202X版高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列课件

1、6.2等差数列高考数学高考数学 (江苏省专用)五年高考A A组组 自主命题自主命题江苏卷江苏卷题组题组考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(2019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.答案答案16解析解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,考查学生的运算求解能力,同时考查数列基础知识的应用能力.设数列an的公差为d,则解得a1=-5,d=2,所以S8=8(-5)+2=16.1111()(4 )70,9 8927,2ad adadad8 72一题多解一题多解数列an是等差数列,S9=9a5=

2、27,a5=3,由3a2+a8=0,得3(a5-3d)+a5+3d=0,即12-6d=0,d=2,S8=4(a4+a5)=4(a5-d+a5)=16.199()2aa188()2aa2.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.22a答案答案20解析解析设等差数列an的公差为d,则由题设可得解得从而a9=a1+8d=20.2111()3,5 4510,2aadad 13,4,da 考点二等差数列的性质及应用考点二等差数列的性质及应用(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列an满足:an-k+an-k+1+an-1+

3、an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列an是“P(3)数列”;(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.证明证明本题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)因为an是等差数列,所以设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+a

4、n+2+an+3=6an,因此等差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a

5、3-2d,所以数列an是等差数列.方法总结方法总结数列新定义型创新题的一般解题思路:1.阅读审清“新定义”;2.结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识;3.利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(2019课标全国理改编,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则an=,Sn=.答案答案2n-5;n2-4n解析解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运

6、算.设an的公差为d,依题意得,4a1+d=0,a1+4d=5,联立,解得a1=-3,d=2.所以an=2n-5,Sn=n2-4n.4 32解后反思解后反思解数列选择题,可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法.本题若用逐项检验法去验证S4和a5,就会发现无法排除错误选项.因此,还是要从通用方法入手.2.(2019课标全国理,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则=.105SS答案答案4解析解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和运算求解能力;考查了数学运算的核心素养.设等差数列an的公差为d,a2=3a1,a2=a

7、1+d=3a1,d=2a1,S10=10a1+d=100a1,S5=5a1+d=25a1,又a10,=4.10 92542105SS3.(2019北京理,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.答案答案0;-10解析解析本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式;考查函数的思想方法;通过求最值考查学生的运算求解能力.考查的核心素养是数学运算.设等差数列an的公差为d,a2=-3,S5=-10,即得a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=-4n+=(n2-9n)=-,nN*,n=4或5时,Sn取最小值,最小值为-10.113,5 4510,

8、2adad 113,22,adad 14,1,ad (1)2n n22nn1212292n818一题多解一题多解设等差数列an的公差为d,易得S5=5a3,S5=-10,a3=-2,又a2=-3,d=1,a5=a3+2d=0,(Sn)min=S4=S5=-10.155()2aa4.(2019课标全国文,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.答案答案100解析解析本题考查等差数列的性质和前n项和公式,考查学生的运算求解能力,考查数学运算的核心素养.设等差数列an的公差为d,则d=2,a1=a3-2d=5-4=1.S10=10+2=100.734aa135

9、410 92失分警示失分警示对等差数列前n项和公式记忆不清,从而导致出错.5.(2018课标全国理改编,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=.答案答案-10解析解析本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1,又a1=2,d=-3,a5=a1+4d=-10.326.(2018北京理,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.答案答案an=6n-3解析解析本题主要考查等差数列的通项公式.设等差数列an的公差为d,则a2+a5=a

10、1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36,d=6,an=a1+(n-1)d=3+6(n-1)=6n-3.7.(2017课标全国理改编,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为.答案答案-24解析解析本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,依题意得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,S6=61+(-2)=-24.23a6 52评析评析(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方

11、程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,在求解时常用它们表示已知和未知.8.(2017课标全国理,15,5分)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.1nk1kS答案答案21nn解析解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.设公差为d,则an=n.前n项和Sn=1+2+n=,=2,=21-+-+-=2=2=.1123,4610,adad11,1,ad(1)2n n1nS2(1)n n111nn1nk1kS1212131n11n111n1nn21nn思路分析思路分析求出首项a1和公差d,从而求

12、出Sn,得=2,从而运用裂项相消法求和即可.1nS2(1)n n111nn解后反思解后反思裂项相消法求和的常见类型:若an是等差数列,则=(d0);=(-);=-.11nnaa1d111nnaa1nkn1knkn12(21)(21)nnn121n1121n9.(2015课标全国改编,7,5分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=.答案答案192解析解析由S8=4S4得8a1+1=4,解得a1=,a10=a1+9d=.8 7214 3412a12192评析评析本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.10.(2019课标全国文,18,

