概率论与数理统计及其应用课后习题答案

1、 第一章随机事件及其概率1、解：（1） （2） （3） （4）2、设A, B是两个事件，已知，求，解： 3、解：用表示事件“取到的三位数不包含数字1” 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：用表示事件“取到的三位数是奇数”，用表示事件“取到的三位数大于330” (1) =0.48 2） =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；（2）4只中至少有2只红球；（3）4只中没有白球解：用表示事件“4只

2、中恰有2只白球，1只红球，1只黑球” （1）=（2）用表示事件“4只中至少有2只红球” 或= （3）用表示事件“4只中没有白球”6、解：用表示事件“某一特定的销售点得到张提货单” 7、解：用表示事件“3只球至少有1只配对”，表示事件“没有配对”（1）或（2）8、（1）设，求；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解 （1）， （2）设，B = 第一、二次取到白球且第三、四次取到红球则， 9、解： 用表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，表示事件“

3、两只都是红球” 方法1 ， 方法2 在减缩样本空间中计算 10、解：表示事件“一病人以为自己患了癌症”，表示事件“病人确实患了癌症” 由已知得，（1）互斥 同理 （2）（3）（4）（5）11、解：用表示事件“任取6张，排列结果为ginger”12、据统计，对于某一种的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有，在患这种疾病的人群中随机的选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。解：用表示事件“”，表示事件“” 由已知，（1）设C = 该

4、人两种症状都没有， 且互斥或 ，即 （2）设D = 该人至少有一种症状，即 （3）设E = 已知该人有症状B，求该人有两种症状， 互斥 即 13、解：用表示“讯号无误差地被接受”表示事件“讯号由第条通讯线输入”， ， 由全概率公式得 14、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患有关节炎的病人，有85%给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎，已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎的概率。解：用表示事件“”， 表示事件“” C表示事件：“一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎”所求为

5、，由已知 ，则 ，由贝叶斯公式得15、解：用表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”分别表示事件“程序交与打字机打字” 由已知得 ，；，由贝叶斯公式得 16、解：用表示事件“收到可信讯息”，表示事件“由密码钥匙传送讯息” 由已知得 ，由贝叶斯公式得17、解：用表示事件“第一次得”，表示事件“第二次得”，表示事件“两次得同一面”则 ， ，两两独立而，不是相互独立的18、解：用表示事件“运动员进球”，表示事件“运动员进球”，表示事件“运动员进球”，由已知得 ， 则 ， （1）设，则且互斥 （2）设，则且互斥 （3）设，则 19、解：设表示事件“病人能得救”表示事件“第个供血者具有血型”，则 且互斥，

6、相互独立 20、一元件（或系统）正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联后并联的方式联接（称为串并联系统），设元件的可靠性为p，求系统的可靠性。32解：设， 由已知得 相互独立法1： 法2： 21、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下，若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；根据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6 。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。解：用A表示事件“真

7、含有杂质”,用B表示事件“3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质” 由已知得 ，由贝叶斯公式得第二章 随机变量及其分布1、设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机的选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。解：2、解：用， 3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险是相互独立的），问X服从什么分布，写出X 的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率（1）恰有3人；（2）至少有两人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解： k=0,

8、1,2,15 （1） （2） （3） （4）4、解：用X表示5个元件中正常工作的元件个数 5、某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以致产品成为次品，设次品率为p = 0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。解：设X表示8000件产品中的次品数，则由于n很大，P很小，利用，所以6、解：（1） （2） 或7、解：（1） （2）设Y表示一分钟内，5个讯息员中未接到讯息的人数，则 （3） 8、一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解，他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内，以X表示响铃至结束讲解的时间，设X的概率密度为（1）确定k；（2）求；（3）求；（4）求解

