是：正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中，六个面所形成的路径.三 圆夬我们先看看四维坐标中的球体，它看上去是个扁的，（图十一）,这是因为坐标的关系 它在平面显示时被压缩了.下女出N的现在我们把这个球体想象成无数个“球壳”，从大到小，一层层的套在一起，组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心，连带着这无数个球壳向 W轴正方向 牵引，在此过程中，球壳从大至小，逐层剥落.注意，剥落的过程不是匀速的，这个值 和sin的值有关系，而且这些球壳的面积有

7、一定量的拉伸（图十二）.当牵引的距离达到球的半径 R时，所有的球壳剥落完毕，最小的“球壳”，就是原来的 中心点，现在它移动了 R的距离.这些在W轴方向上，按大小顺序排列的无数个球壳，围合成了半个圆夬.用同样的方法，向W轴负方向牵引彳马到另半个圆夬.（图十三）W轴图十三X轴这个圆夬，看上去还是一个圆球，其实，不论圆周，圆面，圆球，还是圆夬，它们都是圆 的，画在纸上不会是其它形状，我们只能将它想象成无数个球体叠加，球半径由底 空间的最大圆球开始，向W轴方向以cos值减小.（图十四）图十四四 参数以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形，下面是它们相关的一些参数 正五体夬5体 10面10棱5顶点设棱

8、长为1:侧体高（，6）/3 叠（四维高）（，10）/4内切圆夬半径（，10）/20外接圆夬半径（V 10）/5夬积 J=（1/4）*d*V=（，5）/96其中d为叠（四维高）,V是底体的体积.正方夬8体 24面 32棱 16顶点设棱长为1：内切圆夬半径1/2外接圆夬半径为1夬积1对角体：1*1*（，2） 对角面:1*（，3） 对角线2 圆夬设半径为r.表体积 2( tt A 2)(r A3) 夬积 1/2 (兀 A 2)(r A 4)夬积公式夬积有两种计算方法J=d*V ; J=S1*S2具体用哪个公式，以所知道的条件来决定.五 例题例一:已知一等腰五体夬，它的底体为棱长为1的正四面体，它的外

9、接圆夬半径为2, 求此五体夬的夬积.（图十五）答：设底体的中心点为P,底体的一个顶点为O,在三维坐标中，我们可以计算得到 棱长为1的正四面体的体积为（,2）/12,计算得到OP的长度为（,6）/4.在等腰五体夬中，它的叠（四维高）d是经过外接圆夬夬心的，所以圆夬心C在叠d 上,CO为圆夬半径，CP，OP可求得CP=（，58）/4，所以此等腰五体夬的夬积：J=（1/4）d*V=（1/4） *（2+（，58）/4）*（，2）/12=（，2）/24+（ V29）/96例二：用牵引法的原理，验证圆夬的夬积公式.答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是（4/3）冗R 八3,在牵引的过程中，球半径逐渐变小，球半径r与牵引距离H的关系是:rA2+HA 2=RA2,其中R是最大球的半径，也是圆夬的半径.（