13、12分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解析解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a10知d0,d0时,满足的项数m,可使得Sn取得最大值,最大值为Sm;当a10时,满足的项数m,可使得Sn取得最小值,最小值为S

14、m.10,0mmaa10,0mmaa13.(2016课标全国,17,12分)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.13解析解析(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2,(3分)所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,(7分)因此bn是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记bn的前n项和为Sn,则Sn=-.(12分)133nb13113113n32112 3n评析评析本题主要

15、考查了等差数列及等比数列的定义,能准确写出an的通项是关键.考点二等差数列的性质及应用考点二等差数列的性质及应用1.(2017课标全国理改编,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为.答案答案4解析解析解法一:等差数列an中,S6=48,则a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4.解法二:由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,得即解得16() 62aa112724,6 5648,2adad112724,2516,adad12,4,ad 方法总结方法总结求解此类题时,常用Sn

16、=先求出a1+an的值,再结合等差数列中“若m,n,p,qN*,m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的性质求解数列中的基本量.1()2naa n2.(2015课标全国改编,5,5分)设Sn是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=.答案答案5解析解析an为等差数列,a1+a5=2a3,得3a3=3,则a3=1,S5=5a3=5.155()2aa3.(2019北京文,16,13分)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,求Sn的最小值.解析解析本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等

17、差、等比数列的基础知识、基本运算,考查的学科素养为数学抽象与数学运算.(1)设an的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当n7时,an0;当n6时,an0.所以,Sn的最小值为S6=-30.4.(2016课标全国理,17,12分)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lgan,其中x表示不超

18、过x的最大整数,如0.9=0,lg99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1000项和.解析解析(1)设an的公差为d,根据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg1=0,b11=lg11=1,b101=lg101=2.(6分)(2)因为bn=(9分)所以数列bn的前1000项和为190+2900+31=1893.(12分)0,110,1,10100,2,1001000,3,1000,nnnn思路分析思路分析(1)先求公差,从而求得通项公式an=n,再根据已知条件求b1,b11,b101;(2)用分段函数表示bn,进而求数列bn的前10

19、00项的和.评析评析本题主要考查了数列的综合运用,同时对考生创新能力进行了考查,充分理解x的意义是解题关键.C C组教师专用题组组教师专用题组考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(2011大纲全国改编,4,5分)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=.答案答案5解析解析an是等差数列,a1=1,d=2,an=2n-1.由已知得Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)+2(k+1)-2=4k+4=24,k=5.2.(2014浙江文,19,14分)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36.

20、(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.解析解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(nN*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kN*知2m+k-1k+11,故所以2113,15,mkk 5,4.mk评析评析本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力.考点二等差数列的性质及应用考点二等差数列的性质及应用1

21、.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案答案10解析解析利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.2.(2013课标全国,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=.答案答案5解析解析解法一:Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+d=na1+,得由得a1=,代入可得m=5.解法二:

22、数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列也为等差数列.+=,即+=0,解得m=5,经检验为原方程的解.(1)2n n(1)2n n11(1)0,2(1)(2)(1)2.2m mmammma 12mnSn11mSm11mSm2mSm21m31m3.(2014江苏,20,16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn=2n(nN*),证明:an是“H数列”;(2)设an是等差数列,其首项a1=1,公差d0.若an是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使

23、得an=bn+cn(nN*)成立.解析解析(1)证明:由已知得,当n1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为an是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d0,所以m-20,bn0,所以+(an+bn)2,从而10知q0.下证q=1.若q1,则a1=logq时,an+1=a1qn,与(*)矛盾;若0qa21,故当nlogq时,an+1=a1qn1,与(*)矛盾.综上,q=1,故an=a1

24、(nN*),所以11,于是b1b2b3.又由a1=得bn=,所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾.所以a1=,从而bn=.所以a1=b1=.2nnba12a12a212a1221nnabab221112121aaaa2221112121aaaa22评析评析本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质、基本不等式等基础知识,考查学生分析探究及逻辑推理的能力.三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(2019徐州期中,7)已知等差数列an的前n项和为Sn,S11=132,a6+a9=

25、30,则a12的值为.答案答案24解析解析因为S11=132,所以=132,即11a6=132,所以a6=12,又a6+a9=30,所以a9=18,因为a6+a12=2a9,所以a12=24.11111()2aa2.(2019南京、盐城二模,6)等差数列an中,a4=10,前12项的和S12=90,则a18的值为.答案答案-4解析解析依题意,得解得所以a18=13+17(-1)=-4.41121310,126690,aadSad113,1,ad 一题多解一题多解S12=12=90,a1+a12=15,a4+a9=15,又a4=10,a9=5,a9-a4=5d=-5,d=-1,a18=a4+14

