选修4-5：《不等式选讲》全套教案

1、选修4_5不等式选讲课 题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子殉问中脍炙人口的两小儿辩日”:远者小而近者大”、近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在； 日常生活中息息相关的问题，如自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢？、电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数 学研究中也起着相当重要的

2、作用。本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序 不等式等)和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表 现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相 对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢 ？转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0),若 再加m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么 ？分析：起初的糖水浓度为 b,加入m克糖后的糖水浓度为bm ,只要证bm- aa ma m a即可。怎么证呢？二、不

3、等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示 可知：a b ：二 a -b 0a=b：= a - b = 0a : b = a -b : 0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果ab,那么ba,如果bb。(对称性)、如果 ab,且 bc,那么 ac,即 ab, bc= ac。、如果 ab,那么 a+cb+c,即 ab= a+cb+c。推论：如果 ab,且 cd,那么 a+cb+d.即 ab, cd = a+cb+d.、如果 ab,且c0,那么acbc;如果ab,且

4、c0,那么acb 0,那么 an bn (nN,且 n1)、如果 ab 0,那么 n/a n/b (n N,且 n1)。三、典型例题：例 1、已知 ab, cb-d.c c例2已知ab0, c0,求证： 一a a b四、练习五、作业：选修4_5不等式选讲课 题： 第02课时含有绝对值的不等式的解法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式

5、（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义请同学们回忆一下绝对值的意义。在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即|x,如果x - 0x二0,如果 x=0 。-x,如果x 0 J2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是x | -a x a,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（一a,a）,如图所示。-a图 1-1a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 x a a的解集是x|xa

6、或 x2 -xo方法1：分域讨论方法2：依题意，3x1 2x或3x 1x 2,(为什么可以这么解？)例3、解不等式2x+1+3x2至5。例4、解不等式x-2 +|x -1之5。解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴 上的点x到1, 2的距离的和大于等于 5。因为1, 2的距离为1,所以x在2的右边，与2的距离大于等于2 (= ( 51) -2);或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，x 2 4或 x a ,对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。三、小结： 四、练习：解不等式2、41 -3x -1 2-x.2，,一6、x -1 A x + 2.8

7、、x-1 +|x + 3 之 610、 I x - x -41 2.1、22x-1|a1.3、3-2x x+4.5、 x2 -2x -4 17、 x + x -2 2 49、 x + x +1 2五、作业：选修4_5不等式选讲课 题： 第02课时含有绝对值的不等式的证明目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：(1) a+b 引 a+b(2) a - b |a + b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然a|

8、 a,当且仅当a20时等号成立(即在a20时，等号成立。在a0,那么 a + b = a +b.所以 a + b 2a + b= a + b.如 果 a+b0, 那 么 a+b=-(a + b).所 以a +|b| 2-a +(b) = -(a +b) =|a +b(2)根据(1)的结果，有 a+b+| ba+bb,就是，a+b + b 引a。所以，a + b2|a b。例2、证明 a -b| |a + b的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。例4、已知x-a 2,y-b 2,求证(x y) (a b) : c.证明(x +

9、y) (a + b) = | (x a) + (y b) |x -a +|y -b (1)(2)由(1), (2)得：(x + y) - (a +b)| c一 _ - a a例 5、已知 x 一，y一.求证：2x - 3y a。 46证明 : x |, y | , 2x |,3y a，由例 1 及上式，2x -3y 2x +|3y -a +a = ao注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。三、小结：四、练习1、已知. c _ . cA-a ,B-b .求证:22(A-B)-(a-b)| co2、已知x 2x-3y-2a+3b c。五

10、、作业：链接：不等式的图形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用 绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明 了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。1,解不等式 x 1 +|x-2 |x + 1 o题意即是在数轴上找出到J = 1与亡2 = 2的距离之和不大于到点 4 = -1的距离的所有流动点x。首先在数轴上找到点 匕=1,七2 =2 , 4 = 1 （如图）。3x1 12 X2X-10123从图上判

