第8章多元函数微分法及其应用习题.

1、第八章多元函数微分法及其应用一、填空题g T1. 函数 二二工:,的定义域为；2.设'则.3.若对于任意给定的正数?，总存在一个正数时，有了(2)-虫£,则常数乂称为_；丄 limf(y) =4.设函数；=匚一-二T亠'，则 5 .函数-''-、'的定义域为；limC+-r =董tRy6. z - arcsin -7.函数的定义域为；lim /(")=8.则，km輕型9、”-1、：10.设-:'，且当“时，三:,则函数丁"为， 函数匚；e coslim；=M 1 + x+y 11 ；12. 若匕二则：；一; A/ _

2、13. 若函数：-叮，贝匚对的偏增量一厂 ；'；14设-:,''，则亠;15.设-：-'"，则-'I'=;16设 S ；K：±i-i，则：；17若函数门-汀，则当-丄时，函数的全增量二=；全微分一匚；18 利用全微分近似计算公式，可得.；dz dz19. 设_:，而二：汀：工，则丄；?-；dz _20. 设一''，其中具有一阶连续偏导数，则丘 ； dz _几；_ 产(y + z)du21 设-.,而m 仃:-，则；关于的一阶全导数.：为；dz _22. 已知_，其中为任意可微函数，贝U丘 ;In +才=arct

3、an -=23. 设二，则二 ;dz _24. 设二二二为由方程一匸二m 所确定的函数，则二 ；% _25. 设二二二为由方程一 - .'.所确定的函数，则 c;二；26. 椭球面'.-门在点处的切平面方程为；法线方程为；+ 才 +' =4屮27 .当Q > 0时，曲线2 +於二2ai在点斷仏保)处的切线方程为_;法平面方程为；28. 设旋转面'二一 L上某点二处的切平面为厂，若平面厂过曲线： x=i2ry=i，-J上对应于- I处的切线.，则平面匚的方程为；29. 向量场 D在点丁处的梯度汀员二 ；它与在点处沿的方向导数du二的关系式为；U(X,= H

4、H r、.、30. 已知场 ；-，则；沿场的梯度方向的方向导数为 ；du31设点的坐标为】：,匚二，贝厂；在 方向上，方向导数有最大值；在 方向上，方向导数有最小值；32. 函数/(xj)二 F + 2妙+2+4x+2y-5 在驻点 Mj-jl)处，川二九娅二_；丄一 ； _ 一疋；訐丄；由此可以断定函数在点处有值；33函数在区域：卜卜】上的最大值为；最小值为；22 込+匚134函数+"在条件二:.的极值为；2 2 235函数在条件"丨及二：匸 下的极值是；36 .抛物线丿-至U直线二-"的最短距离是；|L_ 二 137. 椭圆一 ： 上的点 处的法线与原点的距离

5、为最远；38. 函数了二广*'亠" 的定义域为；39. 曲面在点1 -处的切平面方程为；u-& sin- 1 = 设1，则"忌-；40. 函数乜-二匸在点二1. 处沿点指向- - -1方向的方向导数为_ 141. 设,；具有二阶连续偏导数，则皿厂 ;42. 设m：,则；43. 设f ；工可导，则广;邑二45 .设三；二n，则皿L ；二、单项选择题1. 函数-亡（其中.）,则 m（）（尙 21n（肩-血 Wx-y） （知-心）（°） 21n（r）x+ ylim-二x - xv+y2. （）0等于1 小等于0等于 I 1不存在3.:3"6不存

6、在、工lim “ jtq x + y4.1-：，:.0.1 不存在1匕5. ； 1( )0(飢怜©106设函数洽(5。)o ,(x»=(oe)，则(lim/(x.)极限存在，但函数在点"宀；处不连续;hm/(xj)(5) 极限二在，且函数点.-处连续;lim/fc/)极限不存在，故函数二.在点处不连续;-极限不存在，但函数一t在点"处连续；7 函数二*_ r 工在点 处()。无定义=:无极限-1有极限但不连续 '连续8函数 mi在点'的偏导数存在是 mi在该点连续的()充分但不必要的条件 L：'必要但不充分的条件充分必要条件：，:

7、既不是充分条件也不是必要条件9.设-；则丄（）。/（x0 +A兀凡+$）-了（州必）畑+心必）-/（可必）烛忑烛Az/（Ao +山 J）- /（州必）/（A0 + 心必）-/（A0 Jq）（Q 忑（D）烛AzAx10.设E ®=0，则伽）=（）-012二不存在11.设 y j1,则二亠（）1二12 1-0（0,0）-（）dti12.设-0不存在I -:：1畑）“13.设 sin x2yrxy H 0o ，砂二o，则fM=（）-012二不存在14.设-是由方程厂二 二丁二I所确定的隐函数，其中1 1 是变量T的任意可微函数，为常数，则必有（）。15 .设二，贝 U 丨（）。厂 f+b

8、+' = 616. 曲线''-在点二】丄处的切线一定平行于（）。二t平面平面二平面 一平面二；匸17. 曲面Jm-l；在点；丄：处的切平面方程为（）。U） 2x+y-4=0 2x+j/-z-4 = 0（Qx + 2j-4=0（Z） 2x+-5=018. 曲线匸匸与平面'-"在点1 -二处的夹角为（）。开 开 开 如6 T19. 曲面"在点r J处的切平面方程为（）。 4x+y = 0 （月）4x+j/-4z = 0 （0） 4誥+y+z 二 0（D） x+4y+z = 020. 曲面二的切平面与三个坐标所围成的四面体的体积（）3 39 3戸如

9、（0产9）6/21. 曲面 '：< -_上点.-二处的法线方程是（）x-2 _ y-2 _z-3x-2 _ y-2 _z-3TF=TT = _ p = x-2 _ y-2 _z-3x-2 _ y-2 z-322. 曲线3 = 4在点 (2Q处的切线与横轴的正向所成的角度是()。开 开 开 开22Is23. 平面 2x+3jf-z = A是曲面z = 2?+3j2在点2r2r2处的切平面，则2的值是()04 5124. 有数量场点U，则丄匚二 ()。 i+j 2i+j(C)i-j(D)2i-j25.设函数：-uc在点'二 的某邻域内可微分，为基本单位向量，则函数"

10、讥硼2)在点二匸处的梯度少曲()。du du du- du Su r,壮+F> nv I + j£（虫）办砂炭（B） dxdz汎亠d2u亠du -（D）沪+萌沪力26. 设函数“ 丁二；C在点'：<的某邻域内可微分，贝U函数在该点沿方向 导数'二：；二；（其中二为.'的方向角）的方向导数为（）。du du du 刼-別牛,.+ 4 , I H J 4 X（虫）办砂炭（5）办 龛护匕. 3如护 3盘亠du -（0沪心+沪哪+乔呵（D）訝 V7+27. 设函数国兀&r：在点I. 1 . 1处可微，且.1“：！='：!,；，则函数&quo

11、t;畑） 在点；t '- . 1处（）。-'-必有极值，可能是极大，也可能是极小可能有极值，也可能没有极值'-必有极大值.“必有极小值0 |1 1|28. 记二I - _厂- _，那么当函数二”在 点1 . 1处满足（）条件时，函数匚二“在点'. 1 . 1处取得极大值。 Bi-AC>OJ>O（B） B2-AC>0,A<0(C)B2-AC<0jA>0 (D) B2-AC<0,虫 <0开29. 函数二二 m 匸 满足_的条件极值是（）。1 10二厂30. 在下列诸点中，（）为函数的极大值点。（丄-丄）（丄丄）31 .

12、函数"尸二7在闭区域d片+乍g叨工°）上的最大值是（）。二门24 =132. 已知矩形的周长为-匚，将它绕其一边旋转而形成一个旋转体，当此旋转体的体积最大时，矩形两边的长分别为（）。p 2p £ P p 3p 2p 3p33. 设函数；：,在点- J处方向导数的最大值为（）。2加4© 如厂2他634. 点2".到平面三二二十二- ii的最短距离是（）。止° + By. +為| |吐呼哄+迅|（力）”+沪+L J才+护+C?I加0 +肌+氐+曲叮矶+%_ +必©肿+沪+了 （D） J才 + 护 + L35 设为平面:：1上的一