26、d=10-14=-4.1122aa3.(2019泰州中学3月检测,9)已知1=30,n+1=n+15,an=sinn+1,nN*,则+a4=.22a答案答案74解析解析由1=30,n+1=n+15,得n=30+(n-1)15,所以an=sinn+1=sin(30+15n),所以a2=,a4=1,所以+a4=.3222a744.(2019无锡期末,10)设公差不为零的等差数列an满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于.答案答案21解析解析依题意,有:(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(7-d-1)2=(7-2d-1)(7+d-1),即(6-d)2=(6-2

27、d)(6+d),整理得3d2-6d=0,因为d不为0,所以d=2,则a10=a3+7d=7+14=21.5.(2018苏锡常镇四市教学情况调研(一),8)设Sn是等差数列an的前n项和,若a2+a4=2,S2+S4=1,则a10=.答案答案8解析解析设数列an的公差为d,a2+a4=2,2a1+4d=2,S2+S4=1,2a1+d+4a1+d=1,6a1+7d=1,联立解得a10=a1+9d=-1+9=8.4 3211242,671,adad11,1,da 6.(2017扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,9)已知an是公差不为0的等差数列,Sn是其前n项和.若a2a3=a4a5,S9

28、=27,则a1的值是.答案答案-5解析解析设等差数列an的公差为d,由题设可得即解得a1=-5.11111()(2 )(3 )(4 ),43,adadadadad11250,43,adad考点二等差数列的性质及应用考点二等差数列的性质及应用1.(2018南京、盐城二模,6)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S15=30,a7=1,则S9的值为.答案答案-9解析解析因为数列an为等差数列,所以S15=15a8=30,故a8=2,又a7=1,因此d=1,所以a5=a7-2d=-1,所以S9=9a5=-9.评析评析本题也可用基本量法列出方程组,求出首项与公差,进而得到S9.2.(2018无锡期中,

29、10)在等差数列an中,已知a1+a3=0,a2+a4=-2,则数列an的前10项和为.答案答案-35解析解析a2+a4=2a3=-2,a3=-1,a1+a3=0,a1=1,d=-1,S10=110+(-1)=-35.312aa10 923.(2018南京高三学情调研,10)设等差数列an的前n项和为Sn.若am=10,S2m-1=110,则m的值为.答案答案6解析解析an是等差数列,S2m-1=(2m-1)=(2m-1)am=10(2m-1)=110,可得m=6.2112maa4.(2019如皋一模,20)已知数列an是公差不为零的等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN*).

30、(1)若数列an满足a10=-2,a4,a14,a9成等比数列.求数列an的通项公式;设数列bn的前n项和为Sn,当n多大时,Sn取最小值?(2)若数列bn满足cn=an+1an+2-(nN*),且等差数列an的公差为,存在正整数p,q,使得ap+cq是整数,求|a1|的最小值.2na13解析解析(1)设数列an的公差为d,因为a4,a14,a9成等比数列,所以(-2-6d)(-2-d)=(-2+4d)2,所以d2-3d=0,因为d0,所以d=3,所以an=a10+(n-10)d=3n-32.(3分)当1n10时,an0,因为bn=anan+1an+2,所以当1n8时,bn0,b90,b10S

31、2S8S10S11所以Sn的最小值为S8或S10.(6分)因为S10-S8=b9+b10=a10a11(a9+a12),又因为a100,a9+a12=-10.所以当n=8时,Sn取最小值.(9分)(2)cn=an+1an+2-=-=an+.(10分)因为存在正整数p,q,使得ap+cq是整数,2na13na23na2na29所以ap+cq=a1+(p-1)+a1+(q-1)+=2a1+Z.设m=2a1+,mZ.所以18a1=3(3m-p-q+1)+1是一个整数,所以|18a1|1,从而|a1|,(14分)又当|a1|=时,存在a1+c3=1Z.综上,|a1|的最小值为.(16分)1313292

32、3pq2923pq29118118118一、填空题(每小题5分,共30分)B B组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组(时间：45分钟 分值：62分)1.(2019苏州3月检测,11)已知等差数列an的各项均为正数,a1=1,且a3,a4+,a11成等比数列.若p-q=10,则ap-aq=.52答案答案15解析解析设等差数列的公差为d,由题意知d0,a3,a4+,a11成等比数列,=a3a11,=(1+2d)(1+10d),即44d2-36d-45=0,解得d=或d=-(舍去),p-q=10,ap-aq=(p-q)d=10=15.522452a2732d321522322.(2019南师大附中期中,13)已知实数x,y,z0,4,如果x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则|x-y|+|y-z|的最小值为.答案答案4-23解析解析实数x,y,z0,4,x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则0 xyz4,则|x-y|+|y-z|=z-x=4-2.|x-y|+|y-z|的最小值为4-2.2