第十一章函数项级数

1、§11.11讨论下列级数是否在定义区间上一致收敛,并说明理由(1); (2);(3) ; (4) ; (5) ; (6) ;(7),; (8);(9); (10).解（1）由于，所以 ，于是，因此。（2）由于对，有，又，故，于是。 （3）因为，所以，故在上不一致收敛。（4）令，故得为唯一极大值，从而是最大值，故。（5）法一，直接由和函数的连续性，可知在上不一致收敛于。（这要用到定理的逆否命题）。法二，取，由定理知，不一致收敛。（6），由泰劳公式知，其中，故，所以（注：由。取适当大的，当时，就有，因而。由定理知,.（7）由于，而收敛，故由判别法知在上一致收敛。（8）由于,而由比值判别法

2、易知,级数收敛.故有M判别法知，级数在上一致收敛。（9）当时，有，且，因此级数收敛，由判别法知：在上一致收敛。（10）记，取， ，故级数在区间上不一致收敛。（）2证明:设，且,若对,有,则在上一致收敛于.证 由于，即，当时，有，故对任意的，有，即。3 设在上连续,且,证明:函数列在上一致收敛.证 因为在上连续,所以，在上连续在上有界，即存在，使得。又在处连续，所以对，当且时，有，即，又对上述和，当时，对一切，有，所以对，当时，对一切，有所以在上一致收敛于0.4. 设级数收敛,证明:(1); (2).证（1）由于，且，即单调一致有界。又收敛，即在上一致收敛，因而由阿贝尔判别法知：在上一致收敛，同

3、时在上连续，从而在上亦连续，故；（2）由于，且，即单调一致有界。又收敛，即在上一致收敛，因而由阿贝尔判别法知：在上一致收敛，同时在上连续，从而可知在上连续。故5证明:在上连续,且在上有连续的导数.证 由于，而收敛，即在上一致收敛，又易知在上连续，故在上连续。又由于，而在任意的内单调一致趋于0,的前项部分和函数列在上一致有界(由例可知) .于是,由狄利克雷判别法知,在上亦一致收敛，且在上连续，故在上可导.又对,一定存在且(由实数的稠密性),因而在点可导,由的任意性知,在内可导,且，从而知：在上连续。6设,试利用解决如下问题:(1)证明:上连续; (2)计算.证 (1) 因为在上连续，且，而级数收

4、敛，由M判别法知，在上一致收敛，故上连续;（2）因为在上一致收敛，且在上连续，故，而所以。另解（该解法用了题目条件）。7设函数项级数在收敛,且对一切,在上单调增加,证明:在上一致收敛.证 由，在上单调增加得，所以，又和收敛，所以收敛。由魏尔斯特拉斯判别法知，在上一致收敛。设收敛到，由级数收敛定义得，使得当时， （1）设在上一致收敛到，则存在仅与上述有关的正整数，当时，有 （2）对上述，取，由（1）(2)得 。即一致收敛到。§11.21. 求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1); (2); (3); (4);(5); (6); (7); (8).解（1）因为，收敛半径，而当时，均发散，

5、故的收敛域为（2）因为，收敛半径，而当时，级数是收敛的。故的收敛区域为。（3）因为，所以级数的收敛半径为，而当时，级数是收敛的。故其收敛区域为。(4) 因为，收敛半径，而当时，级数的通项有，又级数收敛，故都收敛，所以收敛区域为。（5）由于，即原级数的收敛半径，收敛区域为。（6），因此，收敛区间为；当时,原级数为.由斯特灵(Stirling)公式：,知,又,所以，级数发散;当时,因的同项的绝对值也趋于无穷而不趋于0,所以,级数发散。综上讨论知, 幂级数的收敛域为。（7） 令，即,所以,收敛区间为。当发散，当由Leibiniz判别法（交错级数）得收敛。因此收敛域。（8）当收敛,因为发散而级数收敛,

6、故当时,对应的级数发散。因此收敛域为。2. 应用逐项求导或逐项求积求下列级数的和函数并指出它们的定义域.(1); (2); (3) ; (4) .解（1）设=+，则该级数的收敛域为。即+的和函数=。，其中=。而=。=，故=，。（2）由题知：=，即该级数收敛半径，而当时，级数是发散的，故该级数的收敛域为。因此，令，则，所以所以，。（3）设，则由=1.则收敛半径，而当时，级数和都收敛，故的收敛域为。设=。，则有=，又=,从而=， 故的和函数=。(4) 由于该级数的收敛域为，令级数的和函数=，因为，又令，则。所以，故，即。3设,则不论在是否收敛,只要在收敛,就成立.并由此证明:.证 由于当时，逐项积

7、分得。又收敛，故在处左连续，于是有：； 又当时有 ，且收敛，从而由可得：.4 设,证明下列:(1)在上连续,在上可导;(2)在处的左导数是否存在.证 收敛域为，又当时，收敛。所以收敛域为，幂级数在内一致收敛，又在连续，从而其和函数在上连续。当时，收敛半径，收敛区间为；当时，收敛；当时，发散。故在上可导。（2），所以，故，所以，也就是。令，由罗必塔法则：上式=。§11.31. 将下列函数在指定区间展开成傅立叶级数:(1),; (2),(3),展开为余弦级数;(4),展开为正弦级数.解 由于在内光滑，即可展开为傅里叶级数，其中：; ;，；故 。（2）由于在是光滑的，即可展开为傅里叶级数，其中：；故 。（3）按题目要求，先将函数在区间上作偶延拓，再将函数在上作周期延拓。由于；，；，故， 。（4）按题目要求，先将函数在区间上作奇延拓，再将函数在上作周期延拓。由于，。故， 。2 将函数在展开成余弦级数,并证明:.解 为了将展开称为余弦级数，对做偶函数后，再作周期延拓，此时的傅里叶系数，由傅里叶级数收敛定理得，的傅里叶级数展开式为，令代入上式，得，化简整理得，。3、设以为为周期且具有二阶连续的导函数，证明的傅里叶级数在上一致收敛于。证 设，由于在上具有二阶连续导函数，知在上可积，又因为的傅里叶系数与的傅里叶系数的关系是故由贝塞尔不等