2016数学一模新定义题型

1、新定义题型（2016东城一模）29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为C 的相邻点，直线l为C关于点P的相邻线.（1）当O的半径为1时，分别判断在点D（，），E（0，-），F（4，0）中，是O的相邻点有_； 请从中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程. 点P在直线上，若点P为O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在C的相邻点P，直

2、接写出圆心C的横坐标的取值范围 图1 备用图1备用图229.解：（1）D,E. 2分连接OD，过D作OD的垂线交O于A，B两点. 4分（2）O的半径为1，所以点P到O的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意. 点P在直线上，. 6分（3）. 8分（2016西城一模)29在平面直角坐标系中，对于点和图形,如果线段与图形无公共点，则称点为关于图形的“阳光点”；如果线段与图形有公共点，则称点为关于图形的“阴影点”（1）如图1，已知点，连接 在，这四个点中，关于线段的“阳光点”是 ； 线段；上的所有点都是关于线段的“阴影点”，且当线段向上或向下平移时，都会有上的点成为关于线段的“阳光点”若的长为4，

3、且点在的上方，则点的坐标为 ；（2）如图2，已知点，与轴相切于点若的半径为，圆心在直线上，且上的所有点都是关于的“阴影点”，求圆心的横坐标的取值范围；（3）如图3，的半径是3，点到原点的距离为5点是上到原点距离最近的点，点和是坐标平面内的两个动点，且上的所有点都是关于的“阴影点”，直接写出的周长的最小值（2016海淀一模）29在平面直角坐标系中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的限距点的定义如下：若为直线PC与C的一个交点，满足，则称为点P关于C的限距点，右图为点P及其关于C的限距点的示意图 （1） 当O的半径为1时 分别判断点M ，N ，T 关于O的限距点是否存在？若存在，求

4、其坐标； 点D的坐标为（2,0），DE，DF分别切O于点E，点F，点P在DEF的边上.若点P关于O的限距点存在，求点的横坐标的取值范围； （2） 保持（1）中D，E，F三点不变，点P在DEF的边上沿EFDE的方向运动，C的圆心C的坐标为（1,0），半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P关于C的限距点存在，且随点P的运动所形成的路径长为，则r的最小值为_若点P关于C的限距点不存在，则r的取值范围为_.29解：（1）点M，点T关于的限距点不存在；点N关于的限距点存在，坐标为（1，0）2分点的坐标为(2，0)，半

5、径为1，分别切于点，点，切点坐标为，.3分如图所示，不妨设点的坐标为，点的坐标为，EO，FO的延长线分别交于点，则，设点关于的限距点的横坐标为.当点在线段上时，直线与的交点满足，故点关于的限距点存在，其横坐标满足.5分.当点在线段，（不包括端点）上时，直线PO与O的交点满足或，故点P关于的限距点不存在 .当点与点重合时，直线PO与O的交点满足，故点P关于的限距点存在，其横坐标=1 综上所述，点关于的限距点的横坐标的范围为或=1 6分（2）问题1： 8分问题2：0 < r < 7分（2016通州一模）29. 对于P及一个矩形给出如下定义：如果P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那

6、么称P是该矩形的“等距圆”如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.（1）当P的半径为4时，在P1（，），P2（，），P3（，）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是_；如果点P在直线上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；（2）已知点P在轴上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，如果P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围.29. （1）当P的半径为4时，P1（，），P2（，）； 2分；如果点P在直线上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；解：由题意可知：B（，）、D（，） 发现直线经过点B、D

7、. 3分； 直线与y轴的交点E为（，）， 矩形ABCD且OC=OD.点E到矩形ABCD四个顶点距离相等.PE=4，BFEDOEBF=OD=，OE=EF=1， 4分；EB=ED=2，当点P在x轴下方时，可证DNPDOE，DN=OD=，OE=PN=1，点P的坐标为（，-1）； 5分；当点P在x轴上方时，可证EPMEBF，PM=2BF=，ME=2EF=2，点P的坐标为（，3）. 6分；（2）且m1. 8分.（2016顺义一模）29在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，Q点坐标为（b，-a）；当时，Q点坐标为（a，-b）（1）求（-2，3），（6，-1）的变换点坐

