向量的内积原稿

1、7.3 平面向量的内积 教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向 量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生

2、学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。教学目标： 1、 知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力1、 教学重、难点 重点：平面向量数量积的概念及计算公式. 难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角 2、 教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法3、 教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件4、 教学过程：（1） 导入新课师：如图721所示，水平地面上有一辆车，某

3、人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意途：从实例出发使学生自然的走向知识点。（2） 新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图722所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则i + y j ，即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即WFcos·s100×·10500 （J） 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向

4、量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积如图723，设有两个非零向量a, b，作a, b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·ba|b|cos<a,b> (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作WF·s.由内积的定义可知a·00, 0·a0由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a,b>0时，a·b|a|b|；当<a,b>时，a·b|a|b|

5、.（2）cos<a,b>.（3）当ba时，有<a,a>0，所以a·a|a|a|a|2，即|a|.（4）当时，ab，因此，a·b因此对非零向量a，b，有a·b0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a·bb·a（2） ()·b(a·b)a·(b)（3） (ab)·ca·cb·c注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)（a·b）·c.生：理解、记忆设计意图：引导式启发学生得出结果，带领学生分析。（三

6、）例题示范例1 已知|a|3,|b|2, <a,b>,求a·b解 a·b|a|b| cos<a,b> 3×2×cos3例2 已知|a|b|,a·b,求<a,b>解 cos<a,b>.由于 0<a,b>，所以 <a,b>生：思考，主动求解。师：说明、强调、引领。设计意图：注意观察学生是否理解知识点。（四）巩固练习 1. 已知|a|7，|b|4，a和b的夹角为，求a·b2. 已知a·a9,求|a|3. 已知|a|2,|b|3, <a,b>，求(2ab)·b4. 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a(2, 3)，b(3, 2)； (2) a(2,0)，b(0, 3)；(3) a(2,1)，b(3,4)5. 求下列向量的模：(1) a(2, 3)， (2) b(8, 6 )师：提问、巡视、指导。生：思考、计算、答题。设计意图：及时了解学生知识掌握得情况（五）理论升华思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·ba|b|cos&