椭圆定义与几何意义有关习题及问题详解

1、椭圆定义与几何意义习题及答案、选择题 （每小题4分，共40分）1.y轴上的椭圆，则实数k的取值范围.若方程x+与=1（a>b>0）上一点A关于原点的对称点为b+ky2=2表示焦点在A. (0, +s)B.(0, 2)C. (1, +s)D.(0,1)2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MIFu . MfT 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（A. (0,1)1(0, - C。事 D A23 .已知椭圆x2台1的左焦点是F1,右焦点是F2，点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在轴上，那么PF1 :|PF2的值为4 .已知椭圆的两个焦点为F1（新,0）,F2（V5,0）,

2、 m是椭圆上一点，若MF1 MF20 ,MF1MF28,则该椭圆的方程是（2(A) xy(B)2(C) xr(D)25.设椭圆， m2 y2 n1(m0, n 0）的右焦点与抛物线8x的焦点相同，离心率为则此椭圆的方程为（2A. -122 L16B.2 x162工1122C .482L 16464 48B, F为其右焦点，若AJBF,设N AB任，且味，口则该椭圆离心率的取值范围为（）A 4,3 B .呼4c .呼,D D .227 .设抛物线y2 2px（p 0）的焦点F恰好是椭圆学、 a b右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F,则该椭圆的离心率为(A) <3 22(B).23(Q 2

3、 1(D)- 638 .在椭圆二 %1（a b 0）上有一点M, E,F2是椭圆的两个焦点, a b若 | MFi | | MF2 |2b2 ,则椭圆离心率的范围是（A. (0,学B.噂,1)C.学1)D.、,2,1)2 x9.设椭圆m22 y2 n1（m 0, n 0）的右焦点与抛物线2y 8x的焦点相同，离心率为则此椭圆的方程为2 xA. 122 y16B.2 x162匕1122 xC. 482 y64D.2 x642匕14810.在椭圆二a0）上有一点M E,F2是椭圆的两个焦点,若|MFi| |MF2| 2b2,则椭圆离心率的范围是（）A (0,争B.q,1) C.q,1)D.石,1)

4、二、填空题 （共4小题，每小题4分）11.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点，PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形，1PF11 4，C13的离心率为7,则C2的离心率为。2212.设F1、F2是椭圆二二1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PR：94PF=2： 1,则PFE的面积等于.1上的点P到它的两个焦点F1、F2的距离之比PF1 ：|pf2 2：V3 ,且PF1F2(03),则 的最大值为.1 4 . 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 22、41(a b 0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若 a bBAO BFO 90°,

5、则椭圆的离心率是三、解答题(共44分，写出必要的步骤)2215.(本小题满分10分)已知点P (4, 4),圆C: (x m) y 5(m 3)(I)求m的值与椭圆E的方程；uuur ujir(n)设Q为椭圆E上的一个动点，求AP AQ的取值范围.22C ： f 4 1(a b 0),16 .(本小题满分10分)已知椭圆 a b经过点M-2,72-1 ),离心率为2 。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C交于异于M的另外两点P、Q(I )求椭圆C的方程；(II ) PMQ能否为直角？证明你的结论；(III )证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。 22C : 2 当 1(a b 。)

6、,一、，17 .(本小题满分12分)已知椭圆 a b经过点M(-2,42-1 ),离心率为2。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C交 于异于M的另外两点P、Q。(I )求椭圆C的方程；(II )试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论。18.(本小题满分12分)已知椭圆G、抛物线C2的焦点均在x轴 上，Ci的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点，将其 坐标记录于下表中：x324y2 <304叵 2(I )求Ci、C2的标准方程;(n)请问是否存在直线i满足条件：过C2的焦点f ；与Ci交皿 uur不同两点M、N,且满足OM ON ?若存在，求出直线l的万程；若不存在

7、，说明理由.答案一、选择题I. D2, C3. D4. C5. B6. B7. C8. B9. B10. B二、填空题II. 3 12. 413.-14. -5-32三、解答题15.解：(I )点A代入圆C方程，得(3 m)2因为nx3,m= 1.2分圆 C： (x 1)2 y2 5 .设直线PF的斜率为k,则 PF： y k(x 4) 4 , 即 kx y 4k 4 0 .因为直线PF与圆C相切,所以1kf41日解得k U,或k -. 22当k=U时，直线PF与x轴的交点横坐标为 登，不合题意，舍 211去.当k=-时，直线PF与x轴的交点横坐标为一4, 2所以 c=4. Fi (一4, 0