8、标；（2）已知直线l与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；（3）若抛物线与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围29（1）（-2，3）的变换点坐标是（-2，-3），.1分（6，-1）的变换点坐标是（-1，-6）；.2分（2） .4分画图的思路：1由点A，B坐标，求出直线l的解析式；2求出直线l上横纵坐标相等的点C坐标，求出它的变换点的坐标；3在直线l上点C两侧各选一点E，F，求出它们的变换点，；4作射线，.6分射线和组成的图形即为所求（3）或.8分（2016朝阳一模）29在平面直角坐标系xO

9、y中，A（t ，0），B（，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当APB=60°时，称点P为AB的“等角点”（1）若，在点,，中，线段AB的“等角点”是 ；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），OMN=30°线段AB的“等角点”P在直线MN上，且ABP=90°，求点P的坐标；在的条件下，过点B作BQPA，交MN于点Q，求AQB的度数；若线段AB的所有“等角点”都在MON内部，则t的取值范围是 28.解：（1）如图，补全图1 .1分 DBA= .2分（2） 过点P作PEAC交AB于点E 3分 AC=BC， 又， ， 4分 ，=

10、 . 5分（3）求解思路如下：a作AHBC于H；b由C =30º，AC=2，可得AH=1，CH=，BH=，勾股定理可求AB； 6分c由APC=135 º，可得APH=45 º，AP= ；d由APD=C=30º，AC=BC，AP=DP，可得PADCAB，由相似比可求AD的长 7分29.解：（1）C，D .2分 （2）如图， APB=60°，ABP=90°， PAB=30°，又OMN=30°， 3分 P（，1） .4分 BQAP，且APB=60º，PBQ=30º.ABQ=60º.BMQ =

11、MQB=30º. 5分BQ = BM =AB.ABQ是等边三角形. AQB=60º. 6分 同理，当点N在x轴下方时,可得P（，1），AQB=90º. 7分 . 8分（2016房山一模）29.在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2 ，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方

12、形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形. （图1） （图2）（1）如图1，点A（-1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）. 如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是 ； 如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值 ； （图3 ） （图4）（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2-2x-3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积以及点P的横坐标x的取值范围；（3）如图4，已知点E（m，n）在函数（x>0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外

13、延正方形的边长为，请直接写出的取值范围. 29.解：（1） 16 ； -2分 5或-1 ； -3分（2）以ON为一边在第一象限作正方形OKIN，如图3 点M在正方形OKIN的边界上，抛物线一部分在正方形OKIN内，P是抛物线上一点， 正方形OKIN是点M，N，P的一个面积最小的最佳外延正方形 点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值是16； 点M，N，P的最佳外延正方形的面积S的取值范围是：S16 -5分 图3 满足条件的点P的横坐标的取值范围是3 -6分（3） -8分（2016丰台一模）29. 如图，点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a x

14、 b时，有-1 y1 - y2 1成立，则称这两个函数在a x b上是“相邻函数”，否则称它们在a x b上是“非相邻函数”. 例如，点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 x -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究它在-3 x -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 y 1，所以-1 y1 - y2 1成立，因此这两个函数在-3 x -1上是“相邻函数”.（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在2 x 0上是否为“相邻函

15、数”，并说明理由；（2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 x 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y =与y =2x + 4在1 x 2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值.29解：（1）是“相邻函数”. - 1分 理由如下： ，构造函数.在上随着的增大而增大，当时，函数有最大值1，当时，函数有最小值-1，即. - 3分即函数与在上是“相邻函数”.（2），构造函数.,顶点坐标为.又抛物线的开口向上，当时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，即，函数与在上是 “相邻函数”，即. - 6分（3）的最大值是2，的最小值1. - 8分 （2016门头沟一模）29如

16、图1，P为MON平分线OC上一点，以P为顶点的APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2，我们就把APB叫做MON的关联角图1 图2 图3（1）如图2，P为MON平分线OC上一点，过P作PBON于B，APOC于P，那么APB MON的关联角（填“是”或“不是”）（2） 如图3，如果MON=60°，OP=2，APB是MON的关联角，连接AB，求AOB的面积和APB的度数； 如果MON=°（0°°90°），OP=m，APB是MON的关联角，直接用含有和m的代数式表示AOB的面积（3）如

