弹性力学简明教程全程导学及习题全解

1、1-7试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向题1 7图注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴 正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标 轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负（a1体力和面力Nh）体力和应力1-8试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向箱】-a图解i - 8图2-7在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程 的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是: 物体的连续性，小变形和均匀性。

2、在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程 都适用。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹 性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应E，i上换为力问题的物理方程中的E换位1一口，1一卜，就得到平面应变问题的物理方程。2-8试列出题2-8图（a）,题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部 边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。【解】（1）对于图（a）的问题在主要边界x=O,x=b上，应精确满足下列边界条件：（-x）xz0 = -Dgy,

3、（ xy）x2 =0；（二x）x 白=Dgy,（ xyM产°。在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：（"-'y） y 卫=-，ghi,（ yx） - 0o在小边界（次要边界）y=h2上，有位移边界上条件：（u）y2 =0,（v）y =°。这两 个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚6=1时，b° By）y也 dx= pg（h1 +h2）b,b« j° （Oy）yxdx = 0, b"yx）y±dx = 0。小小加1/时如（2）对于图（b）所示问题在主要边界

4、y=±h/2上，应精确满足下列边界条件:(、y) y 占/2 = 0,(二 y)yf/2 = -q，(-yx)y /2 - -qi；(yx'f/Z = 0°在次要边界x=0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1 =1 时,h/2“(二 x)x/y = -Fn,h/2/2 (二xydy =-M ,h/2.±/2 ( xy)x=Qdy = -Fs。在次要边界x=l上，有位移边界条件：(u)x=O,(v)x =0°这两个位移边界条件 可以改用三个积分的应力边界条件来代替'h/2Jq/2(仃x)x=Ldy =qj - Fn ,h/

5、2q1lhql2* t/2(trx)xydy = 丁一M -Fsl)h/2fJ1/2(y)x=tdy = -ql -Fso2-9试应用圣维南原理，列出题 2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应 力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？题"9图【解】(1)对于图(Fn =qb/2Fs=0a),上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为b qx /b2 .(x)dx = -qb /120 b 20应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚6=1时,r bj0 9y)y/x = qb/2,0(7y)yz0xdx=qb2.12,b;2J_b.2(Tyx)y=0dx =0&

6、#176;(2)对于图(b),应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚6=1 时，r bj0(Oy)y“x = -qb/2,b, 、 , 、 2 八0(cy)yz0xdx=qb 12,bj0 (Tyx)y=0dx =0o所以，在小边界OA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问 题为静力等效的。2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解】(1)用位移表示的平衡微分方程E c2u 1 - c2u 1 + R c2u (-2 +2 +1ex2cy2exeyE (f2v .-,、. 1；：2u 1 - J2fy22；x22；x.y(2)用位移表示的应力边界

7、条件)fx =0)fy =0-y1 -口 ：:u；:v I m(): fx2cyex x/ fvL Fu、1 - J Fv fU|m(十 口)+l( +)byex2 ox oy=fyx(3)位移边界条件(U)s =U,(V)s =Vo(在 8b 上)2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么?【解】(1)平衡微分方程至十至x女cyI 6。 exy xyJ y :xfx =0，fy - 00(2)相容方程”(二x )(推力)"w 0(3)应力边界条件(假定全部为应力边界条件，s 二 s二(l-x m.yx) = fx, -Jmiy +kxy) = fy。/(在 s=s仃

8、上)(4)若为多连体，还须满足位移单值条件。2-13检验下列应力分量是否是图小问题的解答:2y-一 :%二7rq，Oy = xy =0M 丁 y，xybl (取梁的厚度b=1),(a)题 2-13 图(a), b。(b)题2-13图(b),由材料力学公式, 得出所示问题的解答：32x y3qx2 / 2、；-x = -2q 3-, xy3 (h -4y )lh4lh0又根据平衡微分方程和边界条件得出3 .3q.& 2q xy _qx 2 lh q lh321。试导出上述公式，并检验解答的正确性。【解】按应力求解时，(本题体力不计),在单连体中应力分量3户y,%y必须满足：平衡微分方程、