13、点，且该点到两个定点 】11：的距离平方之和为最小，则此点的坐标为（）。J%g 二 r36. 二元函数丄'的定义域是' .平面上的区域（）。?+/<1,/ <4x （B） x2 +/ <W <4凡+丹0（0） ?+/ <V <4x （D）F+j? <4x,xa +/037. 二元函数匚二“在点'i 1.1处的两个偏导数；匚 存在 是"畑） 在该点连续的（）。充分而非必要条件 丄必要而非充分条件 -"充要条件 -无关条件38. 已知为某函数的全微分，则等于（）。-39. 函数" ； +"&#

14、39;的极值点是（）。二驻点小不可微点间断点 （5 其他40 .可使=2x-y成立的函数是f mi 打=x2v + -zy2 小、0 = iv2 +百丫 + 百卫-5# 2丿(占)Z 2r小討二 xy-xy2 +w旳-5 心討二 J + -+沪灯-5(02 “(D)' 2 /41 .点()是二元函数-':.的极值点(3厂1)©)(D)(3)三、解答题Hm 1一曲+£)1. 求二元极限=.。2=arctanz登空邑2. 求函数.的".宀.o乱护23. 设 z=xln( xy)求鳥飞"及二二"。4. 计算心：】："；：丹的

15、近似值。5 .计算(1 97)105 的近似值(In2 =0 693)。6. 设有一无盖圆柱形容器.容器的壁与底的厚度均为01cm内高为20cm内半 径为4厘米.求容器外壳体积的近似值。U =空色7. 设 z =u2ln v 而v=3x-2y 求二 。dz8. 设 z =arcsin( x- y).而 x 3t y=4t3 求土。9.1011121314151617181920a2+而 y =asindux z=cos x 求二二。.求函数匸1的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数).求函数u二f (x . xy . xyz)的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)老 d2z 兎.设Z=f(X

16、2“).其中f具有二阶导数.求=arctan- 型x .求必.设，.求L及八d2z.设 e -xyz =0 .求。.设 z3 -3xyz 二a3.求込丫 。” =*+尸塾dz.设-、求x卩卄+"°盘釵.设W+Q=i .求石石。.设卜二匝w*刃.其中f . g具有一阶连续偏导数求臥东21. 求曲线x心in t y/-cos t .' t在点/处的切线及法平面方程X二丄尸也 222. 求曲线,.：z=t2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程。23. 求曲线1.2r-3y+5j-4=0在点仆.i 1)处的切线及法平面方程。24. 求出曲线x=t .y=t2.z=t3上

17、的点.使在该点的切线平行于平面x2y，z=4。25. 求曲面ax2 by2 cz1在点(xo.yo.z。)处的切平面及法线方程。26. 求函数z=x2+y2在点(1 . 2)处沿从点(1 . 2)到点(2,2+祈)的方向的方向导 数。23-7 P-T27. 求函数u=xy +z -xyz在点(1 . 1 . 2)处沿方向角为3 .4 .3的方向的方向导数。z-28.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。29. 求函数z=ln( x"在抛物线y2=4x上点(1 . 2)处.沿这抛物线在该点处偏向 x轴正向的切线方向的方向导数。30. 设 f (x . y . z) =x2+2

18、y2+3z2+xy+3x2y 6z .求 grad f (0 . 0 . 0)及 grad f (1 . 1 . 1)。31 .问函数u=xy2z在点p(1 -1 . 2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方 向导数的最大值。32. 求函数 f (x . y) N(x-y)-x-y 的极值。33. 求函数 f (x . y) =(6x-x2)(4 y-y2)的极值。34. 求函数 f ( y) e2x(x y2 2y)的极值。求函数z二xy在适合附加条件xy=1下的极大值。35. 在平面xOy上求一点.使它到x=0.y=0及x2y_ 16=0三直线距离平方之 和为最小。36. 将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体.问矩形的边长各 为多少时.才可使圆柱体的体积为最大？37. 抛物面z=x2+y2被平面x y 1截成一椭圆.求原点到这椭圆的最长与最 短距离。38. 设z=f (u . x . y) . u二xey.其中f具有连续的二阶偏导数.求"。39. 设 x=eucos v y=eusin v z=uv 试求壬和宀。41 .在曲面z=xy上求一点.使这点