复积分计算总结

1、复积分的计算方法孟小云025(数学科学学院数学与应用数学专业2007级3班)指导老师 海泉摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。关键词：复变函数；复积分在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。 方法1:参数方程法定理：设光滑曲线 c:z=z(t)=x(t)+iy(t)

2、 (t ), 2)在,上连续，且 z(t) 0,又设 f(z)沿 c 连续，则 f (z)dzf z(t)z (t)dt。c1、若曲线c为直线段，先求出c的参数方程。c为过乙二2两点的直线段，c： z zi S z)t,t 0,1,乙为始点，z2为终点。例1计算积分1 Re zdz ,路径为直线段.解：设 z 1 (i 1)t (t 1) it,t 0,1,一、11 21i原式=0(t 1)idt (-t t) 0-2、若曲线c为圆周或圆周的一部分，例如c为以a为心R为半径的圆。设c：R,即z a Rei ,0,2 ,(曲线的正方向为逆时针)例2计算积分Jz dz,c为从一1到1的下半单位圆周

3、解：设 zei ,dz ei d ,00 0原式 ie d i(cos i sin )d 2注：上述方法只适用于积分曲线式特殊类型的曲线。方法2:利用柯西积分定理柯西积分定理：设函数f(z)在复平面上的单连通区域 D内解析，c为D内任条周线，则 f (z)dz 0c例3计算/z一,c为单位圆周z 1.cz 2z 2解：z 1是f(z) z的解析区域内的一闭曲线，由柯西定理有z2 2z 2dz0c z2 2z 2注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西定理很简单。1、柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和。

4、适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形例4计算c24dz的也c为包含圆周z 1的任何正向简单闭曲线c内且互不解；2fdz(1，)dz,分别以z 0,z 1为心作两完全含于cz z c z z 11111相父的圆周 0,02,则有原式=(一 )dz(- )dzc1 z z 1c2 z z 111dz1dzc2 zdz c2 z 1=2 i 0 0 2 i 4 i2、若积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿莱布尼茨公式计2 i日例5计算之(z 2) dz.解：因为f(z) (z 2)2在复平面上处处解析，所以积分与路径无关2 i 919原式=2 (z 4z 4)dz -z 2z 4z注：利

5、用柯西积分定理也有一定的局部性,主要体现在被积函数上，只有某些特殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便。方法3:利用柯西积分公式1、柯西积分公式：设区域D的边界是周线(复周线)c,函数f(z)在D内解析,在D D c内连续，则f(z)d (z D)2 i c zz例6计算z,其中c为圆周z 2. cz2 1解：因被积函数的两个奇点是i, i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互不相交的圆周Ci,C2原式=C2zez2 1dzez-zi-dz q z iez-zi-dzc2 z iz2 i -e- z iz2 i-e- z i(eie i)此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合

6、,比单独应用柯西积分定理容易方便得地多。2、柯西积分公式解决的是形如f(C-d ,(z D)的积分，那形如 z/Ad ,(z D)的积分怎样计算呢 c( z)利用解析函数的无穷可微性 f(z)里2 if ()n 1d ,(z D)(n 1,2,L)可解决 c( z)止匕问题。z2.例7计算一2dz, c为c(z2 1)2解：因被积函数的两个奇点是i, i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互zez2 dz c2(z2 1)2zzee(z i)2 (z i)22 dz 2 dz。(z i)2c2(z i)2ze2 i2(z i)z2i2(1 i)(ei iei)不相交的圆周0,5原式二一2dz

7、 c1(z2 1)2在闭区域D例8计算IZ5z 22 dz.2z(z 1)n2 i Resf(z)k 1 z ak解：f(z),5z 22 dz,在圆周z 2内有一阶极点 lz2z(z 1)2z=0,二阶极点z = 1Res f (z)z 05z 2(z 1)2 z 05z 2、2Resf(z) r)注：柯西积分公式与解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积 函数分母的次数，二者在计算时都常与柯西积分定理相结合。方法4:利用柯西留数定理柯西留数定理：f(z)在周线(复周线)c所围区域D内除ai,a2,L ,an外解析,D c上除 a1,a2,L , an 外连续,则 f (z)dz

8、 c由留数定理原式=2 i (Res f (z) Res f (z) 2 i(2 2) 0方法5:借助于沿封闭曲线的复积分 当计算不封闭曲线为积分路径的复积分时，可把积分路径作为部分曲线来构造封闭曲线，首先计算沿封闭曲线的复积分，再计算最初的沿不封闭曲线的积分。 例9计算，dz,其中c是以(1,0)为起点、(2,0)为终点的光滑曲线.分析：构造封闭曲线C0 c BA,易求F(z) 1 沿C0的复积分，利用复积z分的性质求原复积分。解：设Co c BA,其中BA是以B(2,0)为起点，A(1,0)为终点的直线段，参数方程是z=x,x是由2变到1,所以 -dz -dz -dz c0 Zc z BA

