最新弹性力学答案缩印

1、2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F ,体力可以不计。试根据受有均匀压力q试证x y q及xy 0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。材料力学公式，写出弯应力x和切应力xy的表达式，并取挤压应力y 0,然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表xy示正确的解答。证明：（1）将应力分量xyf 0 y 分别代入平衡微分方程、相容方程yx解1矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为xyfyM (x)IFx ,横截面对z

2、轴（中性轴）的惯性矩为h312 ,根据材料力学公式,2丁)(y)(1) xfyy(b)显然（a）、（ b）是满足的弯应力M (x) yx -Iz12F-hr xyh ;该截面上的剪力为Fs(x)（2 ）对于微小的三角板A，dx，dy都为正值，斜边上的方向余弦Fs(x)4y2k(I年6F h2 h(l cos( n,x) m)cos(n, y),将y q xy0代人平面问题的应力力并取挤压应力边界条件的表达式（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程则有x所以x(l x(m ycos(n,x)yx)sfx(s)xy)sfy(s)q cos(n, x)ycos(n, y)qcos(n,y)yxxy

3、对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。也能满足相容方程该题为平面应力的情况，首先，将应力分量xy 0代入物理再考察边界条件：在方程,得形变分量(1)xy(d)然后,将（d）的变形分量代入几何方程，得(1)-q前而式的积分得到(1) e qxf1其中的f1和f2分别是y和x的待定函数,（f）代入（e）的第三式得d(y)dy等式左边只是y的函数，而等式右边只是个常数co , 于是di (y) 有dy九（y）y u0f2(x) x代入(f)得位移分量(e)(y)1)Eqyf2 (x)(f)可以通过几何方程的第三式求出，将式df2(x)dxE1) E

4、qx yqy x其中从式y )yy )y能满足fy 02-y2)( x y)h/2的主要边界上,h/2h/ 20( yx)y h/2(1f)( xfy应精确满足应力边界条件:0( yx)y h/20在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件:满足应力边界条件。h/2h/2h/2h/2h/2h/2x )xx )xxy) x0dy0 ydy0dy的函数。因此，只可能两边都等于同一h/2h/2h/212F n-h3- lydy 0h/2(x ) xldyh/2h / 212F 2dfz(x)h/2(x ) x4dyh/2下1y Fl,dx，积分以后得h/2h/ 26F h2,h/2(xy) xd

5、yh /2( y2) h3 ( 4 y )x满足应力边界条件在次要边界x l上，列出三个积分的应力边界条件:v0因此，他们是该问题的解答。u0u0,v0,为表示刚体位移量的常数,须由约束条件求得。（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。3-6如题3-6图所示的墙，高度为 h,宽度为b, h?b,在两侧面上受到均布剪力 q2Cx 6Dy(e)的作用。试用应力函数AxyBx2 y求解应力分量。gyxy2Cy解（1）相容条件:将应力函数代人相容方程0中,其中根据斜边界的边界条件，它的边界线方程是V xtan即fx fy 0，按照一般的应力边界条件，有1 (

6、 x ) y xtan m(m( y)y x tan将（e卜（f）、（ g）代入得l(2Cx 6Dx tanm(gxtan，在斜面上没有任何面力,l(l(xy) yxy) ym(x tanx tan2Cx tan ) 02Cx tan ) 0(h)很明显满足相容方程。由图可见，l cos（n,x）cos(_2sin(2)应力分量表达式m cos(n, y)cos6BxyxyA 3Bx2(3)考察边界条件:在主要边界代入式（h）、（i）求解C和D,即得b/2上，各有两个应精确满足的边界条件,将这些系数代入式（b）、（c）、（d）得应力分量的表达式即（x)x b/20(xy ) x b/2gxco

7、t2 gy cot2在次要边界y 0上，（y）y 0，而（yx） v 00的条件不可能精确满足（否gyxygycotb/2则只有A=B=0 ）,可用积分的应力边界条件代替b/ 2yx)ydx 04-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如题4-12图所示.试求其应力分量。（4）把各应力分量代入边界条件，得2q-b2。10 v应力分量为x 0 ,12qbxyxy(1x23-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为,试用纯三次式的应力函数求解。解（1）应力函数(Acos2Bsin2C D)进行求解由应力函数得应力分量2(Acos2Bsin2 CD)2(Acos2Bsin2C D)解（

8、1）相容条件:1()2Asin22Bcos2 C“ 3223设 Ax Bx y Cxy Dy 不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。(2)体力分量fx，fyg , ，一 ，,，由应力函数得应力分量的表达式fxx2Cx6Dy(b)xyy2fyy6Ax2Bygy(c)2Bx 2Cy(d)()/20(a)()/2 q(b)()/20(c)()/2q(d)由式（a）得2 A cos2BsinC2D0(e)由式（b）得2Asin2BcosCq(f)由式（c）彳2 2A cos2BsinC2D0(g)由式（d）得2Asin2BcosCq(h)A_q_-,B C0, D（2）考察边界条

9、件：根据对称性,得2sin式（e）、（f）、（g）、（h）联立求解，得（3）考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上y 0的边界条件：（v）v0 0, （ vJv 0 0将以上系数代人应力分量，得将应力分量式（b）和式（c）代入，这些边界条件要求() 6 Ax 0(). 2Bx 0v v 0, xy y。得 a=0 , B=0o式（b）、（c）、（ d）成为cos2sincot ),cos2q( cot )sinsin 2q 一sin4一 13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q,试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当