11、断，在。与J之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到却与亡2的距离和正好是1,而到3的距离是2 +（x 1） = 1 + x（1 E x E 2）。现在让流动点x由点。向左移动，这样它到点 4的距离变，而到点匕与七2的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于-3 =-1与，=1之间的某一个点x1。2由（1 x1）十（2 x1） -.再让流动点x由点%向右移动，虽然这种点到。与口 2的距离的和及到 的距离和都在增加，但两相比较，到。与修的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点x2而止。2由（x2 -1） +（x2 -2） x2 一（一1）,可彳导x2 M 4.从而不等

12、式的解为 一 M xM 4.32.画出不等式 x +|y E1的图形，并指出其解的范围。先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：x 0, y 2 0, x + yW1.其图形是由第一象限中直线 y =1 -x下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式x +|y M1的图形是以原点 O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1. | x +1 - x -1| 1;2.x +2y 1.解下列不等式:(1)12-3x 2(2)3x 4：72.3.(3) 2x -4 x+1解不等式:解不等式:(4

13、)x2 -2(1) 2x-10.4.利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式 4+|x3a有解，a要满足什么条件?. s5.已知 A-a一3,b7- s , 一,C -c .求证:3(1) (A + B +C)(a+b+c)s；(2) A+BC) (a + b c)s6.已知a, y c 0.求证:h.*8 ,求证a b :二11ab 1a+旦1 b*9,已知 a 1,|b| 1.求证:10.若巴 P为任意实数，c为正数,(a + aa + b1 +ab求证: - |2 . (1 c)：2 (1 22+|P|2+2a|P|,而同 P| =选修4 5不等式选讲课 题：第03课时指数不等式的解法

14、目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：二、典型例题：2例1、解不等式2x(1)2解：原不等式可化为：2x 1- x2 -2x -3 -3(x -1)整理得：x2+x60解之，不等式的解集为x|-3x0解之：3x 9 或 3x2 或 x 2或x ax第，(a 0且a#1)(当 a1 时 x w (-0,1) = (4,y) 当 0a1 时 x (-1,4)例4、解不等式：(,x,A4(-1x2J_x -1 0x -1 0解：原不等式等价于x31 或0x31解之得：4xW5_ 2- 2x -1 之(x 3)2x -1 (x-3)2，原不等式的解集为x4loga2,(a0,a1)1x -2i -7

15、x4 ： x : 22-3 ： x 二 2解：原不等式可化为loga(4 3x -x2) loga2(2x-1)2x-1 0当 a1 时有 M + 3x-x2 0=4 + 3x-x2 2(2x-1)（其实中间一个不等式可省）12x-1A0x-当0a1 时有 4+3xx2 a 0= *1x4= 2x4、4+3x-x2 2(2x-1) x2当a1时不等式的解集为3x1 x 2 2当0a1时不等式的解集为 % 2 x 1 + loga x。解：原不等式等价于1 log a x _ 0I ：5 -10g a X (1 10g a X) 25 - 10g a X _ 0或；50gaX之0 loga x

16、+ 1 0解 n ： log a X 1时有0Xa当0aa解 I ： -1 loga X ： 1，原不等式的解集为X|0X1或X|Xa, 0a1例4、解不等式XlogaX解：两边取以a为底的对数:29. 一当0a1时原不等式化为：(log a x) loga x - 214一(log a x -4)( 2 log a x -1) 0 一 logx4. a x 1时原不等式化为：(log a x) log a x - 2(loga X -4)(2logax -1) . 01loga x 4或 loga x :-原不等式的解集为 x|a4xJa,0a1x|xa4或 0x1三、小结：四、练习：解下列

17、不等式21. log1 (x 3x 4) log 1 (2x +10)(-2x1 或 4x7)332 .当 0 a 1 ,求不等式：log a (log a X)A 0(aX1,0 11 x _ ,_4. log a 0,(aA0,a#1)(-1X0)1 - X5. aA1 时解关于 X 的不等式 logaa2x 2X(aX+2*)+1 A0(a a 2,x a loga 2 ； 1 a 2,x 0f(x) 0 或2f(x)g(x)2g(x) 0解：. 根式有意义，必须有:3x - 4 - 0 小 :x _ 3x -3 - 0又有 原不等式可化为 v3x -4 Jx 3m八八一1两边平方得：3