9、相容方程、应力边界条件(假设 s=s。)。2x =Z2q，cy(1)题 2-13 图(a), bxy = 0相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式(2-23)：2;：22q(-t)G )=召=0:x二 yb不满足相容方程。平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程££x： yx:x:y、y . xy二 V显然满足-X 应力边界条件：在x = ±a边界上,2，、 y(-x) x . -a 2 q,( xy ) x. -a = 0 一一 b一一在y =±b边界上,(仃 y)y 4b =0,( %x)ywb = 0。满足应力边界条件。(2)题2-13图(b),由

10、材料力学公式,My，xyFSSSbl (取梁的厚度b=1),3x y- x 二 - 2 q 3" , xy得出所示问题的解答：lh3qx3(h2 -4y2),、41h。又根据平衡微分俄方，二y程和边界条件得出3q xy1h3一哈qx21。试导出上述公式，并检验解答的正推导公式：在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形,梁横截面是宽度为1,高为h的矩形，其-IZ对z轴(中性轴)的惯性距h312 ,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和2M (x) = -qx3, FS(x) = q- 剪力方程分别为6121 o所以截面内任意点的正应力和切应力分别为M (x)y - x3y二 x 二 二-2q T

11、Izlh33Fs(x)xy 2bh,2c 24y3q x 2 / 2、(1 -)3(h -4y )h24 lh30根据平衡微分方程的第二式(体力不计):x得到3q xy2 Ih-2qxyIh根据边界条件（"）士二0,AX所以3q xy2 Ih相容条件：将应力分量代入相容方程吗二。lh3。不满足相容方程。平衡方程：将应力分量代入平衡微分方程显然满足应力边界条件：在主要边界y=±h/2上，应精确满足下列边界条件:(_，y) y z=-h/2qxi(yx) y 必/2 = 0。(；-y)y +/2 = 0,(yx) y 土/2 = 00自然满足。在x=0的次要边界上，外力的主矢量

12、，主矩都为零。有三个积分的应力边界条件:h/2,"x)xfdy = 0,h/2,4i/2(-x)xydy =0,h/2,_h/2( xy)x=0 dy = 0在 x=l 次要边界上，（u）x4=0，（v）x4=0。 这两个位移边界条件可以改用积分的应 力边界条件来代替h/2I”（二 x）xdy =h/2x3y-2q -4 dy = 0,/2lh3h/2h/2/2（；Cy =/232o x y , ql-2q 3- ydy =- lh36qlO22-15设已求一点处的应力分量，试求-1,-2,1 1 .3h/2h/2 3q x y 22/2（ xy）x/dy =/2-十S（h -4y）

13、dy所以，满足应力的边界条件。显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。（a）（b）二x =200,、 =0, xy - -400;【解】向：tan 二 1根据教材中式（2-6）和xy可分别求出主应力和主应力的方（a）二 x =100，0 y =50, xy =10 屈;二1二 2100 50100 -50 22-（2）（10 50），tan ： i二1 -八xy150-100一 二0.707。10.50二1 =150,二2 " : 1 -3516（b）二x =200，0 y =0, xy 400；:200 02.200

14、-0 22（一） （ -400）,tan ： 1Txy512 -200-400二x =100,、 =50, xy =10,50；二 1 =512,02 - -312, ： 1 =-37：572-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F,如题2-17图所示,体力不计，试根据材料力学公式，写出弯应力 葭和切应力”xy的表达式，并取挤 压应力=0,然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明, 这些表达式是否表示正确的解答。【解】(1)矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为M(x) = -Fx ,h3Iz :横截面对z轴(中性轴)的惯性距为12 ,根据材料力学公式，弯应力

