第三章 结构地震反应分析与抗震验算

1、第三章 结构地震反应分析与抗震验算 本章是全课的重点！ 本章是全课的重点！ 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 主要内容 1、单自由度体系结构的地震反应及抗震设计反应谱 2、多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法 3、振型分解反应谱法 4、底部剪力法 5、截面抗震验算方法 6、抗震变形验算方法 7、时程分析介绍 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 通过本单元内容的学习，你将能够： 通过本单元内容的学习，你将能够： 1. 熟练掌握结构地震反应分析的基本要 求和计算方法； 求和计算方法； 深入理解地震作用、 2. 深入理解地震作用、地震影响系数基 本概念及其应用， 本概念及其应用，理解建筑结构抗

2、震验算 的原理； 的原理； 3. 了解各种方法的适用条件和特点。 了解各种方法的适用条件和特点。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1概述 概述 3.2单自由度体系地震反应分析 单 3.3多自由度体系地震反应分析振型分解法 多自由度体系地震反应分析振型分解法 多自由度体系地震反应分析 3.4多自由度体系水平地震作用效应 多自由度体系水平地震 多自由度体系水平地震作用效应 3.5结构地震扭转效应 结构地震扭转效应 结构地震扭转 3.6地基与结构相互作用的考虑 地基与结构相互作用的考虑 3.7结构竖向地震作用的计算 结构竖向地震作用的计算 3.8结构抗震验算的内容 结构抗震验算的内容 3.9

3、地震反应分析的时程分析简介 地震反应分析的时程分析简介 地震反应分析的 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 基本概念 1、地震作用：指地面震动在结构上产生动力荷 地震作用： 俗称为地震荷载，属于间接作用 间接作用。 载，俗称为地震荷载，属于间接作用。 结构地震反应 地震反应： 2 、 结构 地震反应 ： 由地震动引起的结构内力和 变形、位移、速度及加速度反应等。 变形、位移、速度及加速度反应等。 3、结构动力特性：结构的自振周期、振动频率、 结构动力特性：结构的自振周期、振动频率、 动力特性 阻尼、振型等。 阻尼、振型等。 3.1 概述 地面运动 结构地震反应 的影响因素 地震动

4、的强弱， 地震动的强弱，场地类型 结构动力特性 结构的自振周期、振动频率、 结构的自振周期、振动频率、 阻尼、 阻尼、振型等 复杂的随机作用（地震的随机性；结构的随机性） 复杂的随机作用（地震的随机性；结构的随机性） 结构地震作用的简化 一般为三个方向：两个水平，一个竖向， 一般为三个方向：两个水平，一个竖向，且 分别计算三个方向的地震作用。 分别计算三个方向的地震作用。 抗震 设计包括： 抗震设计包括： 1）地震作用计算 ） 2）结构抗震验算 ） 3）构造措施 ） 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 建筑结构抗震设计步骤 1、计算结构的地震作用； 计算结构的地震作用； 地震作用

5、 2、计算结构、构件的地震作用效应； 计算结构、构件的地震作用效应； 3、地震作用效应与其它荷载效应进行组合； 地震作用效应与其它荷载效应进行组合； 4、验算结构和构件的抗震承载力及变形； 验算结构和构件的抗震承载力及变形； 结构和构件的抗震承载力及变形 5、构造措施。 构造措施。 地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要 地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要 环节， 环节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安 全要求的关键步骤。 全要求的关键步骤。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 求解结构地震反应的方法 随机状态分析 确定性方法 最不利状态分析 非确定性方法 静态分

6、析法 静力法 反应谱理论 动态分析法 弹性全过程分析 弹塑性全过程分析 底部剪力法 振型分解反应谱法 课程讲授的内容 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 结构抗震设计理论的发展 结构抗震设计理论从产生到发展至 今经历了三个阶段 今经历了三个阶段 1、静力理论阶段 2、反应谱理论 3、时程分析法 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 1、静力理论阶段 最早1920 1920年由日本学者大森房吉提出 最早1920年由日本学者大森房吉提出 地震作用 地面运动的最大加速度 & F = m X g max = KG K = & X g max g F & X (t ) 该法假设

7、建筑物为绝对刚体。 该法假设建筑物为绝对刚体。将 F作为静荷载，按静力计算方法 作为静荷载， 作为静荷载 计算结构的地震效应 & X g (t ) 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 2、反应谱理论-反应谱法 反应谱理论-反应谱法 -1940年 美国Housner 豪森） Biot（皮奥特） Housner（ 1940年，美国Housner（豪森） 和Biot（皮奥特） 提出。 提出。 重力荷载代表值 F = k G 地震作用 地震系数（反映震级、震中距、 地震系数（反映震级、震中距、 场地等的影响） 场地等的影响） 动力系数(反映结构的特性, 动力系数(反映结构的特性, 如周期

