含解绝对值不等式的几种类型解析

1、含绝对值不等式的几种类型解析(一) 形如|<，|>(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： 当>0时，|<等价于<<；|>等价于>或<； 当=0时，|<无解，|>等价于0 当<0时，|<无解，|>等价于有意义。例1 解以下不等式：(1)|23|>5；(2)3|8|；(3)|1|2；(4)|<1(二) 形如|<|型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|<|<0例2 解不等式|1|>|2+3|(三) 形如|<，|>型不等式这类不等式的简捷解法是等

2、价命题法，即：|<<<|>>或<例3 解下列不等式：(1)|+1|>2； 解：原不等式等价于+1>2或+1<(2)解得>或无解，所以原不等式的解集是|> (2)|26|<3解：原不等式等价于3<26<3即2<<6所以原不等式的解集是|2<<6(四) 形如<|<(>>0)型不等式此类不等式的简捷解法是利用等价命题法，即<|<(>>0)<<或<<例4 解不等式3<|23|<5(五) 形如|<，|>

3、型不等式此类题的简捷解法是利用绝对值的定义，即：|<无解|><0例5 解不等式|>(六) 形如|+|<，|+|>型不等式此类题的简捷解法是利用等价命题法转化，即：|+|<|+|>或(七) 形如|+|<，|+|>（为常数）型不等式常用零点分段法及图像法求解例6 解不等式下列不等式（1）|+2|+|2|<12（2）|4-2|+|+2|+|3-6|<12(八) 含参数绝对值不等式的解法，以下是典型例题思路点拨,例7 关于的不等式|1|5的解集为|32，求的值。思维点拨：按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于值的不确定，要以的不同

4、取值分类处理。解：原不等式可化为46当>0时，进一步化为，依题意有，此时无解。当=0时，显然不满足题意。当<0时，依题意有综上，=2。例8 解不等式|1|<|+|思维点拨：由于两边均为非负数，因此可以两边平方去掉绝对值符号。解：由于|1|0，|+|0，所以两边平方后有：|1|<|+|即有2+1<+2+，整理得(2+2)>1当2+2>0即>1时，不等式的解为>(1)；当2+2=0即=1时，不等式无解；当2+2<0即<1时，不等式的解为<例9 若不等式|4|+|3|<的解集为空集，求的取值范围。思维点拨：此不等式左边含有

5、两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|+|，便把问题简化。解法一 (1)当0时，不等式的解集是空集。(2)当>0时，先求不等式|4|+|3|<有解时的取值范围。令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3<，即27<解不等式组，>1 当3<<4时，原不等式化为4+3<得>1 当3时，原不等式化为4

6、+3<即72<解不等式，>1综合可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是1解法二由|4|+|3|的最小值为1得当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。例10 对任意实数，若不等式|+1|2|>恒成立，求的取值范围。思维点拨：要使|+1|2|>对任意实数恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到1的距离，|2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|2|的几何意义为数轴上点到1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。解法一 根据绝对值的几何意义，设数，1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|PB|