2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛九年级决赛试题及答案

1、2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛九年级决赛试题（2013年3月17日9:30-11:30 时量：120分钟 满分：150分）题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交 4.本试卷共6页，三道大题，14道小题.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1对正整数，记，则的末位数是（ ）（A）（B）（C）（D）2设非零实数，满足则的值为 （ ）（A）

2、（B）（C）（D）3已知关于的不等式组 恰有个整数解，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）（第4题）4如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC（第5题）5如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）（A）3（B）4（C）6（D）8二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6设，b是的小数部分，则的值为 （第8题）7一个质地

3、均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 8如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 9小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元则他至少卖出了 支圆珠笔10的值为 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D（第1

4、1题）求DBC-CBE（第12题）12如图，已知为圆的直径，为圆周上一点，为线段内一点（不是端点），满足，垂足为若，且与的长均为正整数，求线段的长13.设，是素数，记，当时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新大赛（初三）试题参考答案一、选择题1C解：，又知，的末位数均为，而的末位数是，

5、所以，的末位数是2A解：由已知得，故于是，所以：3C解：根据题设知不等式组有解，解得，由于不等式组恰有个整数解，这个整数解只能为，因此，解得 ：4D解：因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD是有理数（第4题）由RtDOERtCOD，知，都是有理数，而AC不一定是有理数5C解：因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EF/DC连接CE，因为DE/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原来阴影部分的面积等于ACE的面积连接AF，因为EF/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因为，所以SABC = 4SACF故阴影部分的面积为6二

6、、填空题6解：由于，故，因此 7解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3111，6114123222，9126135144225234333，1215624625533634544418666记掷三次正方体面朝上的数分别为，则使为3的倍数的（，）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组故所求概率为 8（第7（乙）题）解：如图，连接AF，则有：，解得，所以，四边形AEFD的面积是 9207解：设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则所以，于是是整数又，所以，故y的最小值为207，此时10解：设

7、，那么上式对，2，99求和，得原式三、解答题11解：将分别代入，知，D(0，1)，（第11题）C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直线过点B将点C(0，)的坐标代入，得 5分抛物线的顶点为(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因为BC2CE2BE2，所以，BCE为直角三角形，10分因此tan=又tanDBO=，则DBO所以，20分12解：连接AC，BC，则（第12题）又，由RtCDERtCOD可得，由RtACDRtCBD可得，所以设，为正整数，则，又，代入上式得，10分整理得：考虑到，只能是，得因此 20分13解：不能依题意，得 因为，所以又由于为整数，为素数，所以或，10分当时，进而，与，是素数矛盾；15分当时，所以，不能构成三角形的三边长20分14解：若n6，取1，2，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是7的公共的魔术数，即7|()，7|()则有7|()，但06，矛盾故n