四年级数学思维训练数列求和问题

1、数列求和问题德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 + 2+3+4+ + 99+ 100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。 高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1 + 100= 2+99= 3+98=- = 49+52=50+51。1100正好可以分成这样的 50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1 + 100） X 100 + 2=5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于 “等差数列”的求和问题。下面介绍有关等差数列的概念。若干个数排成一列

2、称为数列 ， 数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项 ，最后一项称为末项 。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差 ，数列中数的个数称为项数。例如：（1） 5, 6, 7, 8,，100; 1 , 3, 5, 7, 9,，99;（3） 4, 12, 20, 28,，804;（4） 1, 4, 8, 16,，256。其中（ 1 ）是首项为5，末项为100，公差为1 的等差数列；（ 2）是首项为1，末项为99，公差为2 的等差数列；（ 3）是首项为4，末项为804，公差为8 的等差数列；（ 4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求

3、和公式：和二（首项+末项）X项数+ 2。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数二（末项首项）+公差+ 1,末项=首项+公差X （项数1）。【典型例题】例 1 、 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请说明公差，若不是，则说明理由。1 ）6， 10 ， 14 ，2）1，2 ， 1 ，18 , 22 ,98;2 ， 3 ， 4 ， 5， 6；3） 1，4） 9，5） 3，2，4，8，7，3，3，8 ， 16， 32， 64；6 ，5 ， 4， 3， 2；3，3， 3， 3；例 2、求 1+2+3+ + 1999练习：例 3

4、、求 11 +12 + 13+ 31练习：2 +6+10 +14+ 202+206 +210例 4、求 3+7+11+ + 99练习：(1) 4+7+10+ 292+295+298(2) 8+ 15+22+29+ 36+ 71。例5、求首项是25,公差是3的等差数列的前 40项的和。练习：求首项是5,公差是3的等差数列的前1999项的和。例6、计算(1) 20003 69一5154(2) (2 + 4+ 6+ 96+98+ 100) ( 1 + 3 + 5+ - + 95+97+99)(3) 1991 1998+ 1985 1982+ 118+52练习：(1) 4000 1 23767778(

5、2) 560-557+ 554 551+ + 500- 497(4) 204 198+ 192 186+ + 2418+12 6例 7、 某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15 名可以获奖，比赛结果第一名1 人，第二名并列2人，第三名并列3人，第十五名并列15人，问得奖的一共有多少人 ？练习 : 小明计算从1 开始的若干个连续自然数的和100, 他算的是那些自然数的和？, 结果由于粗心把1 当 10 来计算 , 得错误结果恰好是例8、 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米2，边长是1 根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？练习：用相同的

6、立方体摆成如图的形式，如果共摆成10层，那么最下面一层有多少个立方体?例9、盒子里放有三只乒乓球， 一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成 3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？巩固练习参考答案1. 计算下列各题：(1) 2+ 4+6+ + 200; 17+19+21+ + 39;(3) 5+ 8+11+14+ 50;(4) 3+10+17+24+2. 求首项是5，末项是93，公差是4 的等差数列的和。3. 求首项是13，公差是5 的等差数列的前30 项的和。4. 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。5. 求 100 以内除以3 余 2 的所有数的和。6. 在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？101。时钟一昼夜敲打多少次？1. （ 1） 10100；（2） 336；（3） 440；（4） 780。2.1127。 提示：项数=(93-5 ) + 4+1=23。3.2565。提示：末项=13+5X ( 30-1 ) =1