高等数学：第七章向量代数(5)

1、第三节、数量积第三节、数量积;向量积向量积; cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示 cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的

2、乘积乘积. .A: 关于数量积的说明：关于数量积的说明：均均为为非非零零向向量量其其中中ba,0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 此时向量此时向量a与本身平行与本身平行,所所以夹角为以夹角为0B: 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(

3、baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式C: 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为D: 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式

4、解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 证证cacbbca )()()()(cacbcbca ()b c a ca c 0 cacbbca )()(此时此时(a .c)是是个数个数,所以运所以运算时可以当算时可以当常数提出来常数提出来|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积LFPQO 这从图形这从图形上反应的上反应的结果就

5、是结果就是:若此时的若此时的力矩力矩M是是垂直于垂直于OPF平面平面的的向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac 定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.abbac A: 向量积符合下列运算规律向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa )2(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )1(0sin . 0sin| baba证证ba/

6、ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式B: 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式C: 向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示*zyxzyxbbbaaakjiba 三阶行列数运算法则三阶行列数运算法则*111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133

7、112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kjABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD这里省略了一这里省略了一步步,请自

8、己演请自己演算算AC与与AB的的向量积向量积例例 5 5 设向量设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直，符合右手规则，且4| m，2| n，3| p，计算，计算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）小结小结思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .思考题解答思考题解答)(sin|,2222bababa )(c

9、os1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 第四节第四节:平面及方程平面及方程1: 在空间解析几何中在空间解析几何中,将任何的曲面及曲线都看将任何的曲面及曲线都看作是点的几何轨迹作是点的几何轨迹那么对应一个曲面那么对应一个曲面S,若可若可以建立一个的三元方程以建立一个的三元方程2. 那么对应曲面上所有点的坐标都满足方程那么对应曲面上所有点的坐标都满足方程;)1(0),( zyxFA:曲面方程曲面方程一、点的轨迹一、点的轨迹,方程的概念方程的概念3. 不在曲面上的点的坐标不能满足方程不在曲面上的点的坐标不能满足方程;若满足以上条件若满足以上条件,

10、则称则称(1)是曲面是曲面S的方程的方程,对应的对应的S称作称作(1)的图形的图形1: 对于于空间的两个曲面方程对于于空间的两个曲面方程空间的曲线方程通常可以看作是两个曲面的交线空间的曲线方程通常可以看作是两个曲面的交线,那么也就是说那么也就是说,空间的曲线方程可以用两个平面的空间的曲线方程可以用两个平面的交线来表示交线来表示0),(;0),( zyxGzyxF及及所确立的几何图形所确立的几何图形,我们称作是一条空间我们称作是一条空间中的曲线中的曲线;(2)被称作是空间曲线的方程被称作是空间曲线的方程.当同时满足当同时满足;B: 曲线方程曲线方程)2(.0),(;0),( zyxGzyxFxy

11、zo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM二、平面的点法式方程二、平面的点法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方

12、程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx例例 1 1 求过三点求过三点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx例例 2 2 求过点求过点)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32

13、 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由前文的推导由前文的推导,请注意看看这请注意看看这里里x,y,z的系数的系数可以看作什么可以看作什么?由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 三、平面的一般方程三、平面的一般方程因此因此,若是给定一个若是给定一个平面方程平面方程,那么我们那么我们可以分别由可以分别由x,y,z的的系数推断出该平

14、面系数推断出该平面法向量的方向法向量的方向A: 平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0ByCZ 0ByCZD 0CZD此时法向此时法向量为量为n=(0,B,C)复习复习:对于两个向量对于两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若若a,b平平行则对应

15、分量应该成比行则对应分量应该成比例例.例例 3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6( ，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方

16、程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距B: 平面的截距式方程平面的截距式方程例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已

17、知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 四、两平面的夹角四、两平面的夹角

18、按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式A: 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA B: 两平面位置特征两平面位置特征例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两

19、平面相交，夹角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.例例7 7 设设),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一点点，求求0P到到平平面面的的距距离离. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解平行于法平行于法向向

20、n n的单位的单位向量向量 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式平面的方程平面的方程（记住平面的几种特殊位置的方程）（记住平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程

21、截距式方程. （注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）小结小结思考题思考题 若若平平面面02 zkyx与与平平面面032 zyx的的夹夹角角为为4 ，求求? k思考题解答思考题解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k第五节第五节: : 空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定

22、义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的点向式方程与参数方程这个是向量这个是向量s s的方向的方向, ,也称也称做直线的方向做直线的方向数数pzznyymxx000 直线的点向式直线的点向式(对称对称式式)方程方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方

23、向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所

24、求直线方程所求直线方程.440322 zyx请注意:这里的0在分母上,不能按照我们通常的除法理解,这里只是代表向量方向定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11

25、s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例 4 4 求过点求过点)3 , 1 , 2(M且与直线且与直线12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程.解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直