8、、阻尼等的影响) 如周期、阻尼等的影响) 同样，按静力计算方法计算结构的地震效应， 同样，按静力计算方法计算结构的地震效应，但该 求地震作用考虑了结构的自振特性。目前， 法求地震作用考虑了结构的自振特性。目前，世界 上普遍采用的方法。 上普遍采用的方法。 反应谱理论后面要详细介 绍 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 3、直接动力分析理论-时程分析法 直接动力分析理论-时程分析法 -将实际地震加速度时程记录（ 将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earthquake record）作为动荷载输入，进行结构的地震 ）作为动荷载输入， 响应分析。 响应分析。 & X g (t )

9、 t 求得的 d (t ) v(t ) a (t ) 随时间变化 时程分析：甲类建筑物、超高层、 时程分析：甲类建筑物、超高层、特别不规则 的建筑、采取隔震、减震措施的结构。 的建筑、采取隔震、减震措施的结构。 目前作为辅助手段 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1概述 概述 3.2单自由度体系地震反应分析 单 3.3多自由度体系地震反应分析振型分解法 多自由度体系地震反应分析振型分解法 多自由度体系地震反应分析 3.4多自由度体系水平地震作用效应 多自由度体系水平地震 多自由度体系水平地震作用效应 3.5结构地震扭转效应 结构地震扭转效应 结构地震扭转 3.6地基与结构相互作用的考虑

10、地基与结构相互作用的考虑 3.7结构竖向地震作用的计算 结构竖向地震作用的计算 3.8结构抗震验算的内容 结构抗震验算的内容 3.9地震反应分析的时程分析简介 地震反应分析的时程分析简介 地震反应分析的 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系的地震反应分析 3.2单自由度体系的地震反应分析 一个问题： 一个问题： F=ma F=ma 建筑物的质量相同，所受的地震荷载相同吗? 建筑物的质量相同，所受的地震荷载相同吗? 地震作用大小与什么有关？ 地震作用大小与什么有关？ 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系的地震反应分析 描述质量的两种方法 1. 连续化描述（分布

11、质量） 连续化描述（分布质量） 2. 集中化描述（集中质量） 集中化描述（集中质量） 工程上常用 步骤）： 采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）： 将区域主要质量集中在质心； 将区域主要质量集中在质心； 定出结构质量 集中位置（质心） 集中位置（质心） 将次要质量合并到相邻主要质 量的质点上去 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系的地震反应分析 质量集中化实例 主要质量： 主要质量：屋面 单厂： 单厂： 主要质量： 主要质量：水箱 水塔： 水塔： 次要质量： 次要质量：柱及附属 次要质量： 次要质量：塔柱部分 部分 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系

12、的地震反应分析 质量集中化实例 主要质量： 主要质量：楼盖 多高层： 多高层： 次要质量： 次要质量：柱及墙部分 烟囱： 烟囱： 若干 区质量集中 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 3.2单自由度体系的地震反应分析 体系自由度 一个质点， 一个质点，若不考虑其转 动，则空间上有三个位移 分量，则有三个自由度。 分量，则有三个自由度。 三个自由度 而在平面上有两个自由度 而在平面上有两个自由度 忽略直杆的轴向变形，则 忽略直杆的轴向变形， 只有一个自由度 只有一个自由度 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 一、单自由度体系的运动方

13、程 1 运动方程的建立 取质点为隔离体， 取质点为隔离体 ， 质点上作 用有三种力： 用有三种力： Fd 惯性力 ： FI FI 阻尼力： 阻尼力： Fd Fs 弹性恢复力： 弹性恢复力：Fs 达朗贝尔（ 达朗贝尔 （DAlembert）原理， 质点 ） 原理， 在上述三个力作用下处于平衡： 在上述三个力作用下处于平衡： x (t) m xg(t) FI + Fd + Fs = 0 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 惯性力 ： FI = m( &g + &) x x & Fd = cx 阻尼系数 阻尼力：按照粘滞阻尼理论， 阻尼力：按照粘滞阻尼理论， 粘滞阻尼

14、理论 弹性恢复力：根据虎克（ 弹性恢复力：根据虎克（Hooke）定理， ）定理， Fs = kx 体系刚度（刚度系数） 体系刚度（刚度系数） 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 由力的平衡： 由力的平衡： FI + Fd + Fs = 0 & m(&g + &) + cx + kx = 0 x x 地震作用下体系运动方程： 地震作用下体系运动方程： 令 m& + cx + kx = m&g x & x 称无阻尼自振圆频率 = km c = = 2m 2 km c 称阻尼比 进一步简化为： 进一步简化为： & + 2 x + 2 x = &g & x x 若与动力