18、x-4 x-3 解之：x-2x|x 3 x|x ：=x|x 3例 2、解不等式 v-x2 +3x-2 4-3x解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集:4 -3x - 0I： -x2+3x-2 i 0 2 .2、一义 +3x-2(4-3x)xJ x 5364斛 I： lWx2=xW 6353一 x 0n ：4-3x03 6，原不等式的解集为x| 6 ： x 2 5例3、解不等式2Xx2 -6x+4 x + 2 2_ .一2x -6x +4 之0解：原不等式等价于 x+2a02x2 -6x +4 (x +2)2x 2或x 1二xa23x|2Mx10 或 0cxM 10 x v,x +1 -

19、12x + 1 之 0111解：要使不等式有息义必须：32=x2“十 仁01.I2原不等式可变形为V2x+1 +1 x+1因为两边均为非负(v2x+1 +1)2 A(Vx)2即 2j2x+1 -(x+1)1x+10，不等式的解为 2x+10即 x之 2例 5、解不等式 xx +1 -ax 0)例6、解不等式也x十YU 1解：定义域 x-1 0xl原不等式可化为：x-1 -1 3 x - 2两边立方并整理得：(x 2) , x -1 4(x - 1)在此条件下两边再平方，整理得：(x 1)(x 2)(x10) 0解之并联系定义域得原不等式的解为x |1 ：二x :二2或x 10三、小结：四、练习

20、：解下列不等式1 .2.,2x - 3.3x -5,5x-6(x . 2)(x - -3)3.-5.13(-：x - 1 )s4.(x -1) ,x2 -x-2 .0(x - 2或x = -1)5.(-11 - -.52五、作业：3x - 3 + ；/x 3 : 3xx 3课 题:目的要求 重点难点 教学过程 一、引入选修4_5不等式选讲第06课时 含有参数不等式的解法二、典型例题：例1、解关于x的不等式 1 o ga x 1 o g a如人十1(log a x 1)(1og a x - 1)解：原不等式等价于1 o ga x 即：a3 11,右 0a1 xa 或ax1。 a例2、解关于x的不

21、等式 23x 2x m(2x 2，)解：原不等式可化为 24x -(1 m) 2x m ：: 0即：(22x -1)(22x -m) 1 时 1 22x m当 m=1 时 (22x1)2C0.x当0m1时m :二 22x ：二 11510g 2 m : x 二 0当mwo时x m +3解：原不等式等价于 | x - 2m | m 3当m+3 A0即m A3时x - 2m m 3或x - 2m :二-(m 3)x 3m 3或 x 二 m 一 3当m+3=0即m = 3时|x+60.xA6当 m+30 即 m3 时xR。2 c、， c.例4、解关于x的不等式 (c声)出x” 1,(0 6 1 即日

22、文0, )时-x +3x22 或 x01x1 时 B=1,a当a2时AuB当 1WW2时 AmB当awl时 A AB仅含一个元素211例 6、万程 asin x+ cosx+ a =0,(0 a 010 f(-1) =2a 0 1f(1) =2a-20-1 1 4a三、小结：四、练习五、作业1. log：22,1、，x - (a )log 1 x a 21a 1 1当 a 1或-1 :二 a :二 0日t():二 x a,a 0若 Ac B =4求a的取值范围(a 1)22a3. a - 3x x a, (a 0)(- - ： x ： 0)2log a x 124. x a x,(a 0)(当

23、0 a19a、2 x 1时x a 22或0 x 2b(a +b)。例 2、若实数 x 1 ,求证：3(1 + x2 + x4) a (1 + x + x2 )2.证明：采用差值比较法：24、2、23(1 x x ) - (1 x x )24.2423=3 3x 3x -1 -x - x -2x-2x - 2x= 2(x4 -x3 -x 1)_22= 2(x -1) (x x 1)21 2 3= 2(x-1)2(x -)2 -.2123: x1W(x-1)2 0,且(x+1)2 +-30,-21 2 3、八2(x-1)2(x 2)2 4 0,3(1 x2 x4) (1 x x2)2.讨论：若题设

