二次根式一元二次方程复习——学案

1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级 课 时 数： 3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 周志苹授课类型T二次根式T一元二次方程授课日期及时段教学内容 1、理解二次根式的概念和性质，会利用二次根式的性质进行有关化简运算 2、进一步巩固最简二次根式、同类二次根式 3、熟练二次根式的加、减、乘、除、乘方及混合运算 1、代数式叫做二次根式。仍然读作“根号a”，其中a为被开方数。 2、有意义的条件是。 3、二次根式的性质： 性质一：= ；性质二： = ； = = ；性质三： ；性质四： ；一般地，设，那么 类似的，设，那么 4、把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化

2、去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”5、通常把形如的式子也叫做二次根式6、如果二次根式中被开方数是分式（或分数），那么可以化去分母。方法是将分子和分母同乘以一个不等于零的代数式，使分母变成完全平方式，再将分母用它的正平方根代替后移到根号外面做新的分母7、被开方数同时满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式（1）被开方数中各因式的指数都为1（2）被开方数不含分母8、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式【典例分析】例1、概念和性质的应用：1、有意义的条件是 （被开方数形式作变式练习）变式练习：若x是实数，下列各式中一定是二次根式的是（）A

3、B C D变式练习：若实数a满足+a=0,则a的取值范围是 。变式练习：若 成立，则a的取值范围是 ；变式练习：使有意义的x的取值范围是 。变式练习：若|1x|2x5，则x的取值范围是 。变式练习：如果，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2、化简： a c0bX变式练习：设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：变式练习：已知a为实数,化简, a, 变式练习：已知，化简二次根式的正确结果为（ ）变式练习：如果a<b ，那么等于（）A(x+a) B(x+a) C(x+a) D(x+a) 变式练习：把根号外面的因式移入根号内得_3、代数式的值等于（ ） A. 非正数B. 负数C.

4、 0D. 正数变式练习：已知x、y为实数，且，则（ ） A. B. C. 4D. 12变式练习：若为实数，且，那么的值是（ ）A. 4B. C. D. 4变式练习：已知。变式练习：已知均为实数且与为相反数，则_。变式练习：若则下列各式中是化简所得的正确结果为（ ）A、 B、 C、 D、例2、同类二次根式：1、若二次根式与是同类二次根式，则a=变式练习：已知最简二次根式与是同类二次根式，则a= ，b= 。变式练习：最简二次根式与是同类二次根式，则a，b；2、下列各组中是否是同类二次根式，为什么？（1） （2） （3） （4）例3、把下列各式分母有理化：（1） （2）变式练习：已知的值等于（ ）

5、A. B. 0C. D. 变式练习：若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式练习：若，即么a、b的关系是（ ） A. B. C. D. 变式练习：若，则的值为 （ ） A B C D变式练习： 。例4、计算： （一）含二次根式的一元一次方程及不等式例5、解方程或不等式: （二）有关二次根式的化简求值：例6、先化简，再求值：，其中变式练习：已知a，b，求a25abb2的值变式练习：设的整数部分为，小数部分为，求22的值变式练习：已知的值。变式练习：已知的值。变式练习：先观察解题过程，再解决以下问题：比较与的大小。解： （1） 比较与的大小。（2） 试比较与的大小。变式练习：比较下

6、列各组里两式的大小；（1）5 （2）1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax2bxc0（a0），才能确定a、b、c的值。2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法： （2）配方法：（3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷

7、些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。3. 一元二次方程根的判别式 根的判别式b24ac的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。4. 一元二次方程根与系数关系。 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算

8、量，避免进行无理数的计算。 5. 分式方程的解法一般有两种：即去分母法和换元法。解分式方程时，需要将方程的两边同时乘以各分式的最简公分母，从而约去各分母，把原来的分式方程转化为整式方程，在转化的过程中可能产生增根，所以在解分式方程时必须验根。【典例分析】一元二次方程的定义下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）()A B CD判断一个方程是不是一个一元二次方程，需将该方程先化成一般式。并注意二次项系数不能为0，审题需仔细。1、若方程是关于的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A B C D为任意实数 2、若是关于的一元二次方程的一个解则的值是（ ）3、关于的一元二次方程的一个根是0，则实数的