15、学中单质点弹性体系在动荷载 F (t ) 作用下的运动方程比较： 作用下的运动方程比较： 可见， 可见，地面运动对质 点的影响相当于在质 m& + cx + kx = m&g x & x 点上加一个动荷载， 点上加一个动荷载， x 其值等于 m&g (t ) ，指向 m& + cx + kx = F (t ) x & 与地面运动加速度方 向相反。 向相反。 计算结构的地震反应时 计算结构的地震反应时，必须知道地面运动 结构的地震反应 x x 加速度的变化规律 &g (t ) ，而 &g (t ) 可由地震 地面加速度记录得到 得到。 时地面加速度记录得到。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算

16、3.2单自由度体系地震反应分析 2 运动方程的解答 1）方程的齐次解（自由振动） ）方程的齐次解（自由振动） 自由振动： 自由振动：在没有外界 激励情况下体系的运动 先讨论齐次方程 ： & + 2x + 2 x = 0 & x 由微分方程理论可知，其通解为： 由微分方程 理论可知，其通解为： = 1 2 x ( t ) = e t (B cos t + C sin t ) B和C为常数，其值可由问题的初始条件确定 和 为常数 为常数， 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 初始条件为： 初始条件为： 初始位移： 初始速度： 初始位移：x(0) = x0 初始速度：

17、 v(0) = v0 B = x0，C = (v0 + x0 ) / 体系自由振 动位移时程： 动位移时程： = 1 2 有阻尼圆频率 v0 + x0 x(t ) = e ( x0 cos t + sin t） 改写为 x(t ) = Ae t sin( t + ) t x0 v0 + x0 A= x + tan ， = v0 + x0 2 2 0 为有阻尼单质点体系自由振动的通解， 为有阻尼单质点体系自由振动的通解，质点 衰减振动 做简谐衰减振动， 做简谐衰减振动， 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 当阻尼力=0时，表示无阻尼运动 时 体系无阻尼自由 振动位

18、移时程： 振动位移时程： x(t ) = x0 cost + 改写为 v0 sin t x(t ) = A sin(t + ) x0 2 2 A = x0 + (v0 / ) ， = tan v0 无阻尼单质点体系自由振动的通解， 无阻尼单质点体系自由振动的通解，质点 简谐振动 振动。 做简谐振动。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 曲线随的取值而变化 曲线随 的取值而变化 1 （3） = 1 （1) 由 体系振动 不振动 此时体系不振动， 此时体系不振动，此时称为临界阻尼比 c 2 m = =1 得临界阻尼系数 cr = 2m 第三章 结构地震反应分析与抗震

19、验算 3.2单自由度体系地震反应分析 自由振动的几个概念 1）圆频率： ）圆频率： k = m 2 表示2秒内振动次数 表示 秒内振动次数 m 表示振动一周所需时间 = 2 2）周期： T = ）周期： k 1 1 k = 3）频率： f = = ）频率： 表示每秒中振动次数 T 2 2 m c = 4）阻尼比： = ）阻尼比： 2m 2 km 一般结构的阻尼比变化范围在0.020.05之间， 之间， 一般结构的阻尼比变化范围在 之间 因此，有阻尼自振频率和无阻尼自振频率很接近， 因此，有阻尼自振频率和无阻尼自振频率很接近， c 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 例 ： 已知一水塔结构， 可

20、简化为单自由度体系。 已知一水塔结构 ， 可简化为单自由度体系 。 质点质量m=204t，抗侧刚度 质点质量 ，抗侧刚度k=8048.6kN/m，阻 ， 尼比为0 05，求该结构的自振周期、频率。 尼比为0.05，求该结构的自振周期、频率。 解：直接由公式可得 自振周期 m 204 T = 2 = 2 = 1.0s k 8048.6 自振圆频率 k 8048.6 = = = 6.28 m 204 有阻尼自振圆频率 自振频率 = 1 2 = 6.28 1 0.052 = 6.27 6.28 f = = = 1Hz 2 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 二 单自由

21、度体系在地震作用下受迫振动 进一步考察运动方程 &( t ) + 2 x ( t ) + 2 x ( t ) = &g ( t ) & x x 地震地面运动一般为不规则往复运动 求解方法： 求解方法： 将地面运动分解为很多个脉冲运动 将地面运动分解为很多个脉冲运动 在t=d时刻地面运动脉冲 时刻地面运动脉冲 &g ( )d x &g (t ) x &g ( ) x t d x(t ) t 地面运动加速度时程曲线 t 微分脉冲引起的自由振动 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 当地面运动为如下冲击运动时 x &g &g (t ) = x 0 x m&g P= 0