10、圆筒只受内压力q的情 况下，取应力分量表达式（B=0）,内外的应力边界条件要求（）r 0 （） R 0（）r q （） R 0由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求2CA由上式解得2C2 22qR r C qr(R2 r2)2(R2F5(a)uqr2E(R2 r2)(1)(1EI cosK sinuH I sinK cos0(c)把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量,式（c）中的取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0 。(b)所以，轴对称问题的径向位移式（b）为qru 六(1)(1ER r2)R2)而圆简是属于平面应变问题，故上式中代替，则有)R

11、2 (1 L-(R22 1)2 r2(1u q -)R2(1 L,2外径改变为qr(1E2(RR22rr2uR(1 q-)R2 (1)R2圆环厚度的改变为uRER 1)qr(1E2)(R r R r4-15在薄板内距边界较远的某一点处,如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。qr(1 2) 2RrER2r2解求出两个主应力，即1-*_y( *y)22yq222*y原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q,如图所示。应力分量* q, yq,xy 0代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件()R qcos2(a)()Rqsin 2(b)在孔边，边界条件是()r 0r(c)

12、()r 0r(d)由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设为 的某一函数乘以cos2 ,而 为的另一函数乘以sin 2 。而11 21()22因此可假设f( )cos2。(e)2112 2(-222)0将式（e）带入相容方程,得d4cos 一f ( ) 2 d3f( )9 d2f ( )9 df()d4d 32 d 23 df A 4 B 3 C _D 2 删去因子cos2以后，求解这个常微分方程，得，其中 A,B,C,D 为待定常数，代入式（e）, 得应力函数42 Dcos 2 (A 4 B 2 C )由应力函数得应力分量的表达式cos2 (2B4C 6D)cos

13、2 (12A 2 2B空）sin 2 (6 A 3 2B 2C _6D)将上式代入应力边界条件2B由式（a）得4CR26DR46AR2由式（b）得2B2Cr26DR42B由式（c）得4c 6Dr2 r4(g)(h)(i)6 Ar2由式（d）得2B2C 6D 产产二 0 A 0,B q,C qr2,D联立求解式（），并令口，得24qr将各系数值代人应力分量的去达式，得gh r2、 (1 2 ) ghr2r2、g (1) 7 g cos 2 (1)(1 3)2(1) f-2(1T-2rgh r2、 (1 2 ) ghr2、g (1) 7 g cos2 (1 3 )2(1) f-2(1Yf(1 2

14、) ghr2r2、g sin 2 (1)(1 3)0FTT沿着孔边r ,环向正应力是最大环向正应力为（）max 4qr qcos2 (1 Q(1q cos2 (1 33r2 r2 qsin2 (1 1)(1 3r)4q cos 2gh 2(1 2 ) ghcos2沿着孔边 r,环向正应力是(1)(1)1 43 4()max-9卜()min-9h最大环向正应力为1,14-17在距表面为h的弹性地基中，挖一直径为 d的水平圆形孔道，设 h d,弹性地基的密度为 ，弹性模量为 E,泊松比为，试求小圆孔附近的最大、最小应力。8-1设有任意形状的等截面杆，密度为,上端悬挂，下端自由。如题8-1图所示,试

15、考察应力分量x0, y0,gz，yz0, zx0,xy0是否能满足所有一切条件。1*1 o 二占M解按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程，满足相容方程；并在边界上满足应力边界条件.（i） f*fy0, fz g很显然应力分量满足如下平衡徽分方程解距地表为h处，无孔时的铅直应力* gh ,由水平条件 x可得x y, gh(2)x向为水平回形孔道的轴向，在横向y, z平面的主应力为12-gh（2）原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力xxyxyzxzfx0yzyxyfy07zxzxzyzf0zxzyxgz,应力分量也满足贝尔特拉米相容方程2(

16、1)2x-x702(1)2yF02(1)2z20zgh，在上下两边受均布压力部分：第一部分是四边的均布压力1gh ,如图（a）所示。可以将荷载分解为两1 2 gh2 2（1）如图（b）所示，第二部(1 2 ) gh分是左右两边的均布拉力12(1 2 ) gh2 “ T2Tiq(1 ), q如图 （0） 所示对于第二部分解答，可应用解答，教材中式（荷载作用下的应力分量（基尔斯的解答 ）。2（1） 和上下两边的均布压力。对而第一部分荷载，可应用解答4-18）。将两部分解答叠加，即得原(1)2 xy2x y0(1)2 yzy z0(1)2 xzx z0(3)考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，fx

17、fyfz。.在（x, y)平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n 0, l ,m为任意的；在下端面方向余弦分别为n 1，1 m 0分量、方向余弦分别代入下式应用一般的应力边界条件，将应力和面力(lxm yxnzx)sf*(myn zyxy)sfy(nx1xzmyz)sfz直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足，因此，所给应力分是是本问题的解其中的fi,f2, f3分别是y,z和x,z和xy的待定函数，可以通过几何方程的后三 个式子求出。df3(x,y)df2(x,z)dy-dz-df3(x,y)dfi(y,z)dx-dz-df(x,z)dfi(y,z)dx-dy-满足上述三个等式，

18、只可能每个等式的左右两边等于同一个常数。积分以后得f1yzU0f2xzV。f3xy0代入位移分量表达式得2Exx8-2设有任意形状的空间弹性体，在全部边界上 (包括在孔洞边界上)受有均布压力 q,试证应力分量 x y z q yz zx xy 0能满足一切条件，因而就是正确的解答。 s解：应力应满足平衡微分方程，相容方程及应力边界条件(在 上)，多连体还应满足位移单值条件。(1)平衡条件fxfy fz 0,很显然，应力分量满足平衡微分方程21-y2 y -Eu0Vo0其中U0,V0, 0,分量分别表示位移和刚体转动，与形变无关。多连体上各个点的位移分量都是x, y,z的线性函数，所以满足位移单值条件。(2)相容条件：x y z3q,应力