17、图4，点C是函数（x0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出AOB的关联角APB的顶点P的坐标 图429（本小题满分8分）解：（1）是1分（2） 如图，过点A作AHOB于点HAPB是MON的关联角，OP=2，OA·OB=OP2=4在RtAOH中，AOH=90°，SAOB， 3分APB是MON的关联角，OA·OB=OP2，即点P为MON的平分线上一点， AOP=BOP=AOPPOBOAP=OPBAPB=OPB+OPA=OAP+OPA=180°30°=150°5分 SAOB6分 （3）

18、P点的坐标为，8分（2016平谷一模）29对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示例如，当，时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，点O与线段AB的“密距”为，“疏距”为；线段AB与COD的“密距”为，“疏距”为；（2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，以为圆心，1为半径作圆，当C与线段EF的“密距”0<d<1时，求C与线段EF的“疏距”

19、f的取值范围备用图29解：（1）；4；2；4（2）当点F在y轴的正半轴时，如图1，EG=1，则EP=2， 当d=0时，f=2；5当d=1时，由OP=1，得到OE=，OF=2，f =2+2，2<f<2+2.6当点F在y轴的负半轴时， 当d=0时，如图2，f=+1；7当d=1时,如图3，QH=1，则PH=2，RtPHFRtOEF，PF=，OF=+1，+1<f<+1.综上所述，当0<d<1时，当点F在y轴的正半轴时，2<f<2+2，当点F在y轴的负半轴时，+1<f<+1.8（2016怀柔一模）29给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1

20、上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离” 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（-4， 3），B（-4，-3），C（4，-3），D（4， 3）(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”(2)设直线（b>0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离” ；(3)在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形G

21、HMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 29.解：（1）画图. 1分 “近距离”是 8 . 2分“远距离”是 10 . 3分（2）当EF在矩形ABCD内部时,“近距离”=1,F（0,2）.把F（0,2）代入中,b=2.直线EF的表达式为.E（，0）.EC=,FC=，FC >EC“远距离”为 5分当EF在矩形ABCD外部时,由题意可知:E（，0）， F（0,10），EC=, FC=FC >EC远距离”为 6分综上所述,“远距离

22、”为或 （3）最大值是 7 7分 最小值是 1 8分（2016大兴一模）29. 设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值和它对应，那么就说是的函数，记作.在函数中，当自变量时，相应的函数值可以表示为.例如：函数，当时，在平面直角坐标系中，对于函数的零点给出如下定义：如果函数在的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且，那么函数在的范围内有零点，即存在（），使=0，则叫做这个函数的零点，也是方程在范围内的根.例如：二次函数的图象如图所示观察可知：，则.所以函数在范围内有零点. 由于，所以，是的零点，也是方程的根.(1) 观察函数的图象，回答下列问题： _0（“”“”

23、或“=”） 在范围内的零点的个数是 _. （2）已知函数 的零点为 ， 且 .求零点为 ， (用a表示)；在平面直角坐标中，在轴上A, B两点表示的数是零点 ，点 P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在 轴上方作等边APM和等边BPN，记线段MN的中点为Q，若是整数，求抛物线的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围.29.（1） ； 1分1个 2分（2） x1、x2是零点 令.方程可化简为 .解方程，得 或. x1 < x2 ， ，. 4分 x1 < 1 < x2 ， . . a是整数， a = 0 ，所求抛物线的表达式为. 5分线段PQ的长的取值范围为： PQ

24、1. 8（2016延庆毕业）28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6）（1） 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ； 如果点A（3，1），B（1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数的图象上，那么这个点是 （填“点A”或“点B”）（2）点（1，2）的“妫川伴侣”点M的坐标为 ； 如果点（m+1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N的“妫川伴侣”，求点N的坐标（3）如果点P在函数（2xa）的图象上，其“妫川伴侣”Q的纵坐标y的取值范围是4y4，那么实数a的取值范围是 28. 解：（1）（2，1）；1分 点B2分