22、0 t d t d 0 t d t d d t 体系质点将受如下冲击力作用 时刻的速度 位移分别为 速度和 在 d 时刻的速度和位移分别为 脉冲 P 1P &0 = d = &g d x0 = x x (d ) 2 0 m 2m 可见，地面冲击运动的结果是使体系质点产生速度。 可见，地面冲击运动的结果是使体系质点产生速度。 因地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，因此 因地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用， & x 体系地面冲击强迫振动即是初速度为 x0 = &g d 的体 系自由振动 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 由自由振动运动方程 x (t )

23、= e t v 0 + x 0 ( x 0 cos t + sin t ） t 可得到任一时刻t时 其位移为： 可得到任一时刻 时，其位移为： x (t ) = e &g d x sin t 作用的微分脉冲 微分脉冲所产生的位移反应 即可求得时间 d作用的微分脉冲所产生的位移反应 dx = e ( t ) &g x sin (t )d 将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加， 将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加，就可得 到全部加载过程所引起的总反应 总反应。 到全部加载过程所引起的总反应。 x (t ) = 0 1 t &g ( )e ( t ) sin (t ) d x 上式就是非齐次线性微

24、分方程的特解，通称杜 上式就是非齐次线性微分方程的特解，通称杜 哈默（Duhamel）积分。 ）积分。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 体系地震反应（通解） 自由振动 齐次解） 强迫振动 特解） 自由振动（ 强迫振动（ 体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解） 初位移、初速度引起迅速衰减， 初位移、初速度引起迅速衰减，可不考虑 x (t ) = e t 地面运动引起 & x ( 0 ) + x ( 0 ) sin t x ( 0 ) cos t + 0 1 t &g ( ) e ( t ) sin (t ) d x 分析运动方程及其解答可以

25、看到： 分析运动方程及其解答可以看到： 地面运动加速度直接影响体系地震反应的大小 直接影响体系地震反应的大小； 1）地面运动加速度直接影响体系地震反应的大小； 不同频率（ 周期）的单自由度体系， 2）不同频率 （ 或 周期 ） 的单自由度体系 ， 在相同的 地面运动下会有不同的地震反应； 地面运动下会有不同的地震反应； 阻尼比对体系的地震反应有直接的影响 对体系的地震反应有直接的影响， 3）阻尼比对体系的地震反应有直接的影响 ， 阻尼比 愈大则弹性反应愈小。 愈大则弹性反应愈小。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 地震反应方程解法： 地震反应方程解法： x(t

26、 ) = x & ( )e 0 g t 1 t ( t ) sin (t )d 求导得加速度反应： 求导得加速度反应： 2 &(t ) = x g (t )e (t ) 1 x sin (t ) + 0 (t )d &g (t ) +2 cos x 1 解析解：直接积分 解析解： 2 数值解：数值计算方法 P43 数值解： 3.2单自由度体系地震反应分析 运动方程数值计算： 运动方程数值计算 1.分析方法： 将时段0,T划分为n个时间段: 当t = tk时 to , t1 , tk 1 , tk t n 1,t n &(t k ) + 2x (t k ) + 2 x (t k ) = &g (

27、t k ) & x x 在tk-1, tk内设定某种变化规律, 从而根据tk-1时刻值,求得tk时刻 的值. 2.线性加速度法：假定tk-1, tk 内的加速度满足下式: & = &(t k 1 ) + x x t t k 1 t k t k 1 &(t k ) &(t k 1 ) x x 内对上式进行积分,得 在区间 tk-1, tk 内对上式进行积分 得: t t k 1 &(t ) dt = &(t k 1 ) dt + x x t k 1 t &( t k ) &( t k 1 ) t x x t k t k 1 t k 1 (t t k 1 ) dt ( t t k 1 ) 2 t

28、k t k 1 & & x(t ) = x(tk 1 ) + &(tk 1 )(t tk 1 ) + &(tk ) &(tk 1 ) x x x 1 2 & & xk = xk 1 + &k 1 t + 1 ( &k &k 1 ) t x x 2 x & = x k 1 + 1 &k 1 t + 1 &k t 2 x 2 x 令 & k = Bk 1 + &k t x x 2 再次进行积分 进行积分,得 在区间 tk, tk+1 再次进行积分 得: & x (t ) = x (t k 1 ) + x (t k 1 )(t t k 1 ) + &(t k 1 )(t t k 1 ) x x 1

29、&( t k ) x ( t k 1 ) + 6 t k t k 1 (t t k 1 ) 1 2 2 & k 1 t + 1 &k 1 t 2 + 1 ( &k &k 1 ) t 2 xk = xk 1 + x x 2 x 6 x &k 1t + 1 &k 1t 2 + 1 &k t 2 = xk 1 + x 3 x 6 x 令 x k = Ak 1 + &k x t 2 6 将上两项代入运动方程 &k + 2Bk 1 + 2 x 改写 t 2 &k + Ak 1 + x 2 2 t 2 6 &k = &gk x x (1 + t + 2 t 2 6 ) &k = ( &gk + 2Bk 1