9、：（1）由 （2）（3）（4）9、解：方程，即 得，所以有实根的概率为10、解：（1）（2）（3）11、设实验室的温度X（以°C计）为随机变量，其概率密度为（1）某种化学反应在温度X > 1时才能反应，求在实验室中这种化学反应发生的概率；（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律；（3）求。解：（1）（2），（3） 12、（1）设随机变量Y的概率密度为试确定常数C，求分布函数，并求，（2）设随机变量X的概率密度为求分布函数，解：（1）由 （2） 13、解： 当n=3时，（X，Y）联

10、合分布律为 YX123101/61/621/601/631/61/6014、设有一加油站有两套用来加油的设备设备A是加油站工作人员操作的，设备B是顾客自己操作的，A，B均装有两根加油软管，随机取一时刻，A，B正在使用软管数分别为X，Y。X，Y的联合分布律为 YX01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30（1）求（2）至少有一根软管在使用的概率；（3）解：（1），（2）设C = 至少有一根软管在使用（3） 15、设随机变量（X，Y）的概率密度为是确定常数C；并求；解：， 16、设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域G均匀分布（1）求（X，Y）的概率密度

11、；（2）求边缘概率密度解：（1）， （2）17、（1）在14题中求边缘概率密度；解：（1）YX012PX=xi00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38PY=yi0.160.340.501（2）22、（1）设一离散型随机变量的分布律为Y-101Pk又Y1，Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1，Y2与Y有相同的分布律，求Y1与Y2的联合分布律，并求PY1 = Y2;（2）在14题中X与Y是否相互独立。解：（1） Y1Y2-101-101且 （2） ，X与Y不相互独立23、设X，Y是两个相互独立的随机变量，XU(0,1) ，Y 的概率密度

12、为试写出X，Y的联合概率密度，并求。解： ，且X与Y相互独立 24、设随机变量X具有分布律X-2-1013求的分布律。 解：X-2-101352121012510即1251025、解：，当时，当故的概率密度为：26、解：（1），当时，当故的概率密度为：（2），当时，当，故的概率密度为：（3），当时，当故的概率密度为：27、设一圆的半径X是一随机变量，其概率密度为求圆面积A的概率密度。解：,， 当y时， 当时， 当时, 故的概率密度为：28、解：因为X与Y相互独立，且都服从正态分布 ，当时， 故的概率密度为：29、解：，且X与Y相互独立 30、解：，且X与Y相互独立由卷积公式：，故的概率密度为：

13、31、解：，且X与Y相互独立 32、设随机变量X，Y相互独立，它们的联合概率密度为（1）求边缘概率密度；（2）求的分布函数；（3）求概率。解（1） （2） （3）33、解：（1） （2）两个小段均服从： ， 故，从而得证34、解：（1）U的可能取值是0，1，2，3或U0123P即：U0123P（2）V的可能取值为0,1,2 或V012P0+0即：V01P（3）W的可能取值是0，1，2，3，4，5或W012345P0+00即：W0123P第三章 随机变量的数字特征1、解： 2、解： 3、解：设X为取到的电视机中包含的次品数， ，即X012pk4、解：设X为所得分数 ， 5、解：（1）已知，由则，

14、解得故 （2）由于不是绝对收敛，则不存在。6、（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为求一天的平均耗水量。（2）设某种动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，起分布函数为求这种动物的平均寿命。（2）解法1： 解法2：7、解：8、解：9、解：10、设，求数学期望解：由11、解：R的概率密度为 12、解：13、解：Y1的分布函数为Y1的概率密度为Yn的分布函数为Yn的概率密度为14、设随机变量(X, Y)具有分布律为 YX012010200求。解：X的分布律为 Y的分布律为X012 Pi.Y012Pj 15、解： 16、设随机变量(X, Y)具有概率密度求。解： 17、某

15、工程对完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律X1011121314P0.20.30.30.10.1所得利润（以元计）为 求18、解：19、解： 20、解：（1）（2）由于，则当不存在。（3） （4）由于，则当不存在。21、（1）在14题中，求(2 ) 在16题中，求解：（1）由14题， （2）由16题， （3）X的分布律为X012pk0.240.380.38Y的分布律为Y012pk0.160.340.5解：23、解：（1）（2）解： ，则X, Y不相关。由于，故X, Y不相互独立。25、解：设第四章 正态分布、解：（1）（2）2、解：解：（1） （2） 4、解：（1）（2）5、解：6、解：

