随机过程简介教学提纲

1、随机过程简介随机过程简介 然而还有另外一种过程，在空间与时间然而还有另外一种过程，在空间与时间上是高度不规则和不重复的物理现象，其变上是高度不规则和不重复的物理现象，其变化形式是预先无法确知的，但是可以对其进化形式是预先无法确知的，但是可以对其进行多次的测验，得到多个确定的结果，而这行多次的测验，得到多个确定的结果，而这些结果彼此是不相同的。人们想到用随机函些结果彼此是不相同的。人们想到用随机函数来描述这种随机的、没有明显变化规律的数来描述这种随机的、没有明显变化规律的过程，我们在分析某些系统的精确性时，必过程，我们在分析某些系统的精确性时，必须考虑到随机干扰的存在，这些扰动所引起须考虑到随机

2、干扰的存在，这些扰动所引起系统的反应都是时间的随机函数。系统的反应都是时间的随机函数。 工程技术中有很多随机现象工程技术中有很多随机现象, 例如例如, 地震地震波幅波幅, 结构物承受的风荷载结构物承受的风荷载, 时间间隔时间间隔(0, t内内船舶甲板船舶甲板“上浪上浪”的次数的次数, 通讯系统和自控系通讯系统和自控系统中的各种噪声和干扰统中的各种噪声和干扰, 以及生物群体的生以及生物群体的生长等等变化过程都可用随机过程这一数学模长等等变化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘型来描绘. 不过不过, 这些随机过程都不能像随机这些随机过程都不能像随机相位正弦波那样相位正弦波那样, 很方便很具体地用时

3、间和很方便很具体地用时间和随机变量的关系式表示出来随机变量的关系式表示出来, 其主要原因是其主要原因是自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂, 甚至不可能观察到甚至不可能观察到, 因此只有过分析因此只有过分析样本函样本函数数才能掌握它们的规律性才能掌握它们的规律性. 随机过程被认为是概率论的随机过程被认为是概率论的“动力学动力学”部分（牛顿运动定律对经典物理学），它的部分（牛顿运动定律对经典物理学），它的研究对象是随时间演变的随机现象，这类现研究对象是随时间演变的随机现象，这类现象一般需要一族（同源）随机变量来描述。象一般需要一族（同源）随机变量来描述。

4、比如，为了得到随机过程的统计特征，比如，为了得到随机过程的统计特征，必须对其作大量的必须对其作大量的n次独立测量。例如，在次独立测量。例如，在同一条件的海域内，布置同一条件的海域内，布置n个同一类型的波个同一类型的波高仪，可同测得到高仪，可同测得到n个记录个记录X1(t).Xn(t),被称为被称为n个样本函数。个样本函数。在固定时刻读得各样本的瞬时波面高度在固定时刻读得各样本的瞬时波面高度tX1(t)tX2(t)tXk(t)tj 给出随机过程的定义给出随机过程的定义:设设T是一无限实数是一无限实数集（例如海洋中无数的波浪）集（例如海洋中无数的波浪）, 把依赖于参数把依赖于参数t T的一族的一族

5、(无限多个无限多个)随机变量随机变量称为称为随机过程随机过程, 记为记为X(t), t T, 这里对每一个这里对每一个t T, X(t)是一是一随机变量随机变量. 例例 1考虑考虑X(t)=a a cos(w wt+Q Q), t (- - , ), 式中式中a a和和w w是正的常数是正的常数, Q Q是在是在(0,2p p)上服从均匀分布上服从均匀分布的随机变量的随机变量.（连续型随机过程）（连续型随机过程）tOx(t)x1(t),q1=0 x2(t), q2=3p/2 显然显然, 对于每一个固定的时刻对于每一个固定的时刻t=t1, X(t1)=a a cos(w wt1+Q Q)是一个随

6、机变量是一个随机变量, 因而因而X(t)是一个随机过程是一个随机过程, 通常称它为通常称它为随机相位随机相位(w wt+Q Q )正弦波正弦波. 它的变化空间在它的变化空间在- -a a, a a. 在在(0,2p p)内随内随机地取一数机地取一数q qi, 相应地得到这个随机过程的一相应地得到这个随机过程的一个样本函数：个样本函数： xi(t)=a a cos(w wt+q qi), q qi (0,2p p).例例2 在测量运动目标的距离时存在随机误差在测量运动目标的距离时存在随机误差, 若以若以e e(t)表示在时刻表示在时刻t的测量误差的测量误差, 则它是一个则它是一个随机变量随机变量

7、. 当目标随时间当目标随时间t按一定规律运动时按一定规律运动时, 测量误差测量误差e e(t)也随时间也随时间t而变化而变化, 换句话说换句话说, e e(t)是依赖于时间是依赖于时间t的一族随机变量的一族随机变量, 亦即亦即e e(t), t 0是一随机过程是一随机过程. 且它们的状态空间是且它们的状态空间是(- - , + ).（连续型随机过程）（连续型随机过程）例例3设某城市的设某城市的120急救电话台迟早会接到用急救电话台迟早会接到用户的呼叫户的呼叫, 以以X(t)表示时间间隔表示时间间隔(0,t内接到的内接到的呼叫次数呼叫次数, 它是一个随机变量它是一个随机变量, 且对于不同的且对于不同的t 0, X(t)是不同的随机变量是不同的随机变量. 于是于是, X(t),t 0是是一随机过程一随机过程. 且它的状态空间是且它的状态空间是0,1,2,.（离散型随机过程）（离散型随机过程） 随机过程的不同描述方式在本质上是一随机过程的不同描述方式在本质上是一致的致的. 在在理论分析理论分析时往往以时往往以随机变量族随机变量族的描述的描述方式作为出发点方式作为出发点, 而在而在实际测量和数据处理实际测量和数据处理中中往往采用往往采用样本函数族样本函数族的