30、 + 2 Ak 1 ) x x &k = 1 ( &gk + 2Bk 1 + 2 Ak 1 ) x s x & xk = Bk 1 + &k x t 2 x k = Ak 1 + &k x t 2 6 以k时刻的值再计 时刻的值再计 算k+1时刻的值 时 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 三 单自由度弹性体系的水平地震作用 理论基础： 理论基础：将惯性力看作一种反映地震对结构体系 等效力。 影响的等效力 影响的等效力。 由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量 由结构力学可知， 乘以它的绝对加速度，方向与加速度的方向相反， 乘以它的绝对加速度，方向与加速度

31、的方向相反，即 F (t ) = m &g (t ) + &(t ) x x 为质点的绝对加速度， 为质点的绝对加速度，由地面运动加速度 和体系加速度反应组成。 和体系加速度反应组成。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 求最大绝对加速度： 求最大绝对加速度： S a = a max = &g (t ) + &(t ) x x max 结构在地震持续过程中所经受的最大地震作用为： 结构在地震持续过程中所经受的最大地震作用为： F = mS a = m a max = m &g (t ) + &(t ) x x max 单自由度体系上的最大水平地震作用： 单自由度

32、体系上的最大水平地震作用： Sa F = mS a = mg = G g 其中为地震影响系数，为作用于单质点弹性体系 地震影响系数， 上的水平地震作用与该重力之比。 上的水平地震作用与该重力之比。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 地震影响系数 x S a &g S a = = = k g g &g x k= &g x g 地震系数， 为 地震系数 ， 表示地面运动的加速度峰 值与重力加速度的比值， 值与重力加速度的比值 ， 也就是以重力加速度 为单位的地震动峰值加速度。 为单位的地震动峰值加速度。 = 动力系数， 为 动力系数 ， 是单质点弹性体系在地震作

33、用下反应加速度与地面最大加速度之比， 用下反应加速度与地面最大加速度之比 ， 反映 质点最大反应加速度对地面最大加速度放大的 倍数。 倍数。 Sa &g x 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 以 FEk 代替 F ，则得： FEk = mkg = kG 地震系数 建筑的重力荷载 代表值（标准值） 代表值（标准值） 动力系数 上式就是计算水平地震作用的基本公式。由此可见， 上式就是计算水平地震作用的基本公式。由此可见， 求作用在质点 上的水平地震作用， 求作用在质点上的水平地震作用，关键在于求出地 震系数k和动力系数 和动力系数。 震系数 和动力系数 。 第三章

34、 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 为了简化计算， 为了简化计算 ， 将上述地震系数 k 和动力系数 的 乘积用来表示，并称为地震影响系数 地震影响系数。 乘积用来表示，并称为地震影响系数。 = k 这样， 这样，上式可以写成 FEk = G 规范根据制成地 规范根据 制成地 制成 震反应谱 地震（ 加速度） 反应谱可理解为一个确定的地面 地震 （ 加速度 ） 反应谱 可理解为一个确定的地面 运动， 运动 ， 通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同 的单自由度体系， 的单自由度体系 ， 所引起的各体系最大加速度反 应与相应体系自振周期间的关系曲线 影响地震作用的因素 1

35、 结构的重量 （重力荷载代表值） 结构的重量G（重力荷载代表值） G越大，地震作用越大。 越大， 越大 地震作用越大。 2 k值，称为地震系数。 值 称为地震系数。 表示地震动的大小，与烈度有关。 表示地震动的大小，与烈度有关。 烈度每增加一度地震系数大致增加一倍 3 ，动力系数 与场地（频谱组成）有关，与结构的自振周期 有关，与结构的阻尼有关。 通过大量分析计算， 通过大量分析计算，我国地震规范取最大的 动力系数 动力系数 max=2.25 4 水平地震影响系数 水平地震影响系数 为简化计算， 用一个系数表示 为简化计算，将k、 用一个系数 表示，为 、 用一个系数 表示， 无量纲的系数，

36、水平地震影响系数。 无量纲的系数，称水平地震影响系数。 3.2单自由度体系地震反应分析 四 设计反应谱 1 地震反应谱 反应谱的定义 反应谱的定义 单自由度弹性体系在给定地震动下某个最 大反应量（ 与体系自振周期T的关 大反应量（Sa、Sv、Sd）与体系自振周期 的关 系曲线 3.2单自由度体系地震反应分析 绘制反应谱的步骤 1）给定确定的地面加速度xg(t)； ）给定确定的地面加速度 ； 2）单自由度体系设定阻尼比 ； ）单自由度体系设定阻尼比； & x 3）设 S a = &(t ) max , Sv = x(t ) max , S d = x(t ) max ） 4）设定振子周期 ； ）