24、中去掉x11这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知a,bw r+,求证aabb之abba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。a -b -0_ a b _ b a a b - a b证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.卜卜 卜 卜 ，从而原不等式得证。b b a -ba -b=a b (a -b ) - 02)商值比较法：设a - b 0,a b.: a 1,a -b 0, a亘 =(a)a”之1.故原不等式得证。babba b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断符号。例4

25、、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度 n行走；乙有一半路程以速度 m行走，另一半路程以速度 n行走。如果 m#n,问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为tl,t2。要回答题目中的问题，只要比较tl,t2的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为一 一 titiS Sn 2SS(m n)ti, t2,根据题思有 一m + n = S , + = t2,可得 ti =, t2 =222m 2nm n2mn22从而t1一至【2 -

26、m nS(m n) S4mn -(m n) S(m - n)2mn 2(m n)mn 2(m n)mn其中S, m, n都是正数，且 m # n。于是t1 -t2 0 ,即t1 0, p + q = 1.求证；对任意实数 a,b ,恒有pf (a)+qf (b)之 f ( pa + qb).(1)证明考虑(1)式两边的差。pf(a) qf (b) - f (pa qb).=p(2a2 1) q(2b2 1) 一2( pa qb)2 1 22= 2p(1 p)a +2q(1q)b 4pqab + p+q 1.(2)p q =1, pq 0,22(2) =2pqa 2 pqb _4pqab_2 一

27、= 2pq(a-b) -0.即(1)成立。三、小结：四、练习五、作业1 .比较下面各题中两个代数式值的大小:2,2,22(1) x 与x x+1； (2) x +x+1 与(x+1).2-，2a ,2,已知 a#1.求证：(1) a 2a -1;(2) r 0 ,求证 aabbcc A (abc) 3 .4 .比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.解：a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a 2+b2) -4a3(a-b尸(a-b)(a 3+ a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)(a 2b-a3)+(ab 3-a3)+(b 3-a3)= - (a-b) 2(3a3+

28、2ab+b2)2， b 2 2b21.=-(a-b) | J3a+；=j + |0 (当且仅当d = b时取等号)L4a3(a-b)o5 .比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.6 .已知xWQ比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小. 227 .如果x0，比较(Jx -1 )与(Jx+1 )的大小.8 .已知 awQ 比较(a2 + J2a +15a2 J2a +1)与(a2 +a +1(a2 -a +1)的大小.9 .设x至1,比较x3与x2-x+1的大小.说明：变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是变形”的常用方法。阅读材料：琴生不等式例5中

29、的不等式pf(a)+qf(b)之f(pa+qb)有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生(Jensen)不等式的特例。琴生在1905年给出了一个定义：设函数f(x)的定义域为a,b,如果对于a,b内任意两数x1,x2,都有f & 十 x2 二 f (Xi)+ f (x2)k 2 厂 2.则称f (x)为a,b上的凸函数。若把(1)式的不等号反向，则称这样的f (x)为a,b上的凹函数。凸函数的几何意义是：过 y = f(x)曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推广形式是：若函数f (x)的是a,b上的凸函数，则对a,b内的任意数x1,x2，

30、xn,都有41 +乂2 +xn ) f (%) + f N) + + f f l0,b 0 ,求证 a3 +b3 之 a2b +ab2.证法一分析法要证 a3 +b3 a2b +ab2成立.只需证(a + b)(a2 -ab +b2)之 ab(a + b)成立，又因a+b0,只需证a2 ab + b2 tab成立，又需证a2 2ab+b2之0成立，即需证(a -b)2至0成立.而(a -b)2 0显然成立.由此命题得证。证法二综合法 2 .-2_2 .-22(a-b) _0= a 12ab b _0= a -ab b - ab注意到 a 0,b0,即 a + b0,由上式即得(a+b)(a2a

31、b+b2)至 ab(a+b),3. 32. 2从而a +bab+ab成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？a m a例3、已知a, b, m都是正数，并且 a.(1)b m b证法一 要证(1),只需证b(a+m) a(b+m) (2)(3)(4)要证（2）,只需证bm am要证（3）,只需证b a已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为ba,m是正数，所以bm am两边同时加上 ab得b（a +m） a（b +m）两边同时除以正数 b（b + m）得（1）。读一读：如果用Pn Q或Qu P表示命题P可以推出命题