15、xyM (x)y 12F xyh3Iz3Fs(x)2h;该截面上的剪力为Fs(x)=-F，剪应力2 2M 4y_. _ 6F zh_ 2、h2 一 lh3 4 y ；并取挤压应力0y =0。(3)、 x：xCtJy经验证，上述表达式能满足平衡微分方程二, yx:y二 xyfx =0,fy -00也能满足相容方程-2-2(D(二x )=-(1)(3Ffy)=0 勾 。再考察边界条件:士”2的主要边界上，应精确满足应力边界条件:ybzh/2 =0,Oy 小/2 = 0, 能满足。(yxbzh/2 =0；(yx)y-h/2 = 00在次要边界x=0上，列主三个积分的应力边界条件:h h/2L(%)x

16、/y=ah/2.上/2(二 x)x 卫ydy =0,h/232 sxy)x.y=0。I满足应力边界条件。在次要边界x=l ,列出三个积分的应力边界条件:h/2h/2 12F/2(Qrx)x=tdy =一1/2T 1ydy =0,_h / 2_h / 2 八h/2h/2 12F o,LOx4 ydy = -1/2 铲 1y dy = -Fl,2h/2h/2 6F h22L/2(%)x=tdy=-L/2 垢(1-y )=-F。满足应力边界条件。因此，它们是该问题的正确解答。一，2233-2取满足相容方程的应力函数为：0m=ax y,(2)B =bxy ,(3)中=cxy试求出应力分量(不计体力)，

17、画出题3-2图所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边 界上表小出面力的主矢量和主矩。hil0 加工T._ y 时觊 T 2 ¥|【解】(D应力函数6=ax2y,得应力分量表达式二x =0,；=y =2ay, xy = yx - -2axo在主要边界y=±h/2上，即上、下边，面力为(二 y)y=h2 =： ah,( yx)y = h 2 - 'x在次要边界x=0,x=l上，面力的主矢量和主矩为r h/2M/28x)xdy = °，h/2.上/2(二 x)x 且 ydy =°，h/2L/2Gxy)xdy = °。h/2/20x)xdy=&

18、#176;，h/2/2Ox)x± ydy = °，h/2h/2/2( xy)x工dy = -5/22a1dy = -2a1h。弹性体边界上的面力分布及在次要边界x=0，x=1上面力的主矢量和主矩如解3-2图(a)所示。2(2)应力函数二”丫，得应力分布表达式二x 二2bx，二 y 二°，xy =Kyx - -2by o在主要边界y=±h/2上，即上、下边，面力为 (二y)y-二h2 = °，(.yx)y ：h 2 =+bh。在次要边界x=°,x=1 ±,面力的主矢量和主矩为h h/2L8x)xTdy=°，h/2，L

19、/29x)x=°ydy=°，h/2h/2h/2h/2“(: x)x/y ="/22bldy=2lh,h/2h/2“(Dxy = .*/2 2b1ydy =0,h/2h/2、/2( xy/必= -522bydy = 0。L/2 (Txy)x=0dy = -L/2 2bydy = 0弹性体边界上的面力分布及在次要边界X 二°，x F上面力的主矢量和主矩如解3-2图(b)所示。(4)应力函数=8丫3,得应力分量表达式2-x =6cxy，；- y 二°，xy "yx - -3cy在主要边界y=±h/2上，即上、下边，面力为3 ,2(

20、；-y)y=h2 = 3chx，( yx)y = h2 =Ch在次要边界X'QxR上，面力的主矢量和主矩为h/2Ux)xwdy=O，h/2/2(二x)x 卫 ydy =0，h/2h/22C 3LxyLdy-cydy "h/2h/2t/28x)x1y = J26clydy = 0，一 3h/2h/29 clh3工/2 0山丫= J2 6cly dy=,3h/2h/29ch3/2(-y)x4dy = -L/23Cydy = - -<弹性体边界上的面力分布及在次要边界X = 0, X = 1上面力的主矢量和主矩如解3-2图(c)所示：D =-F xy(3h2 -4y2)3-3

21、试考察应力函数2h能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力)，画出题3-3图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面 力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。解3-3出【解】(1)相容条件f4 守i4:'?i;4:。将9代入相容方程取4(2)应力分量表达式2:x cy二 y二0,显然满足。12Fh3xy，二 y =0, xy3F2h(1-4yh24y2h2)=0(3)边界条件：在丫=±巾2的主要边界上，应精确满足应力边界条件一、c3F'y)y=h2，yx -2h (1在次要边界xnQxR上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件h/2(a)_h