8、), F2 (4, 0).2a = AF + AE=5短 衣 6夜，a 3应，a2=18, b2=2.22椭圆E的方程为：土上1.182(H) AP (1,3),设 Q (x, y) , AQ (x 3,y 1),LUU UULTAP AQ (x 3) 3(y 1) x 3y 6 .22因为二匕 1 ,即 x2 (3y)2 18 ,182而 x2 (3y)2>2|x| |3y | ,一 18W 6xy <18.则(x 3y)2 x2 (3y)2 6xy 18 6xy 的取值范围是0, 36.x 3y的取值范围是6, 6.所以APAQ x 3y 6的取值范围是12, 0.4116.

9、(I)由面殳a2 + b2，由、解得a2=6, b2 = 3, 椭圆C的方程为? 十q=1.63(H)记 P(x1 , y1)、Q(x2, y2).设直线MP勺方程为y+1 = k(x +2),与椭圆C的方程联立，得(1 +2k2)x2+(8k2 4k)x+8k28k 4=0,一2, x1是该方程的两根,则一2x18k2-8k-4 x1 1 + 2k2 '-4k2 + 4k + 2 1 + 2k2设直线MQ勺方程为y+1 = -k(x + 2),同理得x2 =-4k2-4k+21 + 2k2因 y1 + 1 = k(x1 +2) , y2+1 = - k(x2 + 2),8k故 kPQ

10、=y1-y2 k(x1 +2) +k(x2 +2) x1 x2x1 x2k(x1 +x2 + 4)x1 x21 + 2k21 + 2k2因此直线PQ的斜率为定值.17.一 41(I)由题设，得a2+b2=1，由、解得a2=6, b2 = 3,椭 圆 C 的 方 程x26y231. 3分(II)设直线MP勺斜率为k,则直线MQ勺斜率为一k,假设/ PM直角，则 k ( k) = 1, k=± 1.若k=1,则直线M昉程y+1 = (x+2),与椭圆C方程联立，得x2 + 4x + 4=0,该方程有两个相等的实数根-2,不合题意；同理，若k=1也不合题意.故 / PMQ 不 可 能 为

11、直角. 6分(田)记 P(x1 , y1)、Q(x2, y2).设直线MP勺方程为y+1 = k(x +2),与椭圆C的方程联立，得 (1 +2k2)x2+(8k2 4k)x+8k28k 4=0,8k28k4-4k2 + 4k + 2一2, x1是该方程的两根,则一2x1.x1 =1 + 2k2 '1 + 2k2设直线MQ勺方程为y+1 = -k(x + 2),验证4个点知(3 ,20)、(4 ,4 )在抛物线上，易求C2 ： y1 24x同理得x2 4k24k+2(ab 0),把点（2, 0）（金,手代人得:42 a22 a12b2解得a： 42C1方程为人 4（H）法一:假设存在这

12、样的直线l过抛物线焦点F（1,0）,设直线l的方程为x 1 my,两交点坐标为 M (x1,y1),N(x2,y2),myy2 1x 12x4(m2 4)y22my 30,一 yi2my2 m"z，y1y2X1X2 (1 myi)(1 my2)m(y1、2y2)m viy4 4m2m 4t uuuu 由OMumr ON ,即 OM ONy y20(*)/ 一 2 4m11分所以假设成立，即存在直线l满足条件,且l的方程为:2x2x 212分法二：容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意;当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0),设其方程为yk(x1),与 C1 的交

13、点坐标为 M (x1,y1),N(x2,y2)2x 2.7 y 1y k(x 1)(1 4k2)x28k2x4(k2于是x1x22 1 4k2x1x24(k2 1)1 4k2V1V2 k(x1 1) k(x1 1), 2k xx2 (x1 x2)1yy22kir1 4k8k21 4k21)3k24k210分由湍r ON,即而 ON 0,得 x1x2 y1y20(*)22将、代入（*）式，得如1 4k 1 4kk2 41 4k22；11分所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y2xy 2x 2 . 12分22x y-1(a b 0)与椭圆E: a2 b2 ( J有一个公共点A (3, 1), F1、F2分别是椭圆的左、右焦点, 直线PF1与圆