37、设定振子周期T； 5）利用杜哈默（Duhamel）积分求振子 杜哈默 ）利用杜哈 ） 的响应。 的响应。 对于不同的阻尼比 可产生一系列的S 对于不同的阻尼比可产生一系列的 a-T 曲线， 曲线， 曲线。 曲线， Sv-T曲线， Sd-T曲线。 曲线 曲线 =0 反应谱 3.2单自由度体系地震反应分析 总结一下反应谱的特点 1 体系阻尼比的影响 削峰的作用 地震加速度反应越小 体系的阻尼比 大 地震反应谱值越小 2.地震动 地震动 不同的地震动将有不同的地震反应谱 地震动特性三要素 : 振幅 、频谱 、持时 振幅： 振幅越大 振幅： 地震反应谱值越大 地震动振幅仅对地震反应谱值大小有影响 呈线

38、性比例关系 持时： 持时： 对最大反应或地震反应谱影响不大 频谱：地面运动各种频率（周期） 频谱：地面运动各种频率（周期）成分的加速度 幅值的对应关系 Sa 坚硬场地 软土场地 T1 T2 T 场地越软 地震反应谱峰值对应的结构周期也越长 地震反应谱峰值对应的结构周期也越长 峰值 震中距越大 地震动频谱对地震反应谱的形状有影响 3.2单自由度体系地震反应分析 2 设计反应谱 地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的 困难 而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱， 而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱， 称之为设计反应谱 称之为设计反应谱 地震是随机的， 地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲

39、线都 不相同，则加速度反应谱也不相同。 不相同，则加速度反应谱也不相同。 抗震设计时， 抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时程曲 用于设计的反应谱应该是一个典型的具有共 线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具有共 的可以表达的一个谱线。 性的可以表达的一个谱线。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 规范的做法:采用标准反应谱曲线 规范的做法:采用标准反应谱曲线 标准反应谱 标准反应谱曲线： 标准反应谱曲线：根据大量的强震记录算出对应于 每一条强震记录的反应谱曲线， 每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最 有代表性的平均曲线。 有代表性的平均曲线。 加速度

40、（ ） 加速度（ ） 标准化 周期（ ） 周期（ ） 以此曲线作为设计依据， 以此曲线作为设计依据，这样的曲线为抗震设计反应 考虑场地类别 震级和震中距以及结构自振周 场地类别、 谱，考虑场地类别、震级和震中距以及结构自振周 阻尼比的影响 的影响。 期和阻尼比的影响。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 规范的确定方法： 规范的确定方法： 选定体系的阻尼比= 05， 选定体系的阻尼比=0.05，对某一确定的地面运动 阻尼比=0 加速度波，计算得到一条-T对应关系。 对应关系。 加速度波，计算得到一条 对应关系 选取不同的地面运动加速度波， 选取不同的地面运动加速

41、度波 ， 可得到不同的 -T 对应关系， 关系曲线进行统计、 拟合， 对应关系 ， 将这些 -T 关系曲线进行统计 、 拟合 ， 并结合工程经验进行适当调整， 并结合工程经验进行适当调整 ， 可确定一条对应该 关系曲线， 称为标准的地震影响系 建筑的标准 -T 关系曲线 ， 称为 标准的地震影响系 数曲线。 数曲线。 抗震规范 抗震规范 就是以地震影响系数作为抗震设计依 据的， 其数值应根据烈度 场地类别、 烈度、 据的 ， 其数值应根据 烈度 、 场地类别 、 设计地震分 以及结构自振周期 阻尼比确定 结构自振周期和 确定。 组以及结构自振周期和阻尼比确定。 第三章 结构地震反应分析与抗震验

42、算 3.2单自由度体系地震反应分析 (1) 地震影响系数曲线 2 max =( 0.45 max Tg T 各符号的含义 ) 2 max = 2 0.2 1 (T 5Tg ) max T (s) 0 0.1 Tg 5Tg 6.0 地震影响系数曲线 几点说明 1 反应谱是地震影响系数 反应谱是地震影响系数-T关系谱，实质上是加 关系谱， 关系谱 速度谱； 速度谱； x 2 T=0时，表示结构为刚体，此时 S a = &g (t ) max 时 表示结构为刚体， 即 Sa = &g (t ) x = 1， max = 0.45 max 3 当0.1TTg时，谱曲线进入平台，=max，平 谱曲线进入