22、/2C:- x)x-o,idy -0一 ?h/2h/2L29x)xq ydy =0 %/2 8x)xydy = -Fl,附h/2"yLidy(c)对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式(a)、 (b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性 变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂梁在自由端受集 中力作用的问题。4-2试导出极坐标和直角坐标系中位移分量的坐标变换式。【解】参看图，位移矢量是服从几何加减运算法则的。位移矢量为d,它在(x,y)和(巳*)坐标系中的分量分别表示为(u,v汴WuPu,所以u ： = u

23、cos：； ' +vsin :iu - -u sin : vcos :/ 、L(a)写成矩阵形式(b)upl cos中 sin 中 I u I u(p一sin中 cos中v所以u cos ：；： -sin " / u pIsin 中cos中 J|ucpjJ 1c)若写成一般形式，则位移分量的变换关系为u = u ：cos P -u . sin ,v = u :sin : u . cos :或u p = u cos : vsin :, u - -u sin : vcos : o4-14设有一刚体，具有半径为 R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒，圆筒受内压力为

24、q,试求圆筒的应力。【解】本题为轴对称问题，故环向位移 胸二0,另外还要考虑位移的单值条件。（1） 应力分量引用轴对称应力解答，教材中式（4-11 ）0取圆筒解答中的系数为 A,B,C,刚体解 答中的系数为A；B；C；由多连体中的位移单值条件，有B=0 ,（a）B' = 0。（b）现在，取圆筒的应力表达式为A 一A 一-：=2C:= 一? 2c1 ,产 。（c） 刚体的应力表达式A . . A 二。2C,:- - -2 2C。(d)考虑边界条件和接触条件来求解常数 A，A ：C，C和相应的位移解答首先，在圆筒的内面，有边界条件 8向阳二-q,由此得 与 2c =qr。（e）其次，在远离

25、圆孔处，应当几乎没有应力，于是有（二：）：二-。，（二）：二二0由此得2c =0 (f)再次，圆筒和刚体的接触面上，应当有 （二：）陛=（二：）：建AR22C于是有式（c）及式（d）得A 2=2C R2（2）平面应变问题的位移分量应用教材中式（4-12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达 刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即 “咫=（以语=。A2(122)CPAI cos ： K sin(h)将式（h）和式（i ）代入，得1+.A2（1 -2 J）CR - Icos : K sin = 0方程在接触面上的任意点都成立,中取任何值都成立，方程两边的自由

26、项必须相等，于是得1 J , A2（1-2）CR-r =0简化并利用式（f）,得a=2（1-2）cr2o （3）圆筒的应力把式（j ）代入式（e）,得,222A （1-2）qrR CqrAC（1 -2）R2 r22 （1 -2）R2 r2 ， 一 圆筒的应力为1 -2工1-2_：2 铲 _：2-R“：= 1 _2,1 q " = 1 _21 q I 1 3="0,%=q,如该处r2 R2r2R24-15在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为 有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。mTnjTmn4- li 图【解】（1）求出两个主应力，即原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉

27、力q而在上下两边受均布压力q,如图所示。应力分量ox=q2y =一qxy=0代入坐标变换式，教材中式(4-7),得到外边界 上的边界条件(dRR=qcos2cp(a)(7 仲)p以 =-qsin 2cp(b)在孔边，边界条件是(CT 日电=0( C)("D：b =0(d)由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见，用半逆解法时，可假设 "P为0的某一函数乘以cos2中 ,而e伸为。的另一函数乘以sin 25o而1 通 1 52 中:-: 13：,仃 P=+-2 2"， E 仲= () 0："：匚 :二:：因此可假设：，=f ( P)cos 2 : o

28、将式(e)代入相容方程，教材中式(4-6),得d4f(D) 2d3f(D) 9 d2f(D) 9df(D)ccos 4-+3 22- + -3 1=0。| d P4： d ：: d ：1 d:删去因子cos2*以后，求解这个常微分方程，得f(：)=A：4 B 73 C -D2 ,其中A,B,C,D为待定常数，代入式(e),得应力函数=cos#(AP4 +BP3 +C +-D2),由应力函数得应力分量的表达式4C 6D:二 d - -cos2 (2B 才)一一 2C =cos2(12A： 2B.;?.： = sin2 (6A：?3 2B6D、E2C 6D一尸 一）将上式代入应力边界条件 由式（a

29、）得2B4C 6D由式（b）+R2得Lq3 2C 6D6AR 2B - -4 = -qR2 R4(g)(h)由式（c）2B4C覆 w6D=0 (i)由式（d）得6Ar3 2B -2C 6D=0 (j)联立求解式（g）(j),并命Lt 0,得RqA=0,B ,C22 _=qr ,D将各系数值代入分量的表达式，得r r;二 d -qcos2 (1 -3)(1 -3)2一一 J 、c- = -q cos2 (1 3-)七仰=fqp= -qsin 2 中(1 一2-r)(13')沿着孔边D = r ,环向正应力是仃甲=-4qcos2中o最大环向正应力为（-）max 一 4q。6-2如题6-2图

30、所示一平面平应状态下的三结点等边三角形单元，其边长为 a, N =1/6。（1）试求出应力转换矩阵S及单元劲度矩阵k。（2）试求出k中的每行之和及每列之和，并说明原因。（3）设单兀发生结点位移U = U j = Um = 1，M = Vj = % =。,或发生结点位移Ui =Uj =V =0,Vj =1,Um =-6/2, Vm =1/2 ,试求单元中的应力，并说明其原因。设该单元在jm边上受有线性分布的压力，其在 j点及m点的集度分别为 qj和qm,试求等效结点荷载。题国-2图【解】（1）在所选的坐标系中1x =0,xj = a, xm = 2 a, 、，c、，3.yi - 0,yj - a

31、, ym _ a03bi =一万1一 3 一八a, bj =a,bm = 0,21应用教材中式（6-19）及（6-20）,得G = -a,Cj = -a,Cm =a,2 23 2A 二 a o2应用教材中式（6-32）和（6-33）,得该单元的应力转换矩阵- -1818-7302nS=-E-| -3-6 志3-6百01273（a）35a_-2.573-7.5-2.5737.55x/30 j应用教材中式（6-37）及（6-38）,得单元的劲度矩阵2131Et k 二3541巧 82115153.3与通20673（2）求得式（b）中每一行（或列）的元素之和为零（其第一、三、五个元素之 和或第二、四

32、、六个元素之和也为零）。因为k中的每一个元素都表示，发生单位结点位移时所引起的结点力。而 各个节点的位移都相同，说明单没有发生形变，即不会引起结点力。（3）设单兀发生结点位移Ui =Uj =Um=1,Vi =Vj =Vm=。,此时，单元作平移，贝1三角形内不产生应力和应变，从而结点力为零；但单元发生结点位移Ui =Uj =Vi =0,Vj =1,Um = -由,。,Vm =1/2 ,单兀作转动，从而结点力也为零。（4）单元在jm边上受有线性分布的压力，在j点及m点的集度分别为qj和qm（可假设qjhm）,此时，相当于有均布荷载qj和三角形分布荷载（在j点集度为0, m点集度为qm -qj）同时作用在jm边上。 在均布荷载qj的作用下，x方向的均布面力为-qj ; y方向的均布面力一 1为-qj。由教材中式（6-45）求得的结点何载为ixLF1mrljALJq-3-2ds mN jm 一 ALJ qV52-XI m fl ds，JN jm hL1 .一 , L1 ,一 , L1, 一,FLiyi =-丁状（mNids,FLjyi "aqjt'NjdsFLmyi =”jt "Nmds 应用教材中式（6-22）中的第二式及式（6-21）中的第三式，得一1 一 1N Nids=0j Njds= 1 Nmds= ij= a。- jm i- jm j