大学数学：第2章 第2-3节 洛必达法则

1、 第二节洛必达法则洛必达法则 会用洛必达法则求极限会用洛必达法则求极限 学习要求学习要求了解了解Taylor中值定理中值定理 (1) ( )( )xaf xg x当时，及都趋于零；洛必达法则洛必达法则 (2)( )( ),( )0afxg xg x在点 的某去心邻域内及都存在 且；( )lim()( )xafxg x(3)存在 或为( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x则则 或或同为同为 即在定理的条件下，未即在定理的条件下，未定式定式 的极限定值，可转化的极限定值，可转化为其导函数之商的极限。为其导函数之商的极限。00说明说明： （1）当）当 时的情形，洛必达法则

2、也成立；时的情形，洛必达法则也成立；x （2）若）若 ，即，即 类的极限定值，也有类的极限定值，也有 洛必达法则；洛必达法则；lim( )lim ( )f xg x （3）法则只能解决）法则只能解决 存在时，未定式存在时，未定式 的定值问题。的定值问题。 即如果即如果 不存在不存在，也不是也不是 ，则，则法则失效法则失效。( )lim( )fxg x0,0( )lim( )fxg x例例1 1 求下列极限求下列极限01(1)limxxex21ln(2)lim1xxx01ln 1(3) limcotxxx00型型型型00型型解解 原式原式0lim1xxe111lim21xxx 解解 原式原式解解

3、 原式原式220111 1limcscxxxx 220sinlim1xxxxx011lim21xx x例例2 2 证明极限证明极限 存在，但不能使用洛必达法则。存在，但不能使用洛必达法则。sinlimxxxx证明证明sinlimxxxxsinlim 1xxx1但使用洛必达法则有但使用洛必达法则有sinlimxxxx1 coslim1xx不存在不存在所以极限所以极限 的确定不能用洛必达法则。的确定不能用洛必达法则。sinlimxxxx20sinlimsinxxxxx例例3 3 求极限求极限00解解 这是这是 型的未定式，且当型的未定式，且当 时，时，0 x sinxx所以，原式所以，原式30si

4、nlimxxxx201 coslim3xxx0sinlim6xxx16适当使用等价无穷适当使用等价无穷小替换，再使用洛小替换，再使用洛必达法则，可简化必达法则，可简化极限运算。极限运算。30tanlimsinxxxx30tanlimxxxx2201 seclim3xxx13 练习练习220tanlim3xxx（1 1）形如）形如 的未定式的未定式0其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值000,0 ,1 , 解题方法：解题方法：将未定式变形将未定式变形1000001 例例4 4 求极限求极限1lim 1tan2xxx解解 原式原式11limcot2xxx211limcsc22xx212li

5、m sin2xx2（2 2）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值解题方法解题方法：将未定式变形：将未定式变形110000 通分合并例例5 5 求极限求极限111limln1xxx解解 原式原式11 lnlimln1xxxx x 111lim1lnxxxxx11limln1xxxxx11lim1 ln1xx12（3 3）形如）形如 的未定式的未定式000 ,1 ,其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值 解题方法解题方法：将未定式先取自然对数、变形，：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（再按情形（1）处理）处理0000 ln01ln100 ln 取对数取

6、对数取对数100001 例例6 6 求极限求极限sin0limxxx解解 令令sinxyx则则lnsinlnyxx0lnlimcscxxx01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0所以所以sin00lim1xxxe00lim lnlim sin lnxxyxx而而00例例7 7 求极限求极限10lim (0,0)2xxxxabab解解 令令12xxxaby则则1lnln2xxabyx而而00ln2limlnlimxxxxabyx0lnln2limxxxabx0lnlnlimxxxxxaabbabln()ln2abab1ln0lim2xxxabxabeab所以所以1解解 令令

7、例例8 8 求极限求极限sin01limxxxsin1xyx则则1lnsinlnsinlnyxxxx 01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0sinsinlim0cosxxxxx00lnlim lnlimcscxxxyx所以所以sin001lim1xxex所以所以0求下列极限求下列极限210sin(1)limxxxx122012(2)limln 1xxexx1(3)lim1lnxxxxxx2116e（提示：利用等价无穷小替换）（提示：利用等价无穷小替换）cot(4) lim1sinxarcxx1210sin(1)limxxxx解解 设设 21sinxxyx002200sincos sinlnsinlimlim2xxxxxxxxxxx20cos sinlim2sinxxxxx20cossincoslim2 2 sincosxxxxxxxxx01lim2 2cotxxx16 211/60sinlimxxxex2sinlnlnxxyx则则 所以所以 1122012(2)limln 1xxexx122012limxxexx12011222lim2xxexx32011222lim2xxex1解解 原式原式 001(3)lim1lnxxxxxx解解 原式原式= 11lnlim1 1/