选修4-5第2讲不等式的证明

1、第2讲不等式的证明（教材回顾，夯实基础；裸本温故追根来源1.基本不等式定理1:设a, bCR,则a2+b2>2ab,当且仅当a=b时，等号成立.a b 一te理2 ：如果a、b为正数，则 一2 ><ab,当且仅当a=b时，等3成立.定理3：如果a、b、c为正数，则a+b + c> 30bc,当且仅当a = b=c时，等号成立.3定理4:（一般形式的算术 一几何平均不等式）如果ai,a2,，an为n个正数，则a1 + a2；十 丁4,2m2a, 当且仅当 a1 = a2 = 3= an时，等号成立.2.柯西不等式（1）设a, b, c, d均为实数，则（a2+b2）（c2

2、+d2）>（ac+bd）2,当且仅当ad = bc时等号成立.二，二，二b1 b2（2）若ai, bi（i=1, 2,，n）为实数，则（汇a）（汇bi） （汇aibi）,当且仅当乎=广=i = 1 i = 1i = 1a1a2bn（当ai= 0时，约 an'定bi=0, i=1, 2,，n）时等号成立.柯西不等式的向量形式：设 “3为平面上的两个向量，则|“|阳|” 配当且仅当 飞3共线时等号成立.3.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.（参阅本书第六章相应内容）典例剖析考点突破；名师导悟以例说法考点一利用基本不等式证明不等式例1设a,

3、 b, c为正实数，求证:证明因为a, b, c为正实数，由均值不等式可得13,abc a b c一 1113111即 F+下+,当且仅当-73=-3 = 3,即a=b=c时，等号成立，abc abca bc所以4?+L+ abc>_3_+ abc.而-3-+ abc>2、/-3- abc= 2V3,abc abc abcabc当且仅当-3- = abc,即abc=*时，等号成立，所以 4 +2+幻abc>25. abcabc规律方法利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征，注意检验等号成立的条件，特别是多次使用基本不等式时，必须使等

4、号同时成立.1.设a>0, b>0,若J3是3a与3b的等比中项，求证1+1>4.a b证明：由小是3a与3b的等比中项得3a - 3b=3,即a+b=1.要证原不等式成立，只需证"+呼>4,即证b + ：>2. a ba ba>0, b>0, . . b+a.2、/b . a=2（当且仅当 b=a,即 a=b = 1时，取"=”号）, a b a ba b2考点二，放缩法证明不等式1 1 , 一 +r>4. a b,xn,且 x1 + x2 + x3 + xn = 1.（2015洛阳模拟）有小于1的n（n>2）个正数x

5、1, x2, x3,求证:证明0<xi<1,3>",其中 i = 1, 2, 3,，n,Xi Xi Xi711111n 13 -I3 -I3 +H3> I1F H > n 飞 /X1 XiX2 X2X3X3XnXnX1X2X3Xn，X1X2X3Xnn f X1 + X2 + X3 + + Xn x/X1X2X3,Xn<二n>n, / X1X2X3 XnX1 - x1X2- X2X3 x3Xn-X1,1,1,13>n2>22= 4, n=3 +3 +3 +3>4X1 X1 X2 x2 X3 x3Xn-xn规律方法放缩法证明不等

6、式时，常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性.缩小分母、扩大分子，分 式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变 大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头.然踪到融卜2.设n是正整数,证明：由 2n>n+k>n(k= 1,1111求证：,w +1 h-+ 2-n<1.2,，n),得;w-J.2n n+ k n当k= 1时,看一<n；当k=2时,n+2<n，当k=n时,六,J2n n + n n 112 2n n+1=1.一 知能训练轻松闯关J以练促学强技提能学生用书单枝成制考点三 柯西不等式(2014高考福建卷)已

7、知定义在R上的函数f(X)=|X+1|十|X2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p, q, r是正实数，且满足 p + q+r=a,求证：p2+q2+r2>3.解(1)因为 |x+ 1|+|x-2|>|(x+ 1)-(x- 2)|=3,当且仅当一1WxW2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明：由(1)知p+q + r=3,又因为p, q, r是正实数，诳以(p2 + q2+ r2)(12+ 12+ 12)>(px 1 + qx 1 + rx 1)2= (p+q+ r)2=9,即 p2 + q2 + r2>3.规律方法利用柯西不等式求最值的

8、一般结构为：,222,111、22,(a2 + a2+a2)( +)之(1 + 1+ 1)2= n2在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应a a? an注意等号成立的条件.3 3.已知实数 a, b, c, d 满足 a+b+c+d=3, a2+2b2+3c2+6d2 = 5,求证：1WaW2.111o证明：由柯西不等式得(2b2+3c2+6d2) (-+- + -) >(b+c+d)2,2 3 6即 2b2+3c2+6d2>(b+c+d)2,由已知可得 2b2 + 3c?+6d?=5 a, b+c+d=3 a, - 5 a?(3 a)2,即 1WaW2.,2b 3c 6d当且仅

9、当,即2b =3c= 6d时等3成乂.基础达标1.如果x>0,比较(出1)2与(5+ 1)2的大小.解：(以一1)2(以+1)2= (/X-1)+(或+1)(VX-1)-(VX+1) = -4a/X,. x>0,，/>0,4#<0,，（/1）2<（W+1）2.2 .若x, y都是正实数，且 x+y>2,求证：/<2和gy<2中至少有一个成立.证明：假设上二<2和上r<2都不成立，则有 "x>2和上r>2同时成立. yxyx因为 x>0 且 y>0,所以 1+x>2y,且 1 + yR 2x.两式