43、平台， 台止于特征周期T 台止于特征周期 g， Tg按场地类别和设计地震分 组查表； 组查表； 4 当结构阻尼比0.05时， 时 曲线下降段衰减指数、直线下降段斜率 曲线下降段衰减指数 、直线下降段斜率1、阻 尼调整系数 尼调整系数 2作相应的调整 。 max、 5 max 的确定 = k max = k max max = 2.25 max = 2.25k max 与基本烈度的关系 基本烈度 地震系数k max 6 0.05 0.11 7 0.1 0.23 8 0.2 0.45 9 0.4 0.9 对应于I 相当于第二水准。 表中 max 对应于 0，相当于第二水准。 第三章 结构地震反应分

44、析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 阻尼对地震影响系数的影响 阻尼对地震影响系数的影响 当建筑结构阻尼比按有关规定不等于0 05时 当建筑结构阻尼比按有关规定不等于 0.05时， 其水平地震影响系数曲线仍按图确定， 其水平地震影响系数曲线仍按图确定 ，但形状 参数应作调整： （1）曲线下降段衰减指数的调整 = 0.9 + 0.05 （2）直线下降段斜率的调整 = 0.02 + (0.05 ) / 8 1 （3） max 的调整 当结构阻尼比不等于0.05时，表中的值应乘以 当结构阻尼比不等于0 05时 下列阻尼调整系数 0.05 2 = 1 + 0.06 + 1.7 0.5 + 5

45、当 2 0.55 ，取 2 = 0.55 多遇地震，罕遇地震） 用于设计的 max 值（多遇地震，罕遇地震） 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） 0.05 烈度 地震影响 6 0.04 -7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40 多遇地震 罕遇地震 根据三水准设防，两阶段设计 ： 根据三水准设防，两阶段设计： 多遇地震：Im=I01.55，超越概率 ，超越概率63.2%，相当 ， 于基本烈度时地震作用值 于基本烈度时地震作用值0.35，也即对 0表中的 ，也即对I 值0.3

46、5。 。 结构处于弹性范围 罕遇地震：Is=I0+1，超越概率 ，超越概率2-3%， ， 罕遇地震 多遇地震 罕遇地震 max /多遇地震 max =46倍 多遇地震 倍 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 设计特征周期 建筑场地对不同建筑物的破坏有很大影响。 建筑场地对不同建筑物的破坏有很大影响。它的 一个重要动力特性是建筑场地的卓越周期， 一个重要动力特性是建筑场地的卓越周期，又叫 设计特征周期，或简称特征周期 特征周期。 设计特征周期，或简称特征周期。 特征周期:是建筑场地自身的周期。 特征周期 是建筑场地自身的周期。抗震设计用 的地震影响系数曲线的下降段

47、起始点所对应的周 期值， 地震震级、震中距和场地类别等因素有 期值，与地震震级、震中距和场地类别等因素有 关 建筑物的自振周期与场地特征周期相等或接 近时，建筑物的震害有明显加重的趋势。 近时，建筑物的震害有明显加重的趋势。这是由 于建筑物的振动发生了类似共振的现象。 于建筑物的振动发生了类似共振的现象。在建筑 物的抗震设计时应尽量避免这种现象。 物的抗震设计时应尽量避免这种现象。 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 设计地震分组： 设计地震分组： 设计地震分组是新规范新提出的概念， 设计地震分组是新规范新提出的概念，用以代替 旧规范设计近震、设计远震的概念。

48、旧规范设计近震、设计远震的概念。 近震 远震的概念 在宏观烈度大体相同条件下， 处于大震级远离震 在宏观烈度大体相同条件下 ， 处于大震级 远离震 高耸建筑物的震害比中小级震级 近震中距的 的震害比中小级震级近震中距 中 的 高耸建筑物 的震害比中小级震级 近震中距 的 情况严重的多。 相同场地类别， 情况严重的多 。 相同场地类别 ， 不同地震分组时 特征周期不同， 也就是地震反应谱不同， 特征周期不同 ， 也就是地震反应谱不同 ， 从而计 算的地震力也就不同。 算的地震力也就不同。 设计地震分三组， 对于 类场地， 第一、 设计地震分三组 ， 对于 类场地 ， 第一 、 二 、 三 组的设

49、计特征周期分别为： 35s 40s 45s 组的设计特征周期分别为 ： 0.35s 、 0.40s 、 0.45s. 规范附录A给出各地地震设防分组 各地地震设防分组。 规范附录A给出各地地震设防分组。 100震 中 距 大 于 1000 公 里 的 叫 远 震 ， 震 中 距 在 1001000公里范围内的叫近震 震中距在100 公里范围内的叫近震， 100公里以内 1000公里范围内的叫近震 ， 震中距在 100公里以内 的称为地方震。 的称为地方震。 6度近震 7度近震 6 6度远震 7度远震 特征周期值 Tg 设计地震 分组 第一组 第二组 第三组 场地类别 I 0.25 0.30 0

