苏北四市高三年级第一次模拟考试含答案

1、苏北四市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题1已知集合，若，则实数的值为 【答案】22已知复数满足，若的虚部大于0，则 【答案】3交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有 辆【答案】754运行如图所示的伪代码，则输出的结果为 【答案】95函数的部分图像如图所示，若，则的值为 【答案】6若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 【答案】7抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 【答案】8已知矩形的边，若沿对角线

2、折叠，使得平面平面则三棱柱的体积为 【答案】9若公比不为1的等比数列满足，等差数列满足，则的值为 【解析】由知，10定义在上的奇函数满足当时，（，为常数），若，则的值为 【解析】由知，由知 ，11已知，且，若点满足，则的取值范围是 【解析】,建系可设，圆心12已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 【解析】当时，递增，结合，可知的解集为当时，不等式可化为当即时恒成立，满足题意当即或时的解集为或依题意知时综上可知实数的取值范围是13已知，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数的值为 【解析】直线的方程为即，设即表示圆外区域及圆周上的点直线与圆相离化简得解得或正整数的值的值为414

3、设是正实数，满足，则的最小值为 【解析】即令二、解答题15在锐角三角形中，角的对边为，已知，（1）求 （2）若，求【解析】（1）在锐角三角形中，由，得，（2分）所以.（4分）由，得.（7分）（2）在锐角三角形中，由，得，（9分）所以，（11分）由正弦定理，得. （14分）16如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面（2）平面平面【解析】(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE（2分）因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点因为E为棱PD中点，所以PBOE（4分）因为PB平面EAC，OEÌ平面EAC，所以直线PB平面EAC（6分） (2) 因为PA平面

4、PDC，CDÌ平面PDC，所以 PACD（8分）因为四边形ABCD为矩形，所以ADCD（10分）因为 PAADA，PA，ADÌ平面PAD，所以 CD平面PAD（12分）因为CDÌ平面ABCD，所以 平面PAD平面ABCD（14分）17如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路,垂直的两条道路，且的造价分别为万元/百米，万元/百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米。（1）求解析式（2）当为多少时，总造价最低？并求出最

5、低造价【解析】 (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为，所以点P坐标为， 直线OB的方程为，（2分）则点P到直线的距离为，（4分）又PM的造价为5万元百米，PN的造价为40万元百米则两条道路总造价为（8分） (2) 因为，所以 ，（10分）令，得，列表如下：单调递减极小值单调递增所以当时，函数有最小值，最小值为（13分）答：（1）两条道路PM ,PN总造价为；（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元（14分）（注：利用三次均值不等式，当且仅当，即时等号成立，照样给分）18已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：（1）若，成等比数列，求实数的值（2）若，求【解析】（1

6、）令，得令，得，所以（2分）由，得，因为，所以（4分）（2）当时，所以，即，（6分）所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，（8分）即（保留其一）当时，得，（10分）即，所以，（12分）所以是首项为是常数列，所以. （14分）代入得. （16分）19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）求椭圆的方程.（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.【解析】（1）因为左顶点为，所以，又，所以（2分）又因为，所以椭圆C的标准方程为.（4

7、分）（2）直线的方程为，由消元得，.化简得，所以，.（6分）当时，所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.（8分）直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为.（10分）（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，（12分）由，得 （14分），当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为（16分）20已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围（3）讨论极值点的个数【解析】 (1) 由题意，（2分）因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，解得. （4分） (2) 法一

8、：由，得，即对任意恒成立，（6分）即对任意恒成立，因为，所以（8分）记，因为在上单调递增，且，所以，即的取值范围是（10分）法二：由，得，即在上恒成立，（6分）因为等价于，当时，恒成立，所以原不等式的解集为，满足题意（8分）当时，记，有，所以方程必有两个根，且，原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，所以不符合题意综合可知，所求的取值范围是（10分） (3) 因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点. （11分）令，若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号 ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得（12分）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，

9、得，且，所以，所以，同理， 所以，化简得，所以，即，所以所以，当时，有且仅有一个极值点；（14分）若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得；综上，当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点（16分）附加题21【选做题】B矩阵的特征多项式为， （2分）由，解得，（4分）当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量；（7分）当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量（10分）C圆的直角坐标方程为，即（4分）又,所以（6分）到直线距离的最小值为，（8分）所以面积的最小值为（10分）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系因为，则，（1分）（1）由得，设平面的法向量为，由得不妨取，则， 从而平面的一个法向量为（3分）设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为（5分）（2）设平面的法向量为， ，由得不妨取，则， 所以平面的法向量