9、值为（）A、1 B、0 C、1 D、1或14、若方程式的两根均为正数，其中为整数，则的最小值为何？（）A、1 B、8 C、16 D、61一元二次方程的解法1、已知三角形的两边长是方程x25x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）A1L5B2L6 C5L9D6L102、三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（）A、11 B、13 C、11或13 D、不能确定判断方程根的情况1、下列方程中，没有实数根的方程是（）() （为任意数实） 2、下列方程中，无实数根的是（ ）A、 B、 C、 D、一元二次方程ax2+bx+c=0，（a0）根的判别式=b24ac：当0，

10、原方程有两个不相等的实数根；当=0，原方程有两个相等的实数根；当0，原方程没有实数根1、方程的根的情况是（）()有两个相等实数根 没有实数根 有两个不等实数根有两个实数根2、在方程（）中，若与异号，则方程（ ）。A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定3、若关于的一元二次方程有两个相等实根，则（） （已知，关于的方程有两个相等的正实根，求的值。4、在一元二次方程中（），若系数可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是5、已知是的三边，判断方程的根的情况。1、关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？ ()2、证明方程一定有两个不相等的实数根3、关

11、于的方程有没有实数根？如果有，请求出它的根；如果没有，简要说明理由。4、当为何值时，关于的方程有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。5、 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。 根据方程根的情况求方程中字母系数的取值范围如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（） 且 1、 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么它的根是 2、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是AB且0CD且03、关于的二次方程有两个不相等的实数数根，则的取值范围是4、如果二次

12、三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是 。（若二次三项式可分解成两个相同的因式，则的值为 ）5、已知关于的方程的根的判别式为零，方程的一个根为1，求的值。6、如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，则的值为 7、已知一元二次方程（），若方程有解，则必须（ ）A、 B、或异号 C、是的整数倍 D、异号1、已知关于的方程，取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实根？（3）没有实根？（）2、当为何值时，有两个相等实数根，并求此时方程的解3、已知方程（为常数）没有实数根，试判断方程是否一定有两个不相等的实数根，并说明理由。已知关于的方程，取何值

13、时，此方程（1）有两个实数根；（2）有实数根。（1）中方程“有两个实数根”，意味着方程一定是一元二次方程，并且有两个实数根，此时判别式必大于等于0；（2）只是说“有实数根”，没有说几个实数根，蕴含的意思是“可能有两个实数根”，“也有可能只有一个实数根”。前者意味着方程式一次方程；后者意味着方程可以是二次方程，也可以是一次方程，因为二次项系数含字母，所以都是可能的。1、当为什么值时，关于的方程有实根。2、试证：关于的方程必有实根。已知关于的方程有两个不相等的实数根，问是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。方程有两个不相等的实数根，那么；方程两根互为

14、相反数，也就是两根之和为0.1、 2、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A1 B12 C13 D253、已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ）A8BC6D54、已知关于的一元二次方程的各项系数之和等于3，求方程的解。5、已知关于的方程（1）取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根，满足，求的值已知，是的三条边长，且方程有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状为（）正三角直角三角形等腰三角形等腰直角三角形1、已知的三条边长为，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断的形状。2、已知是三角形的三边，且方程有两个相等的实数根，求证：这个三角形是直

15、角三角形。增长率问题某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到60.5万件，求这个工厂2月份和3月份的月平均增长率. () 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是 增长率问题在一元二次方程中的模型大致为表示增长（或减少）前的数，表示增长率（或减少），表示增长（或减少）后的数，要列出这类方程关键在于找出、1、某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元，且计

16、划从2007年到2009年，每年经营总收入的年增长率相同，问2008年预计经营总收入为多少万元?2、一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少（精确到0.1%）？3、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为。请求出。4、某工厂1月份产品数是50万件，要求第1季度总产品数达到183.705万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率.利润问题商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每

17、件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件据此规律，请回答：当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆

18、汽车的进价为 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）()总利润=单件利润×总件数 总利润=总售价-总成本价根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可1、1万元存入银行，年利率为%，一年到期后把本息再存一年，年利率不变，到期时本利和为 万元。（不考虑利息税）2、某商场销售一批名牌鞋子，平均每天可售出20双，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施，经调查发现，如果每双鞋子降价一元，商场平均每天可多售出2件.（1） 商场平均每天要盈利1200元，每双鞋子

19、应降价多少元？（2） 商场平均每天盈利为，则每双鞋子降价多少元时，商场或利最大？最大值是多少？3、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？几何面积问题如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽各多少米？ 如图，矩形ABCD中，AB，BC，点从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果、Q分别是从A、B同时出发，求经过几秒时，的面积等于 8 平方厘米？五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？对于几何面积问题首先判断要求面积的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来，例如要求的某个长方形面积就必须把长和宽表示出来1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设