10、相力口，得 2 + x+ y>2x+ 2y,所以x+yW2.这与已知条件 x+y>2矛盾，因此1yq<2和上了<2中至少有一个成立.3 .已知 ABC的三边长分别是 a, b, c且m为正数，求证：一a + . > >c-'''a + mb+mc+m证明：要证a+ m b + m>c+m'只需证 a(b+ m)(c+ m) + b(a+ m)(c+ m) c(a+ m)(b+ m)>0,即证 abc+abm + acm + am2+ abc+ abm+ bcm+ bm2 abc acm bcm cm2>0,

11、即证 abc+2abm + (a+bc)m2>0.由于a, b, c分别是 ABC的三边长，故有 a + b>c.m>0, . (a+b c)m2>0,abc+ 2abm+ (a+b c)m2>0 是成立的，因此 a-1>c成立.a+ m b+ m c+ m4 .已知 a>0 , b>0 , c>0 , a+b>c.求证:证明：a>0, b>0,a a1 a 1 a b'x1而函数 f(x) = 1 = 1 1-在(0，+ 00)上递增，且 a+b>c, c>0 ,.f(a+b)>f(c),贝Ua

12、+ b >上-,所以1+a+b 1+c1 + a 1 + b>1 + c,则原不等式成立.1 15. （2014局考课标全国卷 I ）若2>0, b>0,且一十1=洞. a b求a3+ b3的最小值；（2）是否存在a, b,使得2a+ 3b=6?并说明理由.解：（1）由«=1+ 1>-；2=,得ab>2,且当a = b=42时等号成立. a b ab故a3+b3R2q请封4g2,且当a=b=W时等号成立.所以a3+ b3的最小值为4啦.（2）由（1）知，2a+3b>26a>45.由于 4强>6,6. （2015贵州省六校第一次联考

13、 ）已知a>0, b>0,从而不存在 a, b,使得2a + 3b=6. a+ b= 1,求证：11、八(2)(1)(1一)一9ab11111证明：21, a>0，b>0，3+甘犷Ub+a + bab=2(1+1)=2(2+2b) = 2(b + 2)+ 4>4、/bxa+4=8(当且仅当 a=b=时，等号成立)， a b a b a bab21 118.a b ab111 11.,111“."/什下二二十京'由知i+ut*.11、(1+)(1 +) >9.ab1. (2013高考新课标全国卷 n )设a、b、c均为正数，且 a+b+c=1

14、,证明：1a2 b2 c2 .(1)ab+ bc+ ac< 3(2)b + 丁 + >1-证明：(1)由 a2+b2R2ab, b2+ c2>2bc, c2+a2R2ca,得 a2+b2 + c2Rab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab + 2bc+2ca= 1.所以 3(ab+ bc+ ca)< 1,即 ab + bc+ ca< 1.22(2)因为a7+b>Za, -+O2b,bc3222即*三+a+b+c-所以X.c ac+ a>2c,故a + b- + c + (a+b+c)>2(a+b + c),

15、ab c a2. (2015河北唐山模拟)设不等式一2<|x 1|x+2|<0的解集为 M, a, bCM.、r , 11, , 1(1)证明：| a +b | <7；364(2)比较|1 4ab|与2|ab|的大小，并说明理由.3, x< 2,解：(1)证明：记 f(x)=|x1|x+ 2|=彳一2x1, 2<x<1 ,-3, x>1.由一2< 2x1<0,解得一1<x<1,则 M= i-1, 1 -所以 1a+b < 1|a|+1|b|<1x1 +3=1.222 2 2/36363 2 6 2 4(2)由(1)得

16、 a2<4, b2<4.因为 |1 4ab2 4|a b|2= (1 8ab + 16a2b2) 4(a2 2ab + b2)= (4a2 1)(4 b2-1)>0 ,所以 |1-4ab2>4|a-b|2,故 |1 4ab|>2|a b|.3. (2014 高考辽宁卷)设函数 f(x) = 2|x-1|+x-1, g(x)= 16x28x+1.记 f(x)W1 的解集为 M, g(x)W4 的解 集为N.求M;(2)当 xC MAN 时，证明：x2f(x)+xf(x)2<4.3x-3, x 1 , +00),解：(1)f(x)=£1 -x, xC

17、( oo, 1).当 x> 1 时，由 f(x)= 3x 3< 1 得 x<4,故 1WxW 4；33'当 x<1 时，由 f(x) = 1 x< 1 得 x>0,故 0Wx<1.人441所以f(x)< 1的解集为M = ix|0< x< 3 :(2)证明：由 g(x)= 16x2-8x+ 1W4 得 16 x- 1： <4,一一 131 一 一31，.33、解得4xw 4.因此 N='x|Wxw 4 : 故 MnN="x|0w xW4：当 xC MAN 时，f(x) = 1 x,2211、21于是 x

18、2f(x) + x f(x)2 = xf(x)x+f(x) = x f(x)= x(1 -x)=4- (x-) <-.4. (2015洛阳市统考)(1)已矢口 x y都是正实数，求证：x3+y3>x2y+xy2；(2)若不等式|a1除 *x+ 1 + 弧+ 1 + *z+ 1对满足x+y + z= 1的一切正实数 x, y, z恒成立，求实数a 的取值范围.解：(1)证明：(x3+y3) (x2y+xy2)= x2(x y)+y2(y x)= (x-y)(x2-y2)= (x-y)2(x+y).又x, y都是正实数，1. (x-y)2>0, x+ y>0, IP (x3 + y3)- (x2y+ xy2)>0,x3+ y3>x2y+ xy2.(2)根据柯西不等式有(、3x+ 1 + 3y+ 1