50、.35 II 0.35 0.40 0.45 III 0.45 0.55 0.65 IV 0.65 0.75 0.90 例题：单层框架， 例题：单层框架，G=1200KN，=0.05，抗侧移刚 ， ， 度设防， 度K=28000KN/m，8度设防，抗震设计分组为第 ， 度设防 二组，场地覆盖层厚度45m，土层等效剪切波速 二组，场地覆盖层厚度 ， 185m/s，求多遇地震和罕遇地震的水平地震作用。 ，求多遇地震和罕遇地震的水平地震作用。 EI= G=1200KN K=28000KN/m 解（1）根据等效剪切波速： ）根据等效剪切波速： 250 vse = 185 m s 140 而土层覆盖层厚度

51、： 而土层覆盖层厚度： 50 d = 45m 3 故判断该类地基土为 故判断该类地基土为类土 （2）自振周期 ） G m = = 122.45t g m T = 2 = 0.415s K （3）8度，多遇地震时 ） 度 多遇地震时 查表： 查表： max=0.16 类场地，二组时，查表：Tg=0.45s 类场地，二组时，查表： =0.05时，=0.9，1=0.02，2=1.0 时 ， ， 因为Tg（0.4s）T(0.415s)5Tg，由反应谱曲线图 因为 ） 0.9 Tg 0.4 = 2max = 1.00.16= 0.155 T 0.415 水平地震作用： 水平地震作用： 0.9 F = G

52、 = 0.155 1200 = 186kN （3）8度，罕遇地震时 ） 度 罕遇地震时 Tg = T 0.9 查表： 查表： max=0.9 0.9 0.4 2 max = 1.0 0.9 = 0.871 0.415 水平地震作用： 水平地震作用： F = G = 0 . 871 1200 = 1045 . 2 kN 例：已知一水塔结构，可简化为单自由度体系 已知一水塔结构， 见图）。m=10t，k=1kN/cm， ）。m=10t （见图）。m=10t，k=1kN/cm，求该结构的自振周 期。 解：直接由公式，并采用国际单位可得 直接由公式， m 10000 = 2 = 1.99s T = 2

53、 3 2 k 110 / 10 结构同上例， 位于II II类场 例 ： 结构同上例 ， 位于 II 类场 地第二组，基本烈度为7 地第二组，基本烈度为7度（地震 加速度为0.01g） ， 阻尼比 加速度为 ） 阻尼比=0.03， ， 求该结构多遇地震下的水平地震 作用。 作用。 h h T 解；查表， max = 0.08 ；查表， g = 0.4 s 。此时应考 查表， 查表， 查表 虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。 虑阻尼比对地震影响系数形状的调整 0.05 0.05 0.03 2 = 1 + = 1+ = 1.18 0.06 + 1.7 0.06 + 1.7 0.03 0.05 0.

54、05 0.03 = 0.931 = 0.9 + = 0.9 + 0.5 + 5 0.5 + 5 0.03 由地震影响系数曲线 =( Tg 0.4 0.931 ) 2 max = ( ) (1 .18 0.08) = 0.0212 T 1.99 则地震作用 F = G = 0.0212 10000 9.81 = 2079 N 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.2单自由度体系地震反应分析 五 非线性反应分析 当系统的阻尼、刚度随速度、位移变化时， 当系统的阻尼、刚度随速度、位移变化时，运 动方程是非线性的，这时Duhamel积分不再适用。 积分不再适用。 动方程是非线性的，这时 积分不再适用

55、 但不管线性还是非线性， 动平衡” 但不管线性还是非线性，“动平衡”方程都是 FI (t) + Fd (t) + Fs (t) = 0 1） 非线性问题的增量方程 ） 设阻尼力、弹性恢复力和地面运动加速度曲线如图示。 设阻尼力、弹性恢复力和地面运动加速度曲线如图示。 Fd Fd(t) & x Fs(t)F s &g (t ) x &g x t t t+t t & x & & x(t ) x(t + t ) x x ( t) x ( t + t) x 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 五 非线性分析 不随时间变化。 设m，c不随时间变化。并记 r =k(x)x，则运动方程： 不随时间变化 并记

56、f ，则运动方程： m& + cx + k ( x) x = m&g (t ) x & x 方程对时刻t 都成立，则在t 时刻和t 方程对时刻 k-1和tk都成立，则在 k 时刻和 k-1 时 刻方程相减可得： 刻方程相减可得： & m& + cx + k ( x)x = m&g (t ) x x 足够小， 是常量， 只要t足够小，可认为 足够小 可认为k(x)是常量，则方程为： 是常量 则方程为： & m& + cx + kx = m&g (t ) x x 上述为运动方程的增量形式。 上述为运动方程的增量形式。 增量形式 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 五 非线性分析 如果已知 时刻k(t)、位移、速度