等比数列的前n项和练习

1、 等比数列的前n项和练习1、设Sn是数列an（nN*）的前n项和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，设bn=Sn3n（）证明：数列bn是等比数列，并求数列bn的通项公式；（）令cn=2log2bn+2，求数列cn的前n项和Tn2、已知数列an的前n项和Sn=，且a1=1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=lnan，是否存在k（k2，kN*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由3、数列an满足a1=1，a2=r（r0），令bn=anan+1，bn是公比为q（q0，q1）的等比数列，设cn=a2n1+a2n（1）求证：cn=（1+r）

2、qn1；（2）设cn的前n项和为Sn，求的值；（3）设cn前n项积为Tn，当q=时，Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，Tn取到最小值4、已知等比数列an的公比为q，a1=，其前n项和为Sn（nN*），且S2，S4，S3成等差数列（I）求数列an的通项公式；（）设bn=Sn（nN*），求bn的最大值与最小值5、等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）若=3，求。6、对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”（1）设()，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；（2）若()，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；（3）

3、已知均是向量组的“向量”，其中，设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与()关于点对称，求的最小值7、已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，成等差数列 求数列的通项公式； 已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围8、已知各项都为正数的等比数列的前n项和，数列的通项公式，若是与的等比中项。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n和项。9、等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大（1）求an的通项公式；（2）设bn=，nN+求证：bn+1bn；  求数列b2n的前n项和Tn10、设为公比

4、不为1的等比数列，=16，其前n项和为，且5、2、成等差数列（l）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和.是否存在正整数k，使得对于任意nN*不等式>恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由11、为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动

5、力型公交车的总数量。（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值12、已知等比数列的前n项和为，且满足.（I）求p的值及数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的前n项和.13、已知递增等比数列的前n项和为，且.（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求的前项和14、等差数列中，公差且成等比数列，前项的和为.（1）求及.（2）设，求15、本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知a>0且a¹1，数列an是首项与公比均为a的等比数列，数列bn满足bn=an×lgan(nÎN*)(1)若a=3，

6、求数列bn的前n项和Sn；(2)若对于nÎN*，总有bn < bn+1，求a的取值范围 16、已知点是区域内的点，目标函数的最大值记作，若数列的前n项和为，且点在直线上。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和。17、设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.18、已知等比数列，则A       &#

7、160;      B                C              D  19、现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为.(1) 求出、的值，并写出与的关系式；(2

8、) 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(3) 当时，证明：.20、定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.  已知数列满足且点在二次函数的图像上. (1)试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；(2)记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；(3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.(理科)若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值(文科) 若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值 答 案1、（）由an+1=Sn+3n可得Sn+13n+1=2

9、Sn+3n3n+1=2（Sn3n），从而得到bn+1=2bn，于是有：数列bn是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列bn的通项公式；（）由（）得：cn=2log2bn+2=2n，设M=1+则M=+，利用错位相减法即可求得数列cn的前n项和Tn证明：（）an+1=Sn+3n，Sn+1Sn=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n，Sn+13n+1=2Sn+3n3n+1=2（Sn3n）bn+1=2bn（4分）又b1=S13=a13=1，bn是首项为1，公比为2的等比数列，故数列bn的通项公式为bn=2n1（6分）（）由（）得：cn=2log2bn+2=2n（8分）设M=1+则M=+得：M=1+=2，

10、M=4=4，Tn=n（n+1）+4（12分）2、（1）直接利用an=SnSn1 （n2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）（2）先利用（1）的结论求出数列bn的通项，再求出bkbk+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k2，kN*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列解：（1）当n2时，（2分）即（n2）（4分）所以数列是首项为的常数列（5分）所以，即an=n（nN*）所以数列an的通项公式为an=n（nN*）（7分）（2）假设存在k（k2，m，kN*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列，则bkbk+2=bk+12（8分）因为bn=lnan=lnn（n2），

11、所以（13分）这与bkbk+2=bk+12矛盾故不存在k（k2，kN*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列（14分）3、（1）根据题意得出=q（n2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，Sn=（1+r）n，=0，q1时，Sn=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（）28=（1+r）9（）36，r=281=255，Tn=（256）n（2）=（1）2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可解：（1）bn=anan+1，bn是公比为q（q0，q1）的等比数列，因为数列anan+1是一个以q（q0）为公比的

12、等比数列因此=q，所以=q（n2），即=q（n2），奇数项，偶数项分别成等比数列设cn=a2n1+a2ncn=1qn1+rqn1=（1+t）qn1bn=（1+r）qn1（2）q=1时，Sn=（1+r）n，=0q1时，Sn=，=若0q1，=若q1，=0=（3）设cn前n项积为Tn，当q=时，Tn=（1+r）nTn的最大值在n=8和n=9的时候取到，（1+r）8（）28=（1+r）9（）36，r=281=255，Tn=（256）n（2）=（1）2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，Tn的最小值为2354、（）利用等比数列的前n项和公式表示出S2，S4，S3，然后根据S2，S4，S3成等差数