32、Q （命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是（1）口（2）口（3）u （4）.而采用综合法的证法二就是（4）= （3）= （2）= （1）.如果命题P可以推出命题 Q,命题Q也可以推出命题 P,即同时有P= Q,Q= P,那么我们就说命题 P与命题Q等价，并记为Pu Q.在例2中，由于b,m,b + m都是正数,实际上=(2)=(4).例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面 是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长2为L ,则周长为L的圆的半径为积为iL i。所以本题只

33、需证明4证明：设截面的周长为 L,的水管的截面面积为i。只4,截面积为L;2n12n JL L、2（L、2【2 UJ则截面是圆的水管的截面面积为BE明：上 L i。U14 JL的正方形为L ,截面4n I ,截面是正方形 12”22为了证明上式成立，只需证明- LL-2一416一，一 ，一 4两边同乘以正数三，得:L2因此，只需证明4n。上式显然成立，所以二这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截 面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明：a2 + b2 + c2 至 ab + bc + ca。(2)(3)证法一 因为 a2 +b2主2ab22_

34、b c _ 2bc(4)所以三式相加得 2(a2+b2+c2)之 2(ab+bc+ ca)(5)两边同时除以2即得(1)。证法二因222121212_a b c (ab bc ca) = (ab)-(b-c) -(c-a) _ 0,所以(1)成立。例 6、证明：(a2+b2)(c2+d2)之(ac+bd )2.(1)证明 (1)u (a2+b2)(c2 +d 2)(ac +bd)2 之0(2)2 22 2222 222_22u a2c2+b2c2+a2d2+b2d2 (a2c2 +2abcd+b2d2)之 0 (3)u b2c2 +a2d2 -2abcd 之 0(4)2_u (bcad)之0(

35、5)(5)显然成立。因此(1)成立。例7、已知a,b,c都是正数，求证a3 +b3 +c3之3abc.并指出等号在什么时候成立?分析：本题可以考虑利用因式分解公式333222a b c -3abc = (a b c)(a b c -ab -bc-ca)着手。证明：a3 - b3 c3 -3abc222=(a b c)(a b c - ab - bc -ca)1ooo= -(a b c)(a -b)2 (b-c)2 (c-a)2. 222由于 a,b, c 都是正数，所以 a+b+c 0.而(ab) +(bc) +(c a)之 0,可知 a3 b3 c3 _3abc _ 03. 33即a +b

36、+c之3abc (等号在a=b=c时成立)探究：如果将不等式a3 +b3 +c3 3abc中的a3,b3,c3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：(1 +a +b)(1 +b + c)(1 + c +a) 27 ,其中 a,b, c是互不相等的正数， 且 abc = 1.三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去) 一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式， 得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习：1

37、 c1、已知 XA0,求证：x + 2.X1142、已知 x 0, y 0, x y,求证 一 十 ax y x y3、已知 a b 0,求证 Ja -b 7a %；b.4、已知a 0,b 0.求证：(1) (a b)(a，b,)_4.(2) (a b)(a2 b2)(a3 b3) -8a3b3.5、已知a,b,c,d都是正数。求证:(1)之 Jab + Jcd ；(2)6、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(a b c)(ab bc ca) 9abc.五、作业：选修4_5 不等式选讲课 题：第09课时不等式的证明方法之三：反证法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：前面所讲的几种方法，

38、属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系 列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这 时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题 若p则q”，而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过 合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证

39、不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。、典型例题：例 1、已知 a b a 0 ,求证：Ka a Vb ( n w N 且 n 1)例1、设a3+b3 = 2 ,求证a + b 2,则有a 2 - b ,从而a3 8-12b 6b2 -b3,a3 b36b2 -12b 8 =6(b-1)2 2.233 33因为6(b1) +2之2,所以a +b a 2 ,这与题设条件a +b =2矛盾，所以,原不等式a +b W2成立。例2、设二次函数 f (x) = x2 + px + q ,