9、 z设 f (z) 1 ,贝U-dz-dz 2 if (0) 2 ic zc0 z 0,一1由留数定理：I11由于-dz-dx Inx In 2BAz2x2所以-dz-dz-dz2 i ( In 2) 2 i In 2c zco zBA z方法6:利用积分换元公式关于复积分的变量替换，与定积分的变量替换类似，要求变换是一对一的且可微设w f (z)在区域D内单叶解析，c是D内一条简单光滑曲线：z z(t), t那么(1)在变换w f (z)之下，c的像 也是W平面上一条简单光滑曲线；(2)若函数(w)沿 连续，则有积分换元公式(w)dw (f(z)f(z)dz例 10 计算积分4 2zdz,

10、c：z 2ei , 0.c z4 6z2 1解：令w f (z) z2,它在上半平面单叶解析，把半圆c变成圆：w 4ei2 ,即w 4 ,由换元公式得Idww2 6w 1因(w)dw -27.,w 6w 1 w (13 2,2) w ( 3 2,2)在围线 内仅有一个一阶极点w 3 2夜,Res _ (w)w 3 2-213 224,22 i 4/22<2注：对非单叶的变换，使用换元公式要特别小心，这时简单曲线 c的像 不再是简单曲线，但可把它分为几段简单曲线之和，即化为局部单叶变换的情形来处理。例11计算积分J 4 2zdz , c:|z 2.cz4 6z2 1解：令w的像曲线为双重圆

11、4ei2 ,两个单圆：4ei2 : w 4ei ,2它们分别对应于原像c之两段:Ci : z2ei ,0,C2 : z2ei,0用积分换元公式得2zdzc z4 6z2 12zdzc1 z4 6z2 1c2 z42zdz 6z2 1dww 6wdw2 c ,w 6w 1- dw22iw 4 w 6w 12I方法7:积分估值法积分估值：若沿曲线c,函数f(z)连续，且有正数M使则 f (z)dz ML c例12设f在复平面上解析，且有界，求极限Rm常数(ab),由此证明刘维尔定理.解:a,b,且(a b),则对于充分大的R,f(z)f(z) 闰 R (z a)(zdz , b)a,b为在圆z总可

12、以使a,b位于圆zR内,固有于是,f (z) dzlz R (z a)(z b) z Rlf(z)|dz(R |a|)(R |b|)所以Rmf (z),dz 0国 R (z a)(z b)(D另一方面,f(z) dz '|z R (z a)(z b) b a/f(b) b af(a)(2)综合(1)和(2)得f(a) f(b),特别取a0 有 f(b)f(0),由b的任意性,知f (z)在z平面上必为常数以上计算方法在复积分计算中是经常使用的方法，比较简单普遍，在复积分计算时很容易想到。下面介绍一些不常用的,且带有一定技巧性的方法。方法8:级数法连续性逐项积分定理：设fn(z)在曲线c

13、上连续(1,2,3,L ) ,fn(z)在c上一致n 1收敛于fn(z),则fn(z)在曲线c上连续，并且沿c可逐项积分：fn(z)dzfn(z)dz ,将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分ccn 1zn)dz,c： z 112的有关问题。例13计算积分(cn11所以(z )dz ( )dzc n 1c z 1 z方法9:拉普拉斯变换法定义：设f(t)是定义在0,上的实值函数或复值函数，如果含复变量p is (声为实数)的积分分定义的复函数F(p) 0 f (t)e° f (t)e ptdt在p的某个区域内存在，则由此积 ptdt,称为函数f(t)的拉普拉斯变换法(简称拉氏

14、变换)，简记为F(p) Lf(t)计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则，将该类复积分化为F(p)的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分的结果。例 14 计算积分r=cose pzdz .0 az 2 az一 人11-11 z解： 令 f (az) tcos,贝ULf(az) *cose dz.a z 2az0 a z 2az由相似定理有Lf(az) 1F(-) a a由拉普拉斯变换表得F(2) aJ e 产 cosjp/a P a所以 ,1cos- e pzdz 1F () 一1e 尸 cosJp/a0、a z 2az a 'a，a .p a方法10:运用对数留

15、数定理与辐角原理具有以下形式的积分 fIzldz称为f(z)关于曲线c的对数留数。2 i c f(z)1 .对数留数定理：如果f(z)在简单曲线c上解析且不为零，在c的内部除去有限个极点外也处处解析，则, f-(z)dz = N P.其中N为f (z)在c内零点的2 i c f(z)总个数，P为f(z)在c内极点的总个数，且c取正向。在计算零点与极点的个 数时，m阶的零点或极点算作 m个零点或极点。2.辐角原理：如果f(z)在简单闭曲线c上与c内解析，且在c上不等于零,1 一则f(z)在c内零点的个数等于一乘以当z沿c的正向绕行一周时f(z)辐角变 21事，即 NVc Argf (z).2sin z(z 1)ZTs 2 .(1 e ) z2例15计算积分f (z)dz ,其中f (z)闫5 f 一'，解：f(z)在z5上解析且不等于零。又f(z)在z 5的内部解析，零点个数N 1 2 3,极点个数P 5 2 72 i(3 7)8 i由对数留数定理有20dz 2 i(N P) lz 5 f(z)总结：以上总共给了计算复积分的10种方法，其中一些是常见的最基本的方法。级数法、拉普拉斯变换法、运用对数留数与辐角原理是对常用复积分计算方法的补充，具有一定的技巧，文中以例题说明了其具体运用的巧妙和简捷之处。可见灵活运用这些计算技巧，可以使繁琐的积分过程