13、列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S2，S4，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a10，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到数列an的通项公式；（）Sn=1，分类讨论，利用函数的单调性，即可求出bn的最大值与最小值解：（）由题意，q1，则S2，S4，S3成等差数列，2S4=S2+S3，又数列an为等比数列，4（a1+a1q+a1q2+a1q3）=（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q2），整理得：2q2q1=0，解得：q=1或q=，an=；（）Sn=1，n为奇数时，Sn=1+，随着n的增大而减小，所以1SnS1=，因为y=x在（0，+）上为增函数，bn=Sn

14、（nN*），所以0bn；n为偶数时，Sn=1，随着n的增大而增大，所以S2Sn1，因为y=x在（0，+）上为增函数，bn=Sn（nN*），所以bn0；所以bn0或0bn，所以bn的最大值为，最小值为5、（）依题意有 由于 ，故，又，从而 6分（）由已知可得，故  从而     12分6、(1)由题意，得：，则.2      解得： .4(2) 是向量组的“向量”，证明如下：，当为奇数时，.6，故8即当为偶数时，故即综合得：是向量组的“向量”.10(3)由题意，得：，即即，同理，三式相加并化简，得

15、：即，所以.13设，由得：设，则依题意得：，得  故  所以16当且仅当()时等号成立  故.187、8、关闭9、（1）利用等差数列的通项公式及其性质即可得出；（2）利用数列的单调性即可证明；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解析： （1）由a1=10，a2为整数，等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，即10+3d0，10+4d0，解得，因此d=3数列an的通项公式为an=103（n1）=133n（2）证明：由（1）可知：bn=，bn+1bn=0，数列bn是单调递减数列，bn的最大项为b1=bn+1bn，两式相减可得=，Tn=10

16、、(1)解：5S1、2S2、S3成等差数列，即              2分，q = 2              4分又，即，              5分(2)解：假设存在正整数k使得对于任意nN*不等

17、式都成立则               7分又              9分所以              10分显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以，解得k2    

18、;          11分所以存在正整数k，使得对于任意nN*不等式都成立且正整数k的最小值为              12分11、（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；         1分数列是首项为、公差为的等差数列，&#

19、160;                            2分所以数列的前和，                   4分数列的前项和， 

20、0;                             6分所以经过年，该市更换的公交车总数；                   &

21、#160;      7分（2）因为、是关于的单调递增函数，  9分因此是关于的单调递增函数，                                     

22、10分所以满足的最小值应该是，                                11分即，解得，               12分又，

23、所以的最小值为147                                       13分12、12分13、（1）设公比为q，由题意：q>1, ，则，  则 解得： 或（舍去）， 

24、 （2）则14、（1）有题意可得又因为 2分  4分（2） 6分    10分15、(1) 由已知有， ，所以，. 7分(2) 即.由且，得，所以或即或对任意nÎN*成立，且，所以或14分16、（）由（）得，  ，   10分13分17、（1）数列是各项均为正数的等比数列，又，；    4分（2）（）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，若，则，.           &

25、#160;                                    6分若，则，左边为偶数，等式不成立，若，同理也不成立，综合，得，所以必要性成立.       &#

26、160;                   8分（）充分性：设，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立.综合（）（），原命题成立.                      &#

27、160;                        10分（3）因为，即，（*）当时，（*）则（*）式两边同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即，又当时，即，适合，.14分，时，即；时，此时单调递减，又，.             &

28、#160;       16分18、C19、(1) ,， ;(2) (3) 见解析.解析：（1）,，                                第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，当时，

29、0;                       5分（2）由=得，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列.从而，故.               9分（3）.当为奇数时, 则为偶数当为偶数时, 则为奇数,从而综上，当时,. &#

30、160;                    分【思路点拨】（1）第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，由此能求出,，即可写出与的关系式（2）由=得，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列.，从而能求出（3）当为奇数时, 则为偶数，；当为偶数时, 则为奇数,从而 ，由此能证明当时,.20、(1)答：数列是算术平方根递推数列.    理由：在函数的图像上，.&

31、#160;                                  又，                

32、60;                              数列是算术平方根递推数列.                  &

33、#160;                      证明(2) ，    .                       

34、60;                                           又,    数列是首项为,公比的等比数列.  &

35、#160;                               .                   

36、0;                                  (理)(3)由题意可知，无穷等比数列的首项,公比，            &#

37、160;                                                 化简，得 &#

38、160;    若，则.这是矛盾！     .                                        &#

39、160;                             又时，,     .                 

40、                                            .       

41、60;                                    (文) (3)由题意可知，无穷等比数列的首项,公比，