16、（1）设A=两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间则（2）设X, Y分别是两只电阻器的电阻值，则，且X, Y相互独立7、一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值，均方差为s的正态分布，若要求，允许s最大为多少？解：因为由从而 ，查表得 ，故31.28、解：（1）（2）设由从而d81.179、解： 则（1） （2）10、解：（1）（2），故0.334811、设某地区女子的身高（以m计），男子身高（以m计），设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子。求女子比男子高的概率。（2）在这一地区随机选5名女子，求其中至少有4名的身高大于1.60的概率。（3）在这一地区

17、随机选50名女子，求这50名女子的平均身高大于1.60的概率。解：（1）（2）设5名女子中身高大于1.60的人数为Y，则（3）则 12、解：（1）.è.è.由，解得，.，.（2）（，）0.158713、解：（1）m30（2）（m30，7.5）（3）4500.95è0.95 è-1.645è m492.414、解：(1) (m-30，37.5)（2）(450)0.90è 0.90è-1.28 èm 490.3615、某种电子元件的寿命X（以年记）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求

18、这100只元件的寿命之和大于180的概率。解： 16、解：(0,1)24.7425.25P0.987617、解：N(0.5×10，0.5×10)()0，()(0,1)0.5×100.615618、解：（1） （2）设至少需要装n部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95即 ，从而取19、一射手射击一次得分X是一个随机变量，具有分布律X8910Pk0.010.290.70（1）求独立射击10次总得分小于等于96的概率；（2）求在900次独立射击中得分为8的射击次数大于等于6的概率。解：（1）设第i个射手射击一次得分为Xi, Xi（i =1，

19、2，3，10）和X具有相同的分布且它们相互独立（2）设X=900次独立射击中得分为8分的射击次数，则第五章 样本及抽样分布1、解：（1）（2） （3） （4） （5） = ( )2、解：（1） (3) 3、解：（1）4、（1）设总体是来自X的容量为36的 样本，求。 （2）设总体是来自X的容量为5的 样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率.解：（1） （2） 5、求总体N(20，3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.解： 6、解：7、解：（1）（2）8、解：第六章 参数估计1、解：令，即，解得的矩估计量为2、设总体X具有概率密度参数q 未知是来自X，

20、的样本，求q 的矩估计量。解：令，即，解得的矩估计量为3、设总体是来自X的样本，求m与p的矩估计量（对于具体样本值，若求得的不是整数，则与最接近的整数作为m的估计）。解：（1）由令，解得m, p的矩估计量为4、解：（1） 令，即解得的矩估计量为 似然函数解得的最大似然估计值为 （2）由（1）知5、（1）设X服从参数为的几何分布，其分布律为，参数p未知。设是一个样本值。求p的最大似然估计值。（2）一个运动员，投篮的命中率为，以X表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到X的观察值为5 1 7 4 9求p的最大似然估计值。解：（1）似然函数，解得故的最大似然估计值为 （2），6、解：由（1

21、）已知，似然函数即解得的最大似然估计值 （2）已知，似然函数为 解得，故的最大似然估计值为 7、设为总体X的一个样本， 为一相应的样本值。（1）总体X的概率密度为，求参数q 的最大似然估计量和估计值。（3）设，求p的最大似然估计值。解：（1）似然函数，解得故的最大似然估计值为：故的最大似然估计量为：（2）似然函数，解得故参数的最大似然估计值为：，估计量为（3），即 解得故的最大似然估计值为 8、解：似然函数为 令 解得的最大似然估计值为9、解： 联立 解得故的最大似然估计量为 10、解：（1）由，得的矩估计量故的矩估计量是的无偏估计量。（2）令得的矩估计量.，（3） 因此是的无偏估计.11、已

