第十七章勾股定理在最短路径中的应用

1、开放周校本课程公开课最短路径中的勾股定理A.cm B . 5cm3 5 cm D . 7 cm开课时间：2016年4月19日 星期二开课地点：龙岩初级中学主考办公室 开课人：郭小蔚开课班级：八年级（10 ）班一、教学目标1、知识与技能体验最短路径中的勾股定理的应用过程，会运用勾股定理解决简单最短路径相关问题。2、过程与方法通过最短路径中勾股定理的学习，能够比较熟练地用转化思想、方程思想、数形结合等多种数学思想分析解决问题， 以形助数，以数解形，将数量关系和空间形式巧妙结合 ，使复杂问题简单化 抽象问题具体化，能分析图象，从图象中提取有用信息，进一步提高分析能力、归纳能力与数形结 合能力。3、情

2、感、态度与价值观在分析探索中，让学生体验掌握知识的快乐与体验成功的喜悦，感受数学之美，探究之趣，进 一步提高学生的数学学习积极性。二、教学重点利用勾股定理解决最短路径的 解题过程中，正确地把握数学思想方法三、教学难点转化思想，数形结合等思想的渗透与领悟， 三、教学方法 探究，领悟 四、复习过程：（一）旧知引入，复习回顾：如图，圆柱的底面周长为 6cm, AC是底面圆的直径，高BC=6cm点P是母线BC上一2点，且PC= -BC. 一只蚂蚁从 A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P的最短距离是3（）师生共同分析：先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC =6cm, PC=f BC,求出PC =| x 6

3、=4cm,在Rt AC P中，根据勾股定理求出 AP的长.B解：侧面展开图如图所示，圆柱的底面周长为 6cm,/ AC =3cm,/ PC =3 BC , PC' =3 x6=4cm,在 Rt ACP中，3cmlcmaf2=ac 2+ch, AP- 3242 =5.故选B.练习一：如图是一个三级台阶， 它的每一级的长、宽、高分别为20dm 3dm2dm A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点 B/ /lx处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm.点评：转化思想，由立体图形转化为平面图形，曲线转化为直线。本质:最短问题转化为两点之间线段最短。-1（

4、二）延伸拓展，范例研讨例：一圆柱形 的油罐，如图，要从点 A起环绕油罐 一圈建梯子，正好到 A点的正上方B点，若油罐底 面周长是12m高是5m问梯子最短是多少米？ 解：如图，将圆柱体展开，连接A、B,根据两点之间线段最短，梯子最短是：在 Rt ABC中：AB= J2252B=13m.答：梯子最短是13米练习二：1、如图，在棱长为 1的正方体ABCD-A B' C D'的表面上，求顶点 A到顶 点C'的最短 距离是多少？1、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要（）cm.师生共同分析：要求所

5、用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进 而根据“两点之间线段最短”得出结果.3、如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm（1）如果用一根细线从 点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm?（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm（直接填空）点评：考查了平面展开一一最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾 股定理解决.（三）变式拓展，熟练技能例：在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm.（结果保留n ）解：如

6、图所示，无弹性的丝带从A至C,v AB=2 n cm,丝带绕圆柱一圈 半，展开后相当于 AB ' =3 n , BC=3cm由勾股定理得：AC AB 2 B C2AC=（3二）232=3 .二 21 cm.点评：由立体到平面，由曲线到直线，由整数圈到一圈半的转化。练习三：如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（ 与墙面厂I 1.II 厂 ILIJ.I L和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角 面爬到柜角C处.A处沿着木柜表Wfiiia（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;（2）当AB=4, BC=4, CG=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.（四）能力拓展，解决问题.1如图

7、，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？2、2015资阳中考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部 3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A.13cm B. 2 61cm c. . 61cm D. 2.34cm3、如图，A, B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别是300m和500m两村庄之间的距离为 d （已知d2

8、=400000nf）,现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离 之和最小，问最小值是多少?点评：轴对称作图；平面展开最短路径问题；勾股定理（五）变换拓展，升华变式（2015自贡中考） 如图，在矩形 ABCD中，AB=4, AD=6,E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将 EBF沿EF所在直线折叠得到 EB'F ,连接B'D ,则B'D 的最小值是（）A. 2 10 -2B.6 C.2.J3 _2D.4点评：根据翻折变换的性质，翻折前后图形大小不发生变化， DEB中两边一定，要使 DB'的长度最小即要使 ZDEB'最小（也就是使其角度为 0° ）,此时点B'落在DE上，即E，B' ,D在同一条 直线上，利用勾股定理，即可求出答案。（六）总结反思，情意发展:实际问咂抽繚数学问题解决|利用勾 _已知两边求第.迪股定理 已知一边设未11方程|归类 直箱三翔 形的问题学生思考并归纳：借助勾股定理解决几何体表面的最短路线问题，本质：最短问题转化为两点之间线段最短。基本思路是将立体图形转化为