331几何概型(1)

1、几何概型（1）复习复习n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点: :（1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个; ;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的）每个基本事件发生都是等可能的. .1 1. .取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在任意位的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm10cm的的概率有多大？概率有多大？从从30cm30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断. .基本事件基本事件: :问题情境问题情境 2 2. .射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五

2、个彩色的分环. .从外向从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色, ,金色金色靶心叫靶心叫“黄心黄心”. .奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭, ,假设假设每每箭都能中靶箭都能中靶, ,且射中靶面内任一点都是等可能的且射中靶面内任一点都是等可能的, ,那那么射中黄心的概率是多少么射中黄心的概率是多少? ?射中靶面直径为射中靶面直径为122cm122cm的的大圆内的任意一点大圆内的任意一点. .这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢这

3、两个问题能否用古典概型的方法来求解呢? ? 怎么办呢怎么办呢? ?基本事件基本事件: :问题情境问题情境3 31 1A A) )事事件件A A发发生生的的概概率率P P( (0 0. .0 01 11 12 22 24 41 11 12 2. .2 24 41 1( (B B) )事事件件B B发发生生的的概概率率为为P P2 22 2事事件件B B发发生生. .的的黄黄心心内内时时, ,c cm m1 12 2. .2 2 4 41 1而而当当中中靶靶点点落落在在面面积积为为的的大大圆圆内内, ,c cm m1 12 22 2 4 41 1为为面面积积由由于于中中靶靶点点随随机机地地落落在在

4、黄黄心心”为为事事件件B B, ,对对于于问问题题2 2. .记记“射射中中2 22 22 22 2对于问题对于问题1. 1.记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于10cm”10cm”为事件为事件A. A. 把绳子三等分把绳子三等分, ,于是当剪断位置处在中间一段上时于是当剪断位置处在中间一段上时, ,事件事件A A发发生生. .由于中间一段的长度等于绳长的由于中间一段的长度等于绳长的1/3.1/3. 对于一个随机试验对于一个随机试验, ,我们将每个基本事件理解为从某我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点个特定的几何区域内随机地取一点, ,该区域中的每一个点该区域中

5、的每一个点被取到的机会都一样被取到的机会都一样, ,而一个随机事件的发生则理解为恰而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点好取到上述区域内的某个指定区域中的点. .这里的区域可这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等以是线段、平面图形、立体图形等. .用这种方法处理随机用这种方法处理随机试验试验, ,称为称为几何概型几何概型. .几何概型的特点几何概型的特点: :(1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个;( (2)2)基本事件发生是等可能的基本事件发生是等可能的.建构数学. .D D的的测测度度d d的的测测度度P P( (A A) ) 一般地,在几何区域D

6、中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:注:(2(2)D)D的测度不为的测度不为0 0, ,当当DD分别是线段、平面图形、立体图形分别是线段、平面图形、立体图形时时, ,相应的相应的“测度测度”分别是长度、面积和体积分别是长度、面积和体积. .（1 1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；件只有有限多个；（3 3）区域应指）区域应指“开区域开区域” ” ，不包含边界点；在区域，不包含边界点；在区域 内

7、随机取点是指：该点落在内随机取点是指：该点落在 内任何一处都是等可能的，内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关状位置无关DD 下图是卧室和书房地板的示意图，图中下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？黑砖上的概率大？卧卧 室室书书 房房试一试试一试例例1.1.取一个

8、边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，随机的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率. .2a事事件件A A, ,记记“豆豆子子落落在在圆圆内内”为为: :解解.4 4豆豆子子落落入入圆圆内内的的概概率率为为答答4 44 4a aa a正正方方形形面面积积圆圆的的面面积积P P( (A A) )2 22 2 1 1. .在在1 1万平方公里的海域中有万平方公里的海域中有4040平方公里的大陆贮平方公里的大陆贮藏着石油藏着石油. .假如在海域中任意一点钻探假如在海域中任意一点钻探, ,钻到油层面钻到油层面的概率是多少的概率

9、是多少? ?练习练习: :2 2. .如右下图如右下图, ,假设你在每个图形上随机撒一粒黄假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆豆, ,分别计算它落到阴影部分的概率分别计算它落到阴影部分的概率. .例例2.2.两根相距两根相距8m8m的木杆上系一根拉直绳子的木杆上系一根拉直绳子, ,并并在绳子上挂一盏灯在绳子上挂一盏灯, ,求灯与两端距离都大于求灯与两端距离都大于3m3m的概率的概率. .解：记解：记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于3m”3m”为事件为事件A A，41 8 82 2A A) )事事件件A A发发生生的的概概率率P P( (由于绳长由于绳长8m8m，当挂灯位置介于中间，当挂灯位置

10、介于中间2m2m时，事件时，事件A A发生，于是发生，于是1.1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于听电台整点报时，求他等待的时间短于1010分钟分钟的概率的概率. .2.2.已知地铁列车每已知地铁列车每10min10min一班一班, ,在车站停在车站停1min.1min.求乘客到求乘客到达站台立即乘上车的概率达站台立即乘上车的概率. .打开收音机的时刻位于打开收音机的时刻位于5050，6060时间段内时间段内则事件则事件A A发生发生. . 由几何概型的求概率公式得由几何概型的求概率公式得 P P（A A）= =

11、（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6 即即“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/6.1/6.变式练习变式练习: :解：记解：记“等待的时间小于等待的时间小于1010分钟分钟”为事件为事件A A，例例3.3.在在1L1L高产小麦种子中混入了一粒带高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病麦锈病的种子的种子, ,从中随机取出从中随机取出10mL,10mL,含有麦锈病种子的含有麦锈病种子的概率是多少概率是多少? ?一一事事件件记记为为A A. .则则其其中中“含含有有病病种种子子”这这取取出出1 10 0m ml l麦麦种种, ,: :解解. .1 1

12、0 00 01 1为为含含有有麦麦锈锈病病种种子子的的概概率率答答1 10 00 01 11 10 00 00 01 10 0所所有有种种子子的的体体积积取取出出种种子子的的体体积积P P( (A A) )11111111ABCDABC DABCDABC D变式练习：已知正方体内有一内切球，则在正方体内任取一点M，点M在球O的概率是用几何概型解简单试验问题的方法用几何概型解简单试验问题的方法1 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；型求解；2 2、把基本事件转化为与之对应的区域、把基本事件转化为与之对应的区域DD；3 3、把随机事件、把随机事件A

13、 A转化为与之对应的区域转化为与之对应的区域d d；4 4、利用几何概型概率公式计算。、利用几何概型概率公式计算。注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。练习练习1.在长在长12cm的线段的线段AB上任取一点上任取一点M，并以，并以AM作为边长，则正方形面积介于作为边长，则正方形面积介于36cm2与与81cm2之间的概率是之间的概率是_1/4 练习练习2：在正方形：在正方形ABCD内随机取一点内随机取一点P，求，求APB 90的概率的概率BCADP22)2(21)(aaDdAP 的测度的测度的测度的测度.8 APB 90？. 00)(2 aDdBP的测度的测度的测度的测

14、度概率为概率为0 0的事件可能发生！的事件可能发生！P(B)=0,不表示不表示B中没有元素，它只是概率为零，中没有元素，它只是概率为零，B不一定就是空集，只是说它发生的概率很小。不一定就是空集，只是说它发生的概率很小。课堂小结课堂小结1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别. .相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个. . 2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式. . . .、体积)、体积)D的测度(长度、面积D的测度(长度、面积、体积)、体积)d的测度(长度、面积d的测度(长度、面积P(A)P(A)3.3.几何概型问题的概率的求解几何概型问题的概率的求解.