22、知X,X,X,X是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知，设有估计量（1）指出中哪几个是的无偏估计量。（2）在上述的无偏估计量中指出哪一个较为有效。解：（1）由题知是的无偏估计量。（2），故比更有效。12、解：，（1）置信水平为0.95，查表得即的置信水平为0.95的置信区间：（2）置信水平为0.90，查表得即的置信水平为0.90的置信区间：13、以X表示某种小包装糖果的重量（以g计）设，今取得样本（容量n=10）55.95 56.54 57.58 55.13 57.48 56.06 59.93 58.30 52.57 58.46（1）求m 的最大似然估计值；（2）求m 的置信水平为0.95

23、的置信区间。解：，（1）似然函数，即解得，而 故m 的最大似然估计值为： （2）的置信水平为的置信区间：，查表得的置信水平为0.95的置信区间为：14、解：（1）的无偏估计值的无偏估计值（2）置信水平为0.90，查表得 的置信水平为0.90的置信区间：15、一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间，在面积相同的12块内墙上做实验，记录了干燥时间（以分计）得样本均值分，样本标准差s = 9.4分。设样本来自正态总体均未知，求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。解：m 的置信水平为的置信区间：，s = 9.4，n = 12，查表得的置信水平为0.95的置信区间为：16、解：由题知，

24、置信水平为0.95，查表得 的置信水平为0.95的置信区间： 17、设X是春天捕到得某种鱼的长度（以m 计）设，未知。下面是X的一个容量为m = 13的样本：13.1 5.1 18.0 8.7 16.5 9.8 6.8 12.0 17.8 25.4 19.2 15.8 23.0（1）求的无偏估计量；（2）求的置信水平为0.95的置信区间。解：的无偏估计量为：的置信水平为的置信区间为：，n = 13，查表得的置信水平为0.95的置信区间为：18、解：由题知，参数未知，的置信水平为0.95的置信区间其中查表得得的置信水平为0.95的置信区间为19、解：由题知查表得，由计算得，的置信水平为0.95的

25、置信区间为20、解：（1）单侧置信区间查表得的置信水平为0.95的置信上限（2）的置信水平为0.95的单侧置信区间查表得，的置信水平为0.95的单侧上限为21、解： 的置信水平为0.95的单侧置信区间由17题知的置信水平为0.95的单侧置信下限为22、解：由18题知，查表得，的置信水平为0.90的单侧置信上限第七章 假设检验1、 一车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布N(m, s2)，均值为18分，标准差为4.62分。现希望测定，是否由于对工作的厌烦影响了他工作效率，今测得以下的数据：20.01 19.32 18.76 22.42 20.49 25.89 20.

26、11 18.97 20.90试依据这些数据（取显著性水平a = 0.05），检验假设：H：m £18，H： m >18.。解：设H：m £18，H： m >18.这是s2已知的右边检验问题，选统计量：当H0为真时，拒绝域为：拒绝H，即由于对工作的厌烦影响了他工作效率。2、美国公共健康杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究，文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为7.5%。

27、设样本来自正态总体N(m, s2)，m，s2均未知。试取显著性水平a = 0.05检验假设H： m = 38.4，H：m ¹ 38.4解：设H： m = 38.4，H：m ¹ 38.4这是s2未知关于m 的双边检验，检验统计量为：当H0为真时，拒绝域为：又由题知：， 故应接受H0，即认为脂肪摄取量的平均百分比为38.4%。3、自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值，算得样本均值为8.3，标准差为0.025，设样本来自正态总体N(m, s2)，m，s2未知。试依据这一样本取显著性水平a=0.01检验H0：m ³ 8.42，H1：m < 8.42。解：设H0：m ³ 8.42，H1：m < 8.42这是s2未知关于m 的左边检验，检验统计量为： ，查表得：当H0为真时，拒绝域为：又由题知： 故应拒绝H0，即认为m < 8.42。4、检验假设：，：解：这是未知关于的双边检验检验统计量为：在，拒绝域为：又由题知： 8.34，72.64 接受，即可认为某地区成年男子的平均体重为